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Klausur Integralrechnung (Analysis 2)
4.11.2021
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1. Matheklausur Q1 Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Stammfunktionen F für folgende Funktionen f! a) f(x)=-x²+x+6 b) f(y)=2-y¹ +0,5y- 11 10 9 Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,1x² +1 mit dem dargestellten Funktionsverlauf. 00₁ 8 7 6 5 3 2₁ 0 0 1 2 Analysis II 3 4 15 6 2 3 7 3 Ⓒi(³x²-6)dx b) f(x³ + 1)dx › }(x²+ 8 19 c) f(t) = 7t² − 35t +42 26.10.2021 10 Aufgabe 3: Berechnen Sie die Fläche der Funktionen in den angegebenen Grenzen! Ermitteln Sie mit Hilfe der Ober- und Untersumme die Fläche unter der Funktion im Intervall [0;10], indem Sie eine Teilintervallbreite von Ax = 2 verwenden! 11 12 Aufgabe 4: Ermitteln Sie jeweils diejenige Stammfunktion, welche die angegebene Bedingung erfüllt! a) f(x)=-3x² + x für F(2)=-4 f(x)=-4x² +5x-3 für F(-1) = 0 Aufgabe 5: Bilden Sie die Ableitungen zu den folgenden Funktionen: a) f(x)=(x-1).e²x b) f(x)=x².e-* Aufgabe 6: Gegeben ist das abgebildete Flussbett mit den angegebenen Maßen. Das Flussbett ist insgesamt 200 m lang (in die Zeichenebene hinein). a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel! b) Berechnen Sie danach das Volumen des Wassers in m³! 2 3 11 a/F+x) = -3³ x³ + ² x ² + 6x +C 5 로 b) F (y) = ²/² y ³ + + y ²2 - 3 y + c ✓ v 3 c) # (t) = 3 + ³ − 17,5 +²+ 42t +C ✓ (2) f(x) = 0,1x² +1 Untersumme= Ś= f(01.2 + f(2)-2 + f (4)-2 + f(61.2+ f(8)-2. SGes 3) al Obersumme: So f1212 + f(y)·2+ f (6) 2 + f(8) 2+...
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f(101-2 = 1.4.2 + 2₁6-2 +4,6∙2 + 7,4.2 +11-2 54 (FE) 6 JI 1-2 + 1,4• 2 + 2₁6.2 + 4,6-2 + 7,4-2 34 (FE) ✓ Nullstellen: 0 = 3x² - 6 g= √ ( ³ x ² - 6 ) - dx 11. X₁₂₁ = 3 N/M N/M X (54+34) ^^ لہ fix1=0 1+6 WIN 4 43 A = √ 13² x ²-61. dx + -5 }} 3 44 FE 3 3 √ 1²/32 x ²-6 1-dx -3 [Bx²-bx] + [8x²-6x] = f(x1= 3² x ² - 6 F(x) = ²x²³² - 6x J 8 -3 A]; = (§ · (-3)³-6-(-3)) - (§ - (-5ß³ - 6- (-5)) AS = -5 88 (FE) "1 AS = 1 1 ²3-0³-6-0)| - | (§· (-3)³-6-(-3)) | -3 = 101 - 1121= | -121 = 12 (FE) Agescumn+ = 20² + 12 {1x³+alida al 2 20 12-233 = b) Nr.4 Nullstellen= -1 = x²³ 3 -1=X (1 Xw - મ -4 +1 F(x) = = 18 + 24 f(x) = -3x²+x 11 3 A x = √(x²³+1/-dx + } (x³ + 1 /-dx -3 -n ५ -l [ ¾ ײ+ × ] | + [ % ד+× ] -3 93 - (( ³² ) - 69 )| + ( 3³3 - ( ² ) ) 24 = -4=-6 fix30 1-1 125 2 - x ²³² + √² x ²² + C + C ✓ 196 9 2 = C = ( x ) = − x ³ + 7/7 17 - 2³³ + 2/² -2 ² + c 8 +2 2 + FE 42 1 +6 f(x1= x³+1 A F(x) = = x² + x +2 7(21= -4 FE ✓ 3 6 √ 6 b) f(x) = -4x² + 5x -3 3 F(x) = -³²x²³² +²2x² - 3x + c 0 = 1/(-4³²³ + ²/(-1)² -3.(-1) + C 0 = 4/² Nr. 5 al ठ C ✓ F(x)=-=x²³² +²2x²-3x - x² # + C + فات + -M 3 + C f(x)=(x-1). e²x f'(x)= (x-1) · Ze¹²x +1.e² b) f(x) = x².e-x 2X 2x e²t. ((x-1)-2 +^ ) F(-1)=0 3 U = x-1 u = 1 = e²x (2x −2+1) = e²x. (2x - 11 f'(x) = (2x-1): e²x √ 5 u= x² u² = 2x f'(x)=x²-(-e* )+²x.ex. = (x² - (-1) + 2x) =e^ ^ . ( - x² + 2x) f'(x)= (-x² + 2x)= ex ✓ 5 3 ezx v²= 2e²x V = e X Nr. 6 al f(x) = ax²+bx+c I: 0= a.0² + b⋅0 +C I=P(214) 2=Q-4²+b-4+ ( 2 = 16.α +46 +0 2=16 a + 4b 2-16α 46 0,5-4a = b II P(-4/2) 2=a• (-4)² + b²4-4/+ ( 2=16a-4b 2=16a-4₁ (0,5-4a) 2=16a - 2 + 160 4 = 324 a=² f(x) = x² 2 V le (010) 10=0 1-16 a 1+2 I P(010) f (0/=0 I P(4/2) f(4)=2 III P(-4/2) f(-4)=2 16=0 1b = (0,5-4a) 1:32 3 b=0₁5-4-3 6 = 0 Nr.b b f(x) = ²/3 x ² ✓ f(x)=x²-2 F(x1= ²7x²³ - 2x 2- √ ( ²³x²³ - 2 ) ・dx = [ ²₂ x ³² -2 ×]² - 2 S(x²-2 0 O 32 = 2 · ( 11 ²4 - 4 ³ - 2 - 4 11 - 10 1 ) - | -16 1-2 = ³/²³ (7€) 24 (FE) 3 Flache A = Antwort: 32 3 Volumen Fluss = 3² m² 200 m - beträgt 50/50 = 100% = 15 Pkt.) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12/3/0 3 123 7 11 Das Volumen dis wassess im Fluss 6400 m³ √ 2 3 d J 3 to m³ प A 1 r