Klausur Vektoren, Ebenen, Orthogonalität; 14 Punkte

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707 = (30 (2) - 12 (-7) 2+3.1+(3): 2 3114+3-6= -17 40 эрке b) ú= (2²) 2+k u=(1) ztr йоз - (3) (3) (-2) 3 +2-5+2-(-2) 6+10-2:2=4-22 4-22 20 1-4 -22 - -4 2-27 13 1:(-2) =2 З н --- wenn І 3х1 -2х2 +2x2=-125 II-3х +6x2+13= -2 х2 -хз ШГ 11 - 0 A Ta І Зха-2х2 + 2х, =-12 4x2+3x3= -4 П О І Златана тажа Их2 +3х3=-1 -12 I+I - au+Ha 1.12.22 A1 А.2 414 supu! 2/2 717 313 515 x3 = -1 in Ila: 4x₂ + 3₁ (-1) = -1 |+3 4x = 2 1:4 x₂ = -1 und 1₂=0,5 in I: 3x₂₁ - 12{0,5 + 2 · (-1)=-1 3x₁-1-2=-12 1+3 3x = -9 1:3 T x = 0,5 X 2 L= (-3₁05-13 A3 a) A(01213) 3(41210) (121310) AB.+ #AC AB = (8= 2) - (8) AC = (8 = 8) = (33) OA = (8) E: 2 = (1 + r. ( 8 ) + 5 (3) b)E=of P(61-110) 1-(3) I 4²+23=6 S=_ T 1 -326-33 = -3 s=-3 in I:4r+2.(-3)=6 1-6 4r=0 1:4 18 runds in II: -3 (0)-3(-3)=-3 97-3 & Pligt nicht in der Ebene À weiterer Punkt in Ebene € +2 = ( 3 ) + ( 3 ) +5 (3) Per=2 und 52 ansetzer Q $ 0Q = (8) + 2 (²3)+2(3) 0+2.4+2.2 1 2 +2.0 +2.4 MA Whô (2) (311 III 3+2·(3+2+(-3) 3-6-6 08- (13²) → Q(12141-9) I 8+4 世长+2 ^ ^ 00 I 12 I 01-17 0001228 019-333-=-3 = Schnittpunkt/ A.4 1001 2 += 2 ✓ 110-2^²=r-2x = 1 DurchstoBaunter idwrisch, 0/= + = X / X € ⓇRL Tunendlich wiele, Schnittpunkte) $ parallel, kune Schrittankl) Perfekt! 212 Es waren Lösungsmegen getragt! 1315 3 2. Klausur Mathematik Q2 | Kna Prüfungsteil B (Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung); Zeit: mindestens 135 Minuten Name:\ Achte bei jeder Aufgabe auf eine sinnvolle, nachvollziehbare Darstellung des Lösungswegs mit den betreffenden Ansätzen und/oder mathematischen Bedingungen. Lösungen ohne erkennbaren Lösungsweg werden nicht gewertet. Aufgabe 5 Ebenengleichungen (3+6+4+3 = 16 Punkte) a) Gegeben sei die Gerade g: * = | +t1 und der Punkt P ( 2 | 7 | 11), der nicht auf g liegt. Bestimme eine Parametergleichung der Ebene, die durch die Gerade g und den Punkt P festgelegt ist. - (1) ++ (1) ₁ b) Gegeben seien die Geraden g₁: * = -2 1 0 +r.4 und 92: * = -1) + s. 2 5 (1) Zeige, dass sich g₁ und g₂ schneiden und bestimme den Schnittpunkt. (Kontrollergebnis: S (-1 | 3 | 17)) (2) Bestimme den Schnittwinkel zwischen g₁ und g2. 308 121.13 (3) Zwei Geraden, die sich schneiden, liegen in einer Ebene (vgl. Skizze rechts). Stelle eine Gleichung der Ebene E auf, in der die Geraden g₁ und g₂ liegen. Aufgabe 6 Viereck in quadratischer Pyramide (5+2+4+5+3= 19 Punkte) Auf den Seitenkanten der nebenstehenden Pyramide liegen die folgenden Punkte: A'(31014), Bʻ(0|4,5|2), C'(-3|0|4) und D'(01-1,5|6). (Skizze nicht maßstabsgetreu) 01.12.2022 D' D=(01-610) a) Berechne die Größe des eingezeichneten Winkels <A'B'C'. b) Berechne die Länge der Strecke A'D'. c) Bestimme eine Gleichung der Ebene E₁, in der die Punkte A', B' und C' liegen. Mögliche Gleichung für E₁, die im Folgenden verwendet werden kann/soll: E₁: = 0+r. 4,5 + s. 0 A=(61010) C=(-61010) X101010 B=(01610) A'B'C' d) Berechne den Schnittpunkt der Ebene E₁ mit der x2-Achse. e) Die Pyramide ist 8 Längeneinheiten hoch. Ihre Spitze S liegt mittig über der quadratischen Grundfläche. Gib die Gleichung einer Ebene E2 an, die parallel zu E₁ liegt und durch den Punkt S verläuft. Auf der Rückseite geht es weiter! 2. Klausur Mathematik Q2 | Kna Aufgabe 7 Tennis (2+3+2+2+2+2+2+5+3 = 23 Punkte) Die Abbildung stellt in einem dreidimensionalen Koordinatensystem schematisch das Spielfeld (Einzelfeld) eines Tennisplatzes dar, das in der X1X2-Ebene liegt. Die angegebenen Maße des Platzes sind aus Vereinfachungsgrün- den auf ganze Meter gerundet. Demnach ist das Spielfeld 24 Meter lang und 12 Meter breit. Auch die Koordina- ten der angegebenen Punkte sind in Metern zu verstehen. Die Bälle fliegen in unserem Modell geradlinig, wir vernachlässigen jegliche Spins oder andere Effekte wie auch Erdanziehung oder Luftreibung! Außerdem wird der Tennisball als Punkt aufgefasst. B A X3 0,5 -18 PA F a) Begründe, warum die folgenden Koordinaten gelten: A (0/0/0); B (12/0/0); C (12/24/0) und D (0/24/0) b) Zeige, dass in Punkt C ein rechter Winkel liegt. c) E G C H D (Kontrolllösung: z. B.: E: x=r24+s , 10% Gegeben sind außerdem die Spitzen der Außenpfosten E (0/12/1,1) und F (12/12/1,1), die das Netz des Tennisfeldes aufspannen. Das Netz hängt aufgrund der Schwerkraft in der Mitte des Spielfeldes (Punkt G) 20 cm tiefer als an den Spitzen der Außenpfosten. 01.12.2022 Bestimme die Koordinaten des Punktes G an, der die Position der Mitte des Netzes beschreibt. d) Bestimme eine Ebenengleichung des Tennisfeldes ABCD in Parameterform. -. (21) + (24²) .0 0 e) Der Aufschläger versucht, den Tennisball vom Punkt H (4|24|3) seines Schlägers aus geradlinig in Richtung des gegnerischen Aufschlagfeldes zu schlagen. Der Tennisball verläuft dabei in Richtung des Vektors X₂ (1) Gib eine Geradengleichung g an, welche den Weg des Tennisballs modelliert. (2) Berechne die Geschwindigkeit des Tennisballs in m/s. (4) Ermittle, in welchem Winkel der Ball auf dem Spielfeld auftrifft. (Tipp: Die Skizze rechts kann als Veranschaulichung hilfreich sein.) (3) Berechne den Punkt P, an dem der Tennisball auf der gegnerischen Hälfte auftrifft. (Kontrolllösung: P (4,5|6|0)) P H 2. Klausur Mathematik Q2 | Kna Aufgabe 8 Weitergedacht (4 Punkte) Ein Vektor, der orthogonal zu einer Ebene steht, heißt Normalenvektor ni. Damit ein solcher Normalenvektor orthogonal zu einer Ebene steht, muss er orthogonal zu beiden Spannvek- toren der Ebene sein. Gegeben sei die Ebene E: x=(-4+r0+s. - (-²) ₁ 2 m₂ Bestimme einen Normalenvektor = n₂ ^ 01.12.2022 2 -2 Nutze dazu die Bedingung für Orthogonalität (Skalarprodukt!) zwischen und den beiden Spannvektoren der Ebene E. Stelle mithilfe dessen ein lineares Gleichungssystem auf und löse dieses. (1)-6-0 2:00 0-0₂-(-21-1=0 00=0 1 2. Matheklausur Q2 - 2. Teil mit GTR g: X= (6)++ (8) E = 2 = ( ² ) + + ( ²³ ) + $ ( 80 ) NR: () () P(217/19) (NICHT BES (1) (8)· X 7 (3²) 9₂ +2+(-4) + s ( 1 ) Schnittpunkt o dettich 9₁-3₂ (6) ²² (8) = (²x) +S) 1-78)-(41) 1-2-11-3⁰ GTR ㅋ - 4 22 ) 1-6 57/ r=1 in 3₁ (2) (8) A 2 34² keine Punktprobe now) EX= ²1/1/20 15=2 (2) α = ₁₁²³²²1₁² x = Schnitt werkelt zu S/11313) 211 00 wahrscheiden sich I −2+1 I-1 1+2 3 10+3 #3 IC KA'B'C' BA| = (( = 15)-(²,5) = 13445) ² 3° B = (4) 0 (2¹) = 2 · (-1) + 4.2+6+5 = -2+8+30 = 36 (31 = |(3)| - Y2²4*+6³ = 156. (61-4123²1-11-1² +2²+5² = 130 cas(α)=√√500 878 COS (0878) 28 561° (3) E = 2 = ( 5 ) +r (²) + s ( 2²) — ・gadg2 CL = +6 f A5 |BC| = |(CEMS)|-||(₂,5) = 16² +4-45) +2² = 1/33,25 BÀO B34544522 0 1,51 = −9+2025 + 4 = 15.25 31.12.22 313 windschef Ab 616 414 313 515 212 414 515 113 IZAL = || (OS(α) = 12A1-13 Coola) 155, as - Vous ~ 0,459 13325 das Winkels Cos (0,459)~ 62,70pas bergi b) A'D' = A'D' =( 8 5 =)) = √(3) ² + (-1,5)*² +2²² = √√ 15,25 ² AB = (15= 8) = 2) € AC = ( 2 = 8) = (8) 3,905 [EE] A: Die Langeron A'D' beter 3,905 LE AB · + 7 AL (LER) E = X = ( 4 ) +1 (4²²) + - (8°) A: Die Geighing layner + +5 d) x₂ Achse: R= t. (8) E₁₂=X₂ (2) + (15) +5 (8) = + (8) 1-(2)- +(8) -- (8 Richtungswelcher sind nicht kollineas -60-31 GTR 1/100/21=2TE2 50-10 : x₂ +=9 in K₁ 9. (8) $ (01910) @N010101 S(01018) A (2018) 1 A: Der Schnittant ist S CO1310) r A.7 à A: weil dort wurde der Urspring hingesetzt 561 3b B: weil das Spidfeld on dem Punkt nur nach vorne in die Brate ausgedehnt ist und is 12m brut ist. Der Purich liegt auf der K, Achse как (Das Spielfed ist 12m brust wat 244 on lang. ( ist am weitester con rspring entfernt, also mussen die toordinaterso D. Der Punkt liest auf der in Achse und weil es in dieser Ecke un 24m in die Länge dusgedehnt ist. 1|CB| = (8= 4²) - (²8²) = 10²-13241 +0² = 1576) C B 1 = 1/ 8²4 = 26 )|-|(²18²)| V6 121² +0² +0² = 1/144/ CBo (B=(84) (8) = 0·(124) + (-24)·0+00 CB. -24 o O F € (011210,9) F (1211210,3) € F1 = ( 8²3-83) = ( 8 ) 9: x=(8²₂) +- (8) P = â (wegen Mitte des Spielfelds) 06 = (83) + 2 ( 8 ) = (8) 1576 7749 7610 cas (-4) =97 18 → rechter Winkel Ⓒ A: I'm Punkt ( liegt ein rechter Winkel, da C & C orthogonal zwinander sind. 1,10m - 20 cm = 0,9m E011211,1) 7 (12/1211, 1) = (² A: Die LG (611210,3) befindet sich im Pinkt (6/1210,9). AB + / AD d) AB=(8) 12 E: X =+ (3²) +5 (2²4) A: Die Ebenengleichung lauter £:x==(8)+22) E÷X 5( ✓ e) H (4124(3) 1² (4) (1/g: 2 = 24+ (0198) A: Die Gordergleichung 9:x=134) or (1988) (2) 171 = 1(-88 )|- √0,5² +6-18/*+(-31° -√333,25 Bell 18, 26 212 A: Der Tennishall Isommt mit einer Geschwindigkeit von ungefähr 18, 26 m/s. 313 Supe! 212 212 212 W 212 515 klare! 313 LGS² 114 (3) X₁ X₂ Ebene: x = r. (8) +5 (8) E=a +3 J1 0,5 /10-0541 GTR 0 1 18 24 € 0 0 3 3 + = 1 in 9: (²¹) ² P(4,51610) FUN 20 120 Ash A: Am Punkt (4,51610) trifft der Boll auf der gegnerischen Hälfte, diso quasi &, & Ebere auf. ++ (4)H(4124/3) P(4,5/610) H'(412410) |PH|-|(=)|-|| || = V(0,5)² +1843 [PH |-|(*^²-1)-(²)|-√(05) * + 18 *+ (JP³²-1/324,2 PHO PH' = ( ₁ ) ( 2 ) = (0,5) (0,5) +18. 18+30 - = 0,25 +324 = 32425 P 3 100 £1770-2 10 1 0 6 73=6 10 0 1 1 / 7 +=1 PHOPHI cos(a) = |PH| (P²) cos (x)=√154,25% *0.986 Cos (0,986) = 9,459⁰ A: Der Zell trifft im Winkel 9.4580 2 A.8 E: 7. (R-R₂) =O R₁ (8) 2 (²8) (3)-(-3) 0 0 ~ ₁² (²1) + m₂ ⋅ 2 + 2₂² · 1 = 0 A · (²-1) + 0·2 + 1 •· 1 = 0 - 1 + 0 + 4 =0 = (₁ = 1 R=(3) ^₂=0 2₂² = 1 e A (31014) 31014,512) ('(-31014) №.6 Nr. D(01-1,516) S(01018) A(3018) 3 (014516) (54 Einbeith noch SA= SÅ SB" = ( 8,5 = 8) = (-4,5) (--(8) E = X = (8) + 5 (8) + 5 (45) €₁= € ₂ () (8) + ¹ (8) + 5 (25) = ( 8 ) + + (^ *) * (°) | ( D'A'= (+8)= }}) D'A' ++D'B' 3-0 +4,5 4-6 D'B² = √5 + ²5) = (2₁) os €₁₂² X = € (8) + (²₂) ₁ (2) A: Die Ebene durch's wet t wird beschrieben durch (8)+(4+5)*5 (81 Auf- gabe 1a) Herrn b) 2 3a) b) c) 4 Name: Melissa b) (1) (2) (3) 6a) b) c) d) e) Maßgebliche Kompetenzen Der Prüfling ... ... zeigt rechnerisch, dass zwei Vektoren zueinander bzw. zwei andere Vektoren nicht zueinander orthogonal sind. Bewertungsbogen zur 2. Klausur Q2 2022/2023 ... bestimmt einen Parameter z so, dass zwei Vektoren zueinander parallel sind. ... löst ein lineares Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Verfahrens. ... ermittelt mithilfe von drei Punkten eine Ebenengleichung. ... prüft ob der Punkt P auf der Ebene liegt. ... gibt die Koordinaten eines weiteren Punktes Q an, der auf der Ebene liegt. .... gibt die passenden Lösungsmengen zu drei GTR-Anzeigen an. 5 a) ... bestimmt mithilfe einer Geraden und einem Punkt eine Ebenengleichung in Parameterform. ... zeigt, dass sich zwei Geraden schneiden, und gibt den Schnittpunkt an. . bestimmt den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden. ... stellt mithilfe der beiden sich schneidenden Geraden eine Ebenengleichung auf. ... berechnet die Größe des Winkels A'B'C. .... berechnet die Länge der Strecke A'D'. ... stellt mithilfe von drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform. ... berechnet den Schnittpunkt zwischen der Ebene und der x2-Achse. ... gibt die Gleichung einer zur Ebene E₁ parallelen Ebene an. 7a) ... begründet aufgrund des Sachkontextes die Koordinaten der Eckpunkte des Tennisfeldes. b) ... zeigt, dass in Punkt ein rechter Winkel liegt. c) ... bestimmt die Koordinaten des Mittelpunktes des Netzes. d) ... bestimmt eine Ebenengleichung des Tennisfeldes. e) (1)... gibt eine Geradengleichung des Weges des Tennisballs. (2) ... berechnet die Geschwindigkeit des Balls in m/s. (3) ... berechnet den Punkt, an dem der Tennisball auftrifft. (4) ... ermittelt den Schnittwinkel, mit dem der Tennisball auf dem Feld auftrifft. 8) ... berechnet den Normalenvektor einer Ebene. app Bernoby Knapph Benotung von Klausuren talit das! Note 1+ 1 1- 2+ 2- 3+ 3 Punkte 12 11 Punktzahl Teil A (hilfsmittelfrei) Punktzahl Teil B (mit Hilfsmitteln) Gesamtpunktzahl: Note: Prozent 295 % 290 % 285 % ≥80 % ≥75% ≥70% 265 % 200 % 2:55 % Sehr gut Note 5+ 5 5 6 Punkte 6 5 14 3 12 1 10 Prozent >50% 245 % 240 % 235 % 2:30 % 225 % -25% Erreichte Punkte 4 NHM GNM 7 20 3 W Y N N N N W NA YANG WID 55 81 Mögliche Punkte 4 2 7 3 5 2 5 28 3 6 4 3 5 2 4 5 3 2 3 2 2 2 2 5 3 4 60 88 Super. 1412-226 11.12.22 kna