Alternativer Bildtext:

an der Stelle to differenzierbare Funktion gilt: wenn ((x) bei xo linen Extempunkt hat, dann gilt. f'(x) = 0 hinreichendes kriterium: Die Funktion f sei in einer Umgebung von & Zweimal differenzierbar. Hochpunkt → Gilt f'(x) = 0. und .f" (XE) < 0₁ so liegt an der Stelle XE lin lokales Maximum vont. → Gilt f'(x₂) -0. und f" (XE) >0, so liegt an der Stelle xe lin lokales Minimum vont.. ↳ Tiefpunkt. hinreichendes Kriterium: Die Funktion & Sei in einer Umgebung von XE. differenzierbar und es sei f'(XE) =0. Wenn dann die Ableitung f(x) ander selle XE →linen Vorzeichenwechsel von + nach - hal, so liegt bei XEPin lokales Maximum vont -> linen Vorzeichenwechsel von. nach + hat, So liegt bei x = ein lokales Minimum vont. keinen Vorzeichenwechsel hat, so liegt bei xe kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt von f (für jede ganzrationale Fikt.f). f(x) ful Hochpunkt f'(x) D -Tiefpunkt 1. Extrempunkteron f(x) und Nullstellen von f'(x) 4. ('(x)=0 f'(x) Das Monotonipkriterium Die Funktion f st auf dem Intervall. I differenzielbar. Dann gelten folgende. Aussagen 1st fex) >0 für alle x ←I, so ist fuxl streng monoton steigend auf. I f(x) 40 streng monoton fallend auf. I. (f(x) = 0. ((x) ≤0 • monolon steigend auf I monoton fallend auf I Sattelpunkt Krümmung und Wendepunkte Krümmungsverhalten Rechtskurve Die Steigung von f nimmt ab, das heißt fist streng monoton fallend Rechtskrümmung Definition: Die Funktion f. sei auf dem Intervall. I.≤D differenzierbar fheißt rechts geknimmt auf. I genau. dann, wenn f. auf I. streng. monoton fällt Linkskrümmung Die Steigung von f nimml zu, das heißt f. 1st streng monoton stegend Linkskurve Wendepunkte Der Wendepunkt ist der Punkt des Graphen liner Funktion f., an dem sich das Krümmungsverhalten thaett notwendiges kriterium:. Die Funktion of sei an der Stelle. to zweimal differenzierbar. Dann gilt: wenn bei xw ein Wendepunkt. von t liegt, dann ist f" (xw) = 0 hinreichendes kriterium: Die. Funktion. f. sei dreimal differenzierbar.. Dann gilt: If heißt linksgekrümmt auf I genau dann, wenn. Fauf I streng monoton steigt. wenn f!!! (x) = 0.→ Wendepunkt Links - Rechts Wendepunkt. fill(x) <0. Flu (X). >.0 → Rechts-Links Wendepunkt. f"(x) = 0 → Sattelpunkt hinreichendes kriterium: wenn (." (xw). einen. Vorzeichenwechsel hat, liegt dort eine Wendestelle vont Vorzeichenwechsel von + nach → Links-Rechts vorzeichenwechsel von - nach + → Rechts- Links Vorgehensweite: 4. Zweite Ableitung Osetzen →xw.berechnen Wende tangente →Tangente durch Xw (Wendestelle) 2. Xw in die drite. Ableitung linsetzen → Links -Rechts o. Rechts-Links. Wendepunkt. 3. Xwin elie Ausgangsfunktion um y zu berechnen → Wlxwlyw) +:y=mx+n Vorgehensweise: 1. m berechnen: f'(x) = m ( = tand) Steigungswinkel 2.6 berechnen: m und den wende punkt. (xwly w) einsetzen in f.lv). → b ·3. alle Werte in die Tangentengleichung einsetzen Normale. 4. Gera de, die orthogonal zur Tangenten bli xa liegt Bedingung: I m₂ = -√(-²) Mn = I n (xo) = ((xo). m enex) = maxin ệ na 1 m x +n.