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Untersuchung eines Graphen einer Funktion auf seine geometrischen Eigenschaften.
f(x)
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-Grundlagen -was wird untersucht? - Definitionsbereich -Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Nullstellen...) -Symmetrie -Monotonie -Extrempunkte und 1. Ableitung -Wendepunkte und 2. Ableitung -Wendetangente

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www.jouw Untersuchung eines Graphen einer Funktion auf seine geometrischen Eigenschaften. f(x) f'(x) Wendepunkt Grundlagen: Extrempunkt / Hochpunkt Schnittpunkt mit ・dery- Achse' Nullstelle Was wird untersucht? Definitions menge Schnitt punkte mit den koordinatenachsen ·Symmetrieverhalten. - Verhalten im Unendlichen. Monotonie und Extremwerte. und wendepunkte -Krümmung -Wertebereich und Graph Definitions menge: Welche Werte dürfen für x eingesetzt werden? Schnittpunkte mit den koordinatenachsen Nullstellen day=0⇒ F(x)=D. → nach x. auflösen Bsp: f(x) = x²-3x+2 0 = x²-3x+2 • mit deip-4 Formel: Bsp = 4(x)=x²³) D = IR (alle Werte dürfen eingesetzt werden) f(x)=√(x² >D = IR ² eder ID={XEIR; X=0} (nur positive Werte). x₁ = 1 X2=2 Extrempunkt. /Tiefpunkt Schnittpunkte mit der y-Achse: →nach Y Bsp: f(x) = 0²-3·0+2. Y.=2 → Sy (012) auflösen X = 0 Symmetrie verhalten AY achsensymmetrisch zur y-Achse f(x) = f(-x) Bsp: f(x) = x² x² = (x)² -x ² = x ² → achsensymmetrisch zur y-Achse. Bsp: f(x)=x² lim ((x). X-P J lim fex). punktsymmetrisch zum Ursprung -f(x) = f(-x). Verhalten im Unendlichen -X. lauft gegen unendlich und minus, unendlich, wie verhält sich der y-Welt? lim f(x) und. lim. f(x) Bsp: f(x) = x² - x² = - x² = (-x) ² = x². f.A. x² → nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Je größer oder kleiner. x wird, umso größer werden die v.- Welte und laufen gegen ・unendlich... Monotonie und Extremwerte Monotonieverhalten Aussage über Steigung der Funktion, Extremstellen: Änderung der Steigung von steigend zu fallend oder von fallend zu steigend. Extrempunkte berechnen Vorgehensweise: A erste Ableitung 9 setzen 2..x-Wert in 2. Ableitung einsetzen. Hoch punkl oder Tiefpunkt. ·3. x-Wert in Ausgangsfunktion einsetzen.um y-Welt. Zu bestimmen notwendiges kriterium:. Für eine...

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an der Stelle to differenzierbare Funktion gilt: wenn ((x) bei xo linen Extempunkt hat, dann gilt. f'(x) = 0 hinreichendes kriterium: Die Funktion f sei in einer Umgebung von & Zweimal differenzierbar. Hochpunkt → Gilt f'(x) = 0. und .f" (XE) < 0₁ so liegt an der Stelle XE lin lokales Maximum vont. → Gilt f'(x₂) -0. und f" (XE) >0, so liegt an der Stelle xe lin lokales Minimum vont.. ↳ Tiefpunkt. hinreichendes Kriterium: Die Funktion & Sei in einer Umgebung von XE. differenzierbar und es sei f'(XE) =0. Wenn dann die Ableitung f(x) ander selle XE →linen Vorzeichenwechsel von + nach - hal, so liegt bei XEPin lokales Maximum vont -> linen Vorzeichenwechsel von. nach + hat, So liegt bei x = ein lokales Minimum vont. keinen Vorzeichenwechsel hat, so liegt bei xe kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt von f (für jede ganzrationale Fikt.f). f(x) ful Hochpunkt f'(x) D -Tiefpunkt 1. Extrempunkteron f(x) und Nullstellen von f'(x) 4. ('(x)=0 f'(x) Das Monotonipkriterium Die Funktion f st auf dem Intervall. I differenzielbar. Dann gelten folgende. Aussagen 1st fex) >0 für alle x ←I, so ist fuxl streng monoton steigend auf. I f(x) 40 streng monoton fallend auf. I. (f(x) = 0. ((x) ≤0 • monolon steigend auf I monoton fallend auf I Sattelpunkt Krümmung und Wendepunkte Krümmungsverhalten Rechtskurve Die Steigung von f nimmt ab, das heißt fist streng monoton fallend Rechtskrümmung Definition: Die Funktion f. sei auf dem Intervall. I.≤D differenzierbar fheißt rechts geknimmt auf. I genau. dann, wenn f. auf I. streng. monoton fällt Linkskrümmung Die Steigung von f nimml zu, das heißt f. 1st streng monoton stegend Linkskurve Wendepunkte Der Wendepunkt ist der Punkt des Graphen liner Funktion f., an dem sich das Krümmungsverhalten thaett notwendiges kriterium:. Die Funktion of sei an der Stelle. to zweimal differenzierbar. Dann gilt: wenn bei xw ein Wendepunkt. von t liegt, dann ist f" (xw) = 0 hinreichendes kriterium: Die. Funktion. f. sei dreimal differenzierbar.. Dann gilt: If heißt linksgekrümmt auf I genau dann, wenn. Fauf I streng monoton steigt. wenn f!!! (x) = 0.→ Wendepunkt Links - Rechts Wendepunkt. fill(x) <0. Flu (X). >.0 → Rechts-Links Wendepunkt. f"(x) = 0 → Sattelpunkt hinreichendes kriterium: wenn (." (xw). einen. Vorzeichenwechsel hat, liegt dort eine Wendestelle vont Vorzeichenwechsel von + nach → Links-Rechts vorzeichenwechsel von - nach + → Rechts- Links Vorgehensweite: 4. Zweite Ableitung Osetzen →xw.berechnen Wende tangente →Tangente durch Xw (Wendestelle) 2. Xw in die drite. Ableitung linsetzen → Links -Rechts o. Rechts-Links. Wendepunkt. 3. Xwin elie Ausgangsfunktion um y zu berechnen → Wlxwlyw) +:y=mx+n Vorgehensweise: 1. m berechnen: f'(x) = m ( = tand) Steigungswinkel 2.6 berechnen: m und den wende punkt. (xwly w) einsetzen in f.lv). → b ·3. alle Werte in die Tangentengleichung einsetzen Normale. 4. Gera de, die orthogonal zur Tangenten bli xa liegt Bedingung: I m₂ = -√(-²) Mn = I n (xo) = ((xo). m enex) = maxin ệ na 1 m x +n.

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