Quadratische Funktion und Steigung

In dieser Aufgabe geht es um die quadratische Funktion f(x) = x² - x und deren Graph. Die Funktion ist ziemlich einfach, aber perfekt, um dein Verständnis von Steigungen zu testen.

Um die Steigung der Sekante durch die Punkte A(-1|0) und B(2|6) zu bestimmen, benutzt du die Steigungsformel: m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$. Setzt du die Koordinaten ein, erhältst du m = (6-0)/(2-(-1)) = 6/3 = 2.

Bei Teilaufgabe b) sollst du die Stellen finden, an denen der Graph die Steigung 2 hat. Da die Steigung durch die Ableitung f'(x) = 2x - 1 gegeben ist, musst du die Gleichung 2x - 1 = 2 lösen, was x = 1,5 ergibt.

💡 Merke dir: Die Ableitung einer Funktion gibt dir immer die Steigung an jeder Stelle des Graphen. Bei quadratischen Funktionen ist die Ableitung eine lineare Funktion!

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Würfeln

Hier arbeitest du mit zwei ungewöhnlichen Würfeln: Würfel A (mit den Zahlen 1, 1, 2, 2, 4, 5) und Würfel B (mit den Zahlen 1, 2, 3, 3, 4, 4). Ein Spiel wird gewonnen, wenn Würfel B eine höhere Zahl zeigt als Würfel A.

Um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du ein Baumdiagramm erstellen. Dabei listest du alle möglichen Kombinationen auf: Für jede der 6 möglichen Zahlen auf Würfel A gibt es 6 mögliche Zahlen auf Würfel B. Insgesamt gibt es also 36 mögliche Ergebnisse.

Danach zählst du die Fälle, in denen Würfel B größer ist als Würfel A. Wenn du alles richtig berechnest, solltest du auf eine Gewinnwahrscheinlichkeit von etwa 42% kommen.

In Teil 3 musst du die Zahlen auf Würfel B so ändern, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit genau 50% beträgt. Hierfür musst du systematisch ausprobieren, welche Zahlen zu diesem Ergebnis führen.

🎲 Tipp: Bei solchen Aufgaben hilft eine saubere Tabelle der möglichen Ergebnisse. So behältst du den Überblick und kannst einfach zählen, in wie vielen Fällen du gewinnst.

Polynom vierten Grades und Tangentenberechnung

Diese Aufgabe dreht sich um eine komplexere Funktion: f(x) = (1/40)x⁴ + (1/60)x³ - (9/10)x² + (11/8)x. Der Graph zeigt eine Tangente t am Punkt P(3|-17/4).

Um die Tangentengleichung zu bestimmen, musst du die Ableitung f'(x) berechnen und dann den Wert f'(3) ermitteln. Das gibt dir die Steigung der Tangente im Punkt P. Mit der Punkt-Steigungsform y - y₁ = m$x - x₁$ erhältst du dann die gesuchte Tangentengleichung t: y = -9/4·x + 5/2.

Die Tangente schneidet den Graphen zusätzlich im Punkt Q. Um dessen Koordinaten zu finden, musst du das Gleichungssystem aus der Funktion f(x) und der Tangentengleichung lösen.

Für die Dreiecksflächenberechnung brauchst du die Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen sowie den Koordinatenursprung. Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist A = (1/2) · Grundseite · Höhe.

💡 Wichtig: Bei solchen Aufgaben ist es immer hilfreich, ein klares Vorgehen zu haben: Erst die Ableitung bilden, dann die Steigung bestimmen und schließlich die Gleichung aufstellen.

Extremwertaufgabe mit Polynomfunktion

In diesem Aufgabenteil geht es darum, die lokalen Extremstellen der Funktion f(x) = (1/40)x⁴ + (1/60)x³ - (9/10)x² + (11/8)x zu finden und zu analysieren.

Um lokale Extremstellen zu bestimmen, setzt du die erste Ableitung f'(x) gleich Null und löst diese Gleichung. Für jede Lösung überprüfst du mit der zweiten Ableitung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.

Es ist zu beweisen, dass der lokale Hochpunkt H(0|11/8) nicht der globale Hochpunkt ist. Dazu musst du einen x-Wert finden, für den f(x) > f(0) = 11/8 gilt.

Im letzten Teil wird der Definitionsbereich auf $-2, a$ eingeschränkt. Es soll der größte Wert a > 5 (mit genau einer Nachkommastelle) gefunden werden, für den H der globale Hochpunkt im eingeschränkten Bereich bleibt. Hier musst du systematisch verschiedene a-Werte testen und prüfen, ob für alle x im Intervall $-2, a$ gilt: f(x) ≤ f(0).

🔍 Strategie: Bei Extremwertaufgaben immer erst die kritischen Stellen $f'(x) = 0$ finden und dann mit der zweiten Ableitung den Typ des Extremums bestimmen. Denke daran, dass ein lokales Extremum nicht unbedingt auch ein globales sein muss!

Anwendungsaufgabe zur Feinstaubbelastung

Diese spannende Aufgabe modelliert die Feinstaubkonzentration in einer Stadt mit der Funktion f(t) = -0,008·t⁴ + 0,144·t³ - 0,47·t² - 0,6·t + 17,6 für den Zeitraum von 0:00 Uhr bis 12:00 Uhr $t = 0 bis t = 12$.

Um die Zunahme der Feinstaubkonzentration zwischen 6:00 Uhr und 10:00 Uhr zu ermitteln, berechnest du einfach f(10) - f(6), also den Unterschied der Werte zu diesen Zeitpunkten.

Für die maximale und minimale Feinstaubkonzentration musst du die Extremstellen der Funktion im Intervall $0, 12$ bestimmen. Setze dafür die Ableitung f'(t) = 0 und prüfe alle Lösungen sowie die Randwerte t = 0 und t = 12.

Der Stadtrat gibt vor, dass der Grenzwert von 20 µg/m³ nicht überschritten werden soll. Du berechnest, um wie viel Prozent der maximale Wert diesen Grenzwert übersteigt, mit der Formel: $Maximalwert - 20$ / 20 · 100%.

🌆 Realitätsbezug: Diese Aufgabe zeigt, wie Mathematik in der Umwelttechnik eingesetzt wird! Durch Funktionsanalyse können wir vorhersagen, wann Grenzwerte überschritten werden und wie lange diese Überschreitung dauert.

Maßnahmenpakete zur Feinstaubreduktion

Die Stadt diskutiert zwei Maßnahmenpakete zur Reduzierung der Feinstaubkonzentration:

• Paket A: Verringerung der Konzentration um 20% zu jeder Tageszeit
• Paket B: Verringerung der Konzentration um 3 µg/m³ zu jeder Tageszeit

Die veränderten Konzentrationen werden durch die Funktionen g₁ und g₂ modelliert, die aus Transformationen der ursprünglichen Funktion f entstehen.

Um zu bestimmen, welcher Graph zu welcher Funktion gehört, musst du die Transformationsregeln anwenden:

• Bei einer prozentualen Verringerung wird der Graph in y-Richtung gestaucht (Multiplikation mit einem Faktor < 1)
• Bei einer konstanten Verringerung wird der Graph in y-Richtung nach unten verschoben (Subtraktion eines Wertes)

Anhand der Graphen kannst du erkennen, welche Transformation zu welchem Maßnahmenpaket gehört. Daraus leitest du die Funktionsgleichungen ab:

• g₁(t) = 0,8·f(t) für Paket A
• g₂(t) = f(t) - 3 für Paket B

📊 Visualisierung: Bei Transformationen von Funktionen ist es immer hilfreich, sich den Effekt bildlich vorzustellen: Eine prozentuale Änderung "staucht" oder "streckt" den Graphen, während eine konstante Änderung den Graphen parallel verschiebt.

Fortsetzung Feinstaubaufgabe

Anhand der Grafiken solltest du entscheiden können, welcher Graph zu welchem Maßnahmenpaket gehört. Die Funktionsgleichungen kannst du direkt aus den gegebenen Transformationen ableiten:

Für Maßnahmenpaket A (prozentuale Reduktion) gilt: g₁(t) = 0,8 · f(t) = 0,8 · $-0,008·t⁴ + 0,144·t³ - 0,47·t² - 0,6·t + 17,6$

Für Maßnahmenpaket B (konstante Reduktion) gilt: g₂(t) = f(t) - 3 = -0,008·t⁴ + 0,144·t³ - 0,47·t² - 0,6·t + 17,6 - 3

Wenn du dir unsicher bist, kannst du Testpunkte einsetzen: Bei t = 0 ist f(0) = 17,6. Damit wäre g₁(0) = 0,8 · 17,6 = 14,08 und g₂(0) = 17,6 - 3 = 14,6. Vergleiche diese Werte mit den Graphen!

🧩 Tipp für die Praxis: Wenn du zwischen verschiedenen Modellen entscheiden musst, hilft es oft, charakteristische Punkte (wie Anfangswerte oder Extremwerte) zu vergleichen, um die richtige Zuordnung zu finden.

Analyse einer Polynomfunktion vierten Grades

In dieser Aufgabe betrachtest du die Funktion f(x) = x⁴ - 8·x³ + 6·x² + 40·x, deren Graph im Bild dargestellt ist.

Die erste Teilaufgabe verlangt, dass du die markierte Nullstelle a bestimmst. Dazu kannst du den Graphen nutzen, um einen Näherungswert zu schätzen, und dann mit dem Verfahren der Intervallhalbierung oder der Newton-Methode die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau berechnen.

Für diesen Funktionstyp kannst du auch direkt den GTR (grafikfähigen Taschenrechner) oder ein CAS $Computer-Algebra-System$ verwenden, um die Nullstelle zu approximieren.

📱 Praxistipp: Bei komplexen Funktionen wie dieser ist ein grafikfähiger Taschenrechner eine große Hilfe! Lerne, wie du Nullstellen damit finden kannst, denn in der Klausur sparst du damit wertvolle Zeit.

Lokale Extremstelle und Tangenten

Hier sollst du nachweisen, dass x = 2 eine lokale Maximalstelle der Funktion f(x) = x⁴ - 8·x³ + 6·x² + 40·x ist.

Dafür musst du zwei Dinge zeigen:

1. Die erste Ableitung f'(2) = 0 (notwendige Bedingung)
2. Die zweite Ableitung f''(2) < 0 (hinreichende Bedingung für ein Maximum)

Die erste Ableitung ist f'(x) = 4x³ - 24x² + 12x + 40. Setze x = 2 ein und überprüfe, ob f'(2) = 0 ist. Anschließend berechnest du f''(x) = 12x² - 48x + 12 und prüfst, ob f''(2) < 0 ist.

Im nächsten Teil zeichnest du die Sekante durch die Punkte H₁(2|56) und P₁(4|0) ein und berechnest ihre Steigung mit der Formel m = (0-56)/(4-2) = -28.

Für die Tangentenberechnung im Punkt P₁ ermittelst du f'(4), was dir die Steigung der Tangente gibt. Mit dem Punkt P₁ und der Steigung kannst du dann die Tangentengleichung t aufstellen.

📐 Mathematisches Verständnis: Die Tangente berührt den Graphen in genau einem Punkt und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph. Je weiter du dich vom Berührpunkt entfernst, desto größer wird der Unterschied zwischen Sekante und Tangente!

Wasserstand des Rheins - Funktionsanalyse

Diese praktische Anwendungsaufgabe behandelt den Wasserstand des Rheins in Bonn während eines Hochwassers im Oktober 2016. Der Wasserstand wird durch die Funktion h(t) = (80/27)t³ + (40/3)t² + 130 modelliert, wobei t die Zeit in Tagen seit dem 20.10.2016, 0:00 Uhr angibt.

Um den Wasserstand am 21.10. um 12:00 Uhr zu berechnen, setzt du t = 1,5 in die Funktion ein, da dies dem Zeitpunkt 1 Tag und 12 Stunden nach Beginn entspricht.

Der Ausdruck $h(3)-h(1)$/2 berechnet die durchschnittliche Änderungsrate des Wasserstands zwischen dem 21.10. und 23.10., also die durchschnittliche tägliche Änderung in diesem Zeitraum.

Für den niedrigsten und höchsten Wasserstand im betrachteten Zeitraum (0 ≤ t ≤ 3,5) musst du sowohl die Randwerte h(0) und h(3,5) berechnen als auch potenzielle Extremwerte im Inneren des Intervalls finden, indem du h'(t) = 0 löst.

💧 Realbezug: Diese Aufgabe zeigt, wie Mathematik hilft, Naturphänomene wie Hochwasser zu analysieren und vorherzusagen. Die Erkenntnisse können für den Hochwasserschutz wichtig sein!