App öffnen

Fächer

Mathe

2. Dez. 2025

5.829

10 Seiten

Mathe ZP 2018 Aufgaben und Lösungen

user profile picture

Annika💻 @annika24

Diese Zentrale Klausur aus NRW von 2018 zeigt dir genau, was in der Einführungsphase Mathematik auf dich zukommt.... Mehr anzeigen

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Prüfungsteil A - Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1 behandelt eine quadratische Funktion mit f(x)=12x2+x2x+2f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x^2 - x + 2. Du musst hier die Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen - das ist Grundwissen, das du draufhaben solltest.

Der zweite Teil ist clever Du bekommst zwei Graphen und musst anhand der Steigung an der Stelle x=0 entscheiden, welcher zur Funktion gehört. Das zeigt, wie wichtig es ist, den Zusammenhang zwischen Ableitung und Steigung zu verstehen.

💡 Tipp Die Ableitung gibt dir immer die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt an.

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Stochastik - Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 2 ist ein typisches Stochastik-Problem mit Internetnutzung und Altersgruppen. 20% sind Senioren, 10% sind internetnutzende Senioren, 85% nutzen insgesamt das Internet.

Du sollst eine Vierfeldertafel vervollständigen - das ist ein super Tool, um solche Probleme zu strukturieren. Der Trick ist, systematisch vorzugehen und die gegebenen Prozentsätze richtig zuzuordnen.

Im zweiten Teil geht's um bedingte Wahrscheinlichkeit Wenn jemand das Internet nutzt, wie wahrscheinlich ist es, dass die Person ein Senior ist? Du musst nur den Term aufstellen, nicht rechnen.

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Prüfungsteil B - Komplexere Analysis

Aufgabe 3 startet mit einer Funktion 4. Grades f(x)=x48x3+6x2+40xf(x) = x^4 - 8x^3 + 6x^2 + 40x. Hier darfst du den Taschenrechner benutzen, was die Sache deutlich entspannter macht.

Zuerst musst du eine Nullstelle aus dem Graphen ablesen - auf zwei Nachkommastellen genau. Das ist reine Ablesekompetenz, aber wichtig für viele weitere Aufgaben.

💡 Merke dir Bei Funktionen höheren Grades ist der Taschenrechner dein bester Freund!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Extremstellen und Tangenten

Teil b) verlangt den rechnerischen Nachweis eines lokalen Maximums bei x=2. Das bedeutet erste Ableitung gleich null und zweite Ableitung negativ - klassisches Vorgehen bei Extremwertaufgaben.

Die Teilaufgabe c) ist richtig umfangreich Sekanten und Tangenten zeichnen, Steigungen berechnen und sogar systematisches Probieren für eine bestimmte Bedingung. Die Tangente im Punkt P₁(4|0) hat die Steigung -40.

Der letzte Teil behandelt Funktionsmanipulationen Stauchung in y-Richtung und Verschiebung nach rechts. Solche Transformationen kommen häufig vor, also übe sie gut!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Modellierung - Rheinwasserstand

Aufgabe 4 ist ein echtes Anwendungsbeispiel Der Wasserstand des Rheins wird durch eine quadratische Funktion modelliert. Das zeigt, wie Mathematik in der Realität funktioniert.

Die Funktion h(t)=8027t2403t+130h(t) = \frac{80}{27}t^2 - \frac{40}{3}t + 130 beschreibt den Wasserstand von Oktober 2016. Dabei entspricht t=0 dem 20.10. um 000 Uhr.

Du lernst hier, wie man realistische Daten mathematisch interpretiert und mit Funktionen arbeitet, die echte Phänomene beschreiben.

💡 Praxistipp Bei Modellierungsaufgaben immer genau auf die Zeitangaben achten!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Berechnungen am Wasserstand-Modell

Teil a) ist straightforward Funktionswert berechnen für einen bestimmten Zeitpunkt. Teil b) behandelt den Differenzenquotienten - das ist die durchschnittliche Änderungsrate.

Aufgabe c) verlangt Extremwerte im betrachteten Zeitraum. Du musst die Ableitung bilden, Nullstellen finden und die Randwerte überprüfen. Das ist Standard bei beschränkten Intervallen.

Teil d) fragt nach der Zeitdauer für bestimmte Wasserstände. Du musst Gleichungen lösen und dann die Zeitintervalle bestimmen - eine typische Anwendung von Gleichungslösen.

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Ableitung und Funktionsverlauf

Aufgabe e) ist besonders interessant Du bekommst den Graphen der Ableitungsfunktion und sollst daraus auf den Verlauf der ursprünglichen Funktion schließen.

Das ist quasi rückwärts denken Wo die Ableitung positiv ist, steigt die Funktion. Wo sie negativ ist, fällt die Funktion. Nullstellen der Ableitung sind mögliche Extremstellen der ursprünglichen Funktion.

Diese Aufgabe testet dein konzeptionelles Verständnis vom Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung - ein Kernthema der Analysis.

💡 Eselsbrücke Ableitung positiv = Funktion steigt, Ableitung negativ = Funktion fällt!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Bewertungskriterien Teil 1

Die Erwartungshorizonte zeigen dir genau, worauf die Lehrer achten. Bei Aufgabe 3d) geht's um Funktionsmanipulationen - der Faktor ½ für die Stauchung und die korrekte Gleichung für g.

Aufgabe 4 wird sehr detailliert bewertet Wasserstand berechnen (3 Punkte), Differenzenquotient interpretieren (4 Punkte). Die Punkte sind fair verteilt zwischen Rechnung und Interpretation.

Du siehst Interpretation ist genauso wichtig wie das reine Rechnen. Übersetzung zwischen Mathematik und Realität wird immer mitbewertet.

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Bewertungskriterien Teil 2

Bei den Extremwertaufgaben wird systematisch bewertet Ableitung aufstellen (2P), notwendige Bedingung anwenden (2P), Extremwerte bestimmen (5P). Das zeigt die Struktur, die erwartet wird.

Die Zeitdauer-Aufgabe bringt 4 Punkte und die Skizze basierend auf der Ableitung ebenfalls 4 Punkte. Zeichnen ist also nicht unwichtig!

Insgesamt 24 Punkte für Aufgabe 4 - das ist ein ordentlicher Brocken. Die Verteilung zeigt Anwendungsaufgaben sind punktereicher als reine Rechenaufgaben.

💡 Strategietipp Bei komplexen Aufgaben jeden Teilschritt sauber dokumentieren - das bringt Teilpunkte!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Notenschlüssel und Gesamtbewertung

60 Punkte insgesamt verteilen sich auf vier Aufgaben. Die Notenverteilung ist relativ fair 52-60 Punkte für "sehr gut", das sind etwa 87% der möglichen Punkte.

"Ausreichend" gibt's schon ab 25 Punkten - das sind nur 42% der Gesamtpunktzahl. Das zeigt Auch mit Lücken kannst du noch bestehen, wenn du die Basics draufhast.

Die Aufteilung 6+6+24+24 Punkte macht deutlich Prüfungsteil B ist entscheidend. Hier kannst du mit dem Taschenrechner richtig punkten, aber auch richtig baden gehen.

Fazit Basics sicher beherrschen, Taschenrechner geschickt einsetzen und immer den Sachbezug im Blick behalten!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

131

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Kurvendiskussion und Bernoulli-Experimente

Entdecken Sie die Grundlagen der Kurvendiskussion, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Monotonieverhalten und Wendepunkten. Erfahren Sie, wie man Steckbriefaufgaben löst und die Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten berechnet. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte wie graphische Ableitungen, Nullstellen und Krümmungsverhalten. Ideal für Studierende der Mathematik.

MatheMathe
12

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Entdecken Sie die wesentlichen Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich Extremstellen, Wendepunkte und Monotonieverhalten. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Anleitungen zur Bestimmung von Funktionsgleichungen sowie zur grafischen Differenzierung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

MatheMathe
12

Wasserstandsanalyse Hochwasser

Diese Zusammenfassung behandelt die mathematischen Konzepte zur Analyse des Wasserstands bei Hochwasser, einschließlich der Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeit, momentaner Geschwindigkeit und Extremstellen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die praktische Anwendungen verstehen möchten.

MatheMathe
11

Wasserturm Analyse

Diese Klausur behandelt die mathematische Analyse der Wassermenge in einem Wasserturm. Sie umfasst die Bestimmung von Extrempunkten, Ableitungen, graphische Lösungen und die Anwendung des Differenzenquotienten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen in der Analysis vorbereiten. Themen: Ableitungen, lokale Extremstellen, graphische Differenzierung und Funktionstransformationen.

MatheMathe
11

Extrempunkte & Wendepunkte

Diese PDF bietet eine umfassende Anleitung zur Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten. Sie behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, das Krümmungsverhalten sowie Steckbriefaufgaben. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Mathematische Analyse: Ableitungen & Graphen

Vertiefen Sie Ihr Wissen in der mathematischen Analyse mit diesem umfassenden Arbeitsblatt. Es behandelt Ableitungen, das Verhalten von Funktionen, Extrem- und Wendepunkte sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für die Vorbereitung auf die Klausur im Mathematik Leistungskurs der 10. Klasse. Schwerpunkte: Ableitungen, Graphen, quadratische Gleichungen, und Differenzierungsregeln.

MatheMathe
11

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

 

Mathe

5.829

2. Dez. 2025

10 Seiten

Mathe ZP 2018 Aufgaben und Lösungen

user profile picture

Annika💻

@annika24

Diese Zentrale Klausur aus NRW von 2018 zeigt dir genau, was in der Einführungsphase Mathematik auf dich zukommt. Die Prüfung besteht aus zwei Teilen: einem ohne Hilfsmittel (Analysis und Stochastik) und einem mit Taschenrechner (komplexere Analysis-Aufgaben).

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Prüfungsteil A - Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1 behandelt eine quadratische Funktion mit f(x)=12x2+x2x+2f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x^2 - x + 2. Du musst hier die Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen - das ist Grundwissen, das du draufhaben solltest.

Der zweite Teil ist clever: Du bekommst zwei Graphen und musst anhand der Steigung an der Stelle x=0 entscheiden, welcher zur Funktion gehört. Das zeigt, wie wichtig es ist, den Zusammenhang zwischen Ableitung und Steigung zu verstehen.

💡 Tipp: Die Ableitung gibt dir immer die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt an.

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Stochastik - Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 2 ist ein typisches Stochastik-Problem mit Internetnutzung und Altersgruppen. 20% sind Senioren, 10% sind internetnutzende Senioren, 85% nutzen insgesamt das Internet.

Du sollst eine Vierfeldertafel vervollständigen - das ist ein super Tool, um solche Probleme zu strukturieren. Der Trick ist, systematisch vorzugehen und die gegebenen Prozentsätze richtig zuzuordnen.

Im zweiten Teil geht's um bedingte Wahrscheinlichkeit: Wenn jemand das Internet nutzt, wie wahrscheinlich ist es, dass die Person ein Senior ist? Du musst nur den Term aufstellen, nicht rechnen.

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Prüfungsteil B - Komplexere Analysis

Aufgabe 3 startet mit einer Funktion 4. Grades: f(x)=x48x3+6x2+40xf(x) = x^4 - 8x^3 + 6x^2 + 40x. Hier darfst du den Taschenrechner benutzen, was die Sache deutlich entspannter macht.

Zuerst musst du eine Nullstelle aus dem Graphen ablesen - auf zwei Nachkommastellen genau. Das ist reine Ablesekompetenz, aber wichtig für viele weitere Aufgaben.

💡 Merke dir: Bei Funktionen höheren Grades ist der Taschenrechner dein bester Freund!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Extremstellen und Tangenten

Teil b) verlangt den rechnerischen Nachweis eines lokalen Maximums bei x=2. Das bedeutet: erste Ableitung gleich null und zweite Ableitung negativ - klassisches Vorgehen bei Extremwertaufgaben.

Die Teilaufgabe c) ist richtig umfangreich: Sekanten und Tangenten zeichnen, Steigungen berechnen und sogar systematisches Probieren für eine bestimmte Bedingung. Die Tangente im Punkt P₁(4|0) hat die Steigung -40.

Der letzte Teil behandelt Funktionsmanipulationen: Stauchung in y-Richtung und Verschiebung nach rechts. Solche Transformationen kommen häufig vor, also übe sie gut!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Modellierung - Rheinwasserstand

Aufgabe 4 ist ein echtes Anwendungsbeispiel: Der Wasserstand des Rheins wird durch eine quadratische Funktion modelliert. Das zeigt, wie Mathematik in der Realität funktioniert.

Die Funktion h(t)=8027t2403t+130h(t) = \frac{80}{27}t^2 - \frac{40}{3}t + 130 beschreibt den Wasserstand von Oktober 2016. Dabei entspricht t=0 dem 20.10. um 0:00 Uhr.

Du lernst hier, wie man realistische Daten mathematisch interpretiert und mit Funktionen arbeitet, die echte Phänomene beschreiben.

💡 Praxistipp: Bei Modellierungsaufgaben immer genau auf die Zeitangaben achten!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Berechnungen am Wasserstand-Modell

Teil a) ist straightforward: Funktionswert berechnen für einen bestimmten Zeitpunkt. Teil b) behandelt den Differenzenquotienten - das ist die durchschnittliche Änderungsrate.

Aufgabe c) verlangt Extremwerte im betrachteten Zeitraum. Du musst die Ableitung bilden, Nullstellen finden und die Randwerte überprüfen. Das ist Standard bei beschränkten Intervallen.

Teil d) fragt nach der Zeitdauer für bestimmte Wasserstände. Du musst Gleichungen lösen und dann die Zeitintervalle bestimmen - eine typische Anwendung von Gleichungslösen.

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Ableitung und Funktionsverlauf

Aufgabe e) ist besonders interessant: Du bekommst den Graphen der Ableitungsfunktion und sollst daraus auf den Verlauf der ursprünglichen Funktion schließen.

Das ist quasi rückwärts denken: Wo die Ableitung positiv ist, steigt die Funktion. Wo sie negativ ist, fällt die Funktion. Nullstellen der Ableitung sind mögliche Extremstellen der ursprünglichen Funktion.

Diese Aufgabe testet dein konzeptionelles Verständnis vom Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung - ein Kernthema der Analysis.

💡 Eselsbrücke: Ableitung positiv = Funktion steigt, Ableitung negativ = Funktion fällt!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Bewertungskriterien Teil 1

Die Erwartungshorizonte zeigen dir genau, worauf die Lehrer achten. Bei Aufgabe 3d) geht's um Funktionsmanipulationen - der Faktor ½ für die Stauchung und die korrekte Gleichung für g.

Aufgabe 4 wird sehr detailliert bewertet: Wasserstand berechnen (3 Punkte), Differenzenquotient interpretieren (4 Punkte). Die Punkte sind fair verteilt zwischen Rechnung und Interpretation.

Du siehst: Interpretation ist genauso wichtig wie das reine Rechnen. Übersetzung zwischen Mathematik und Realität wird immer mitbewertet.

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Bewertungskriterien Teil 2

Bei den Extremwertaufgaben wird systematisch bewertet: Ableitung aufstellen (2P), notwendige Bedingung anwenden (2P), Extremwerte bestimmen (5P). Das zeigt die Struktur, die erwartet wird.

Die Zeitdauer-Aufgabe bringt 4 Punkte und die Skizze basierend auf der Ableitung ebenfalls 4 Punkte. Zeichnen ist also nicht unwichtig!

Insgesamt 24 Punkte für Aufgabe 4 - das ist ein ordentlicher Brocken. Die Verteilung zeigt: Anwendungsaufgaben sind punktereicher als reine Rechenaufgaben.

💡 Strategietipp: Bei komplexen Aufgaben jeden Teilschritt sauber dokumentieren - das bringt Teilpunkte!

Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prü

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Notenschlüssel und Gesamtbewertung

60 Punkte insgesamt verteilen sich auf vier Aufgaben. Die Notenverteilung ist relativ fair: 52-60 Punkte für "sehr gut", das sind etwa 87% der möglichen Punkte.

"Ausreichend" gibt's schon ab 25 Punkten - das sind nur 42% der Gesamtpunktzahl. Das zeigt: Auch mit Lücken kannst du noch bestehen, wenn du die Basics draufhast.

Die Aufteilung 6+6+24+24 Punkte macht deutlich: Prüfungsteil B ist entscheidend. Hier kannst du mit dem Taschenrechner richtig punkten, aber auch richtig baden gehen.

Fazit: Basics sicher beherrschen, Taschenrechner geschickt einsetzen und immer den Sachbezug im Blick behalten!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

131

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Kurvendiskussion und Bernoulli-Experimente

Entdecken Sie die Grundlagen der Kurvendiskussion, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Monotonieverhalten und Wendepunkten. Erfahren Sie, wie man Steckbriefaufgaben löst und die Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten berechnet. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte wie graphische Ableitungen, Nullstellen und Krümmungsverhalten. Ideal für Studierende der Mathematik.

MatheMathe
12

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Entdecken Sie die wesentlichen Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich Extremstellen, Wendepunkte und Monotonieverhalten. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Anleitungen zur Bestimmung von Funktionsgleichungen sowie zur grafischen Differenzierung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

MatheMathe
12

Wasserstandsanalyse Hochwasser

Diese Zusammenfassung behandelt die mathematischen Konzepte zur Analyse des Wasserstands bei Hochwasser, einschließlich der Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeit, momentaner Geschwindigkeit und Extremstellen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die praktische Anwendungen verstehen möchten.

MatheMathe
11

Wasserturm Analyse

Diese Klausur behandelt die mathematische Analyse der Wassermenge in einem Wasserturm. Sie umfasst die Bestimmung von Extrempunkten, Ableitungen, graphische Lösungen und die Anwendung des Differenzenquotienten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen in der Analysis vorbereiten. Themen: Ableitungen, lokale Extremstellen, graphische Differenzierung und Funktionstransformationen.

MatheMathe
11

Extrempunkte & Wendepunkte

Diese PDF bietet eine umfassende Anleitung zur Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten. Sie behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, das Krümmungsverhalten sowie Steckbriefaufgaben. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Mathematische Analyse: Ableitungen & Graphen

Vertiefen Sie Ihr Wissen in der mathematischen Analyse mit diesem umfassenden Arbeitsblatt. Es behandelt Ableitungen, das Verhalten von Funktionen, Extrem- und Wendepunkte sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für die Vorbereitung auf die Klausur im Mathematik Leistungskurs der 10. Klasse. Schwerpunkte: Ableitungen, Graphen, quadratische Gleichungen, und Differenzierungsregeln.

MatheMathe
11

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user