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Aktualisiert Mar 12, 2026
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Einleitung zu Ganzrationalen Funktionen: Erklärung und Beispiele
Julja
@julka_cln3
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Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Die erste Ableitung f'(x) verrät dir, wo deine Funktion steigt oder fällt. Wenn f'(x) = 0 ist, hast du eine potentielle Extremstelle gefunden - also einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung f''(x) zeigt dir das Krümmungsverhalten. Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln 😊). Ist f''(x) < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriges Gesicht 😞).
Für Extremstellen brauchst du zwei Bedingungen: Erst muss f'(x) = 0 sein (notwendige Bedingung), dann muss f''(x) ≠ 0 sein (hinreichende Bedingung). Wenn f''(x) < 0, hast du ein lokales Maximum, wenn f''(x) > 0, ein lokales Minimum.
Merkhilfe: Bei Symmetrie achte auf die Exponenten - ungerade = punktsymmetrisch, gerade = achsensymmetrisch!
Tangenten und Wendestellen finden
Für die Tangentengleichung y = mx + n setzt du einfach deinen x-Wert in die erste Ableitung ein - das gibt dir die Steigung m. Dann löst du nach n auf, indem du die bekannten Werte einsetzt.
Wendestellen findest du über die zweite Ableitung: f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung, f'''(x) ≠ 0 die hinreichende. Falls f'''(x) = 0 wird, musst du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.
Die Wendetangente bestimmst du genauso wie eine normale Tangente - nur dass dein Punkt eben der Wendepunkt ist. Du nutzt wieder die erste Ableitung für die Steigung.
GTR-Tipp: Bei "Bestimme rechnerisch" oder "Berechne" darfst du die solve()-Funktion deines Taschenrechners nutzen!
Monotonieverhalten analysieren
Das Monotonieverhalten zu bestimmen ist eigentlich ziemlich straightforward. Zuerst leitest du ab und suchst die Nullstellen von f'(x). Diese Nullstellen teilen den Definitionsbereich in Intervalle auf.
Dann testest du in jedem Intervall einen beliebigen Wert: Setze ihn in f'(x) ein. Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion streng monoton. Ist es negativ, fällt sie streng monoton.
Das Ganze funktioniert nach einem einfachen Schema: Ableitung → Nullstellen finden → Intervalle aufstellen → Testpunkte einsetzen → Vorzeichen interpretieren. So siehst du auf einen Blick, wo deine Funktion steigt und wo sie fällt.
Eselsbrücke: f'(x) > 0 = Graph geht hoch, f'(x) < 0 = Graph geht runter!
Steckbriefaufgaben meistern
Bei Steckbriefaufgaben stellst du aus gegebenen Eigenschaften eine komplette Funktion auf. Das ist wie ein Puzzle - jede Information gibt dir eine Gleichung.
Zuerst überlegst du dir den allgemeinen Ansatz: Grad 3 bedeutet f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, dass nur ungerade Exponenten vorkommen, also f(x) = ax³ + bx.
Jede weitere Eigenschaft liefert eine Gleichung: Ein Punkt P(2|4) bedeutet f(2) = 4. Eine Steigung m = -1,5 an der Stelle x = 2 bedeutet f'(2) = -1,5. So baust du dir ein lineares Gleichungssystem auf und löst es.
Erfolgsgeheimnis: Strukturiert vorgehen - erst Ansatz, dann systematisch alle Bedingungen in Gleichungen umwandeln!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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4.6/5
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Einleitung zu Ganzrationalen Funktionen: Erklärung und Beispiele
Julja
@julka_cln3
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Analysis, den du für dein Abitur drauf haben musst. Hier lernst du, wie du mit Ableitungen Extrem- und Wendepunkte findest und sogar komplette Funktionen aus gegebenen Eigenschaften aufstellst.
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Die erste Ableitung f'(x) verrät dir, wo deine Funktion steigt oder fällt. Wenn f'(x) = 0 ist, hast du eine potentielle Extremstelle gefunden - also einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung f''(x) zeigt dir das Krümmungsverhalten. Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln 😊). Ist f''(x) < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriges Gesicht 😞).
Für Extremstellen brauchst du zwei Bedingungen: Erst muss f'(x) = 0 sein (notwendige Bedingung), dann muss f''(x) ≠ 0 sein (hinreichende Bedingung). Wenn f''(x) < 0, hast du ein lokales Maximum, wenn f''(x) > 0, ein lokales Minimum.
Merkhilfe: Bei Symmetrie achte auf die Exponenten - ungerade = punktsymmetrisch, gerade = achsensymmetrisch!
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Tangenten und Wendestellen finden
Für die Tangentengleichung y = mx + n setzt du einfach deinen x-Wert in die erste Ableitung ein - das gibt dir die Steigung m. Dann löst du nach n auf, indem du die bekannten Werte einsetzt.
Wendestellen findest du über die zweite Ableitung: f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung, f'''(x) ≠ 0 die hinreichende. Falls f'''(x) = 0 wird, musst du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.
Die Wendetangente bestimmst du genauso wie eine normale Tangente - nur dass dein Punkt eben der Wendepunkt ist. Du nutzt wieder die erste Ableitung für die Steigung.
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Monotonieverhalten analysieren
Das Monotonieverhalten zu bestimmen ist eigentlich ziemlich straightforward. Zuerst leitest du ab und suchst die Nullstellen von f'(x). Diese Nullstellen teilen den Definitionsbereich in Intervalle auf.
Dann testest du in jedem Intervall einen beliebigen Wert: Setze ihn in f'(x) ein. Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion streng monoton. Ist es negativ, fällt sie streng monoton.
Das Ganze funktioniert nach einem einfachen Schema: Ableitung → Nullstellen finden → Intervalle aufstellen → Testpunkte einsetzen → Vorzeichen interpretieren. So siehst du auf einen Blick, wo deine Funktion steigt und wo sie fällt.
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Steckbriefaufgaben meistern
Bei Steckbriefaufgaben stellst du aus gegebenen Eigenschaften eine komplette Funktion auf. Das ist wie ein Puzzle - jede Information gibt dir eine Gleichung.
Zuerst überlegst du dir den allgemeinen Ansatz: Grad 3 bedeutet f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, dass nur ungerade Exponenten vorkommen, also f(x) = ax³ + bx.
Jede weitere Eigenschaft liefert eine Gleichung: Ein Punkt P(2|4) bedeutet f(2) = 4. Eine Steigung m = -1,5 an der Stelle x = 2 bedeutet f'(2) = -1,5. So baust du dir ein lineares Gleichungssystem auf und löst es.
Erfolgsgeheimnis: Strukturiert vorgehen - erst Ansatz, dann systematisch alle Bedingungen in Gleichungen umwandeln!
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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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