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Julja
29.11.2025
Mathe
Ganzrationale Funktionen
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29. Nov. 2025
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Julja
@julka_cln3
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Analysis, den du... Mehr anzeigen
Die erste Ableitung f'(x) verrät dir, wo deine Funktion steigt oder fällt. Wenn f'(x) = 0 ist, hast du eine potentielle Extremstelle gefunden - also einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung f''(x) zeigt dir das Krümmungsverhalten. Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln 😊). Ist f''(x) < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriges Gesicht 😞).
Für Extremstellen brauchst du zwei Bedingungen: Erst muss f'(x) = 0 sein (notwendige Bedingung), dann muss f''(x) ≠ 0 sein (hinreichende Bedingung). Wenn f''(x) < 0, hast du ein lokales Maximum, wenn f''(x) > 0, ein lokales Minimum.
Merkhilfe: Bei Symmetrie achte auf die Exponenten - ungerade = punktsymmetrisch, gerade = achsensymmetrisch!
Für die Tangentengleichung y = mx + n setzt du einfach deinen x-Wert in die erste Ableitung ein - das gibt dir die Steigung m. Dann löst du nach n auf, indem du die bekannten Werte einsetzt.
Wendestellen findest du über die zweite Ableitung: f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung, f'''(x) ≠ 0 die hinreichende. Falls f'''(x) = 0 wird, musst du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.
Die Wendetangente bestimmst du genauso wie eine normale Tangente - nur dass dein Punkt eben der Wendepunkt ist. Du nutzt wieder die erste Ableitung für die Steigung.
GTR-Tipp: Bei "Bestimme rechnerisch" oder "Berechne" darfst du die solve()-Funktion deines Taschenrechners nutzen!
Das Monotonieverhalten zu bestimmen ist eigentlich ziemlich straightforward. Zuerst leitest du ab und suchst die Nullstellen von f'(x). Diese Nullstellen teilen den Definitionsbereich in Intervalle auf.
Dann testest du in jedem Intervall einen beliebigen Wert: Setze ihn in f'(x) ein. Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion streng monoton. Ist es negativ, fällt sie streng monoton.
Das Ganze funktioniert nach einem einfachen Schema: Ableitung → Nullstellen finden → Intervalle aufstellen → Testpunkte einsetzen → Vorzeichen interpretieren. So siehst du auf einen Blick, wo deine Funktion steigt und wo sie fällt.
Eselsbrücke: f'(x) > 0 = Graph geht hoch, f'(x) < 0 = Graph geht runter!
Bei Steckbriefaufgaben stellst du aus gegebenen Eigenschaften eine komplette Funktion auf. Das ist wie ein Puzzle - jede Information gibt dir eine Gleichung.
Zuerst überlegst du dir den allgemeinen Ansatz: Grad 3 bedeutet f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, dass nur ungerade Exponenten vorkommen, also f(x) = ax³ + bx.
Jede weitere Eigenschaft liefert eine Gleichung: Ein Punkt P(2|4) bedeutet f(2) = 4. Eine Steigung m = -1,5 an der Stelle x = 2 bedeutet f'(2) = -1,5. So baust du dir ein lineares Gleichungssystem auf und löst es.
Erfolgsgeheimnis: Strukturiert vorgehen - erst Ansatz, dann systematisch alle Bedingungen in Gleichungen umwandeln!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hans T
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Julja
@julka_cln3
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Analysis, den du für dein Abitur drauf haben musst. Hier lernst du, wie du mit Ableitungen Extrem- und Wendepunkte findest und sogar komplette Funktionen aus gegebenen Eigenschaften aufstellst.
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Die erste Ableitung f'(x) verrät dir, wo deine Funktion steigt oder fällt. Wenn f'(x) = 0 ist, hast du eine potentielle Extremstelle gefunden - also einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung f''(x) zeigt dir das Krümmungsverhalten. Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln 😊). Ist f''(x) < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriges Gesicht 😞).
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Smarte Tools NEU
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Diese Klausur behandelt die mathematische Analyse der Wassermenge in einem Wasserturm. Sie umfasst die Bestimmung von Extrempunkten, Ableitungen, graphische Lösungen und die Anwendung des Differenzenquotienten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen in der Analysis vorbereiten. Themen: Ableitungen, lokale Extremstellen, graphische Differenzierung und Funktionstransformationen.
MatheEntdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben auf Seite 86 des Mathebuchs Lambacher Schweizer EF. Diese Zusammenfassung behandelt die Anwendung der Differenzierung, Nullstellen, Extrempunkte und charakteristische Punkte von Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Mathematik vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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