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30. Jan. 2026
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Julja
@julka_cln3
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Analysis, den du... Mehr anzeigen
Die erste Ableitung f'(x) verrät dir, wo deine Funktion steigt oder fällt. Wenn f'(x) = 0 ist, hast du eine potentielle Extremstelle gefunden - also einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung f''(x) zeigt dir das Krümmungsverhalten. Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln 😊). Ist f''(x) < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriges Gesicht 😞).
Für Extremstellen brauchst du zwei Bedingungen: Erst muss f'(x) = 0 sein (notwendige Bedingung), dann muss f''(x) ≠ 0 sein (hinreichende Bedingung). Wenn f''(x) < 0, hast du ein lokales Maximum, wenn f''(x) > 0, ein lokales Minimum.
Merkhilfe: Bei Symmetrie achte auf die Exponenten - ungerade = punktsymmetrisch, gerade = achsensymmetrisch!
Für die Tangentengleichung y = mx + n setzt du einfach deinen x-Wert in die erste Ableitung ein - das gibt dir die Steigung m. Dann löst du nach n auf, indem du die bekannten Werte einsetzt.
Wendestellen findest du über die zweite Ableitung: f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung, f'''(x) ≠ 0 die hinreichende. Falls f'''(x) = 0 wird, musst du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.
Die Wendetangente bestimmst du genauso wie eine normale Tangente - nur dass dein Punkt eben der Wendepunkt ist. Du nutzt wieder die erste Ableitung für die Steigung.
GTR-Tipp: Bei "Bestimme rechnerisch" oder "Berechne" darfst du die solve()-Funktion deines Taschenrechners nutzen!
Das Monotonieverhalten zu bestimmen ist eigentlich ziemlich straightforward. Zuerst leitest du ab und suchst die Nullstellen von f'(x). Diese Nullstellen teilen den Definitionsbereich in Intervalle auf.
Dann testest du in jedem Intervall einen beliebigen Wert: Setze ihn in f'(x) ein. Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion streng monoton. Ist es negativ, fällt sie streng monoton.
Das Ganze funktioniert nach einem einfachen Schema: Ableitung → Nullstellen finden → Intervalle aufstellen → Testpunkte einsetzen → Vorzeichen interpretieren. So siehst du auf einen Blick, wo deine Funktion steigt und wo sie fällt.
Eselsbrücke: f'(x) > 0 = Graph geht hoch, f'(x) < 0 = Graph geht runter!
Bei Steckbriefaufgaben stellst du aus gegebenen Eigenschaften eine komplette Funktion auf. Das ist wie ein Puzzle - jede Information gibt dir eine Gleichung.
Zuerst überlegst du dir den allgemeinen Ansatz: Grad 3 bedeutet f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, dass nur ungerade Exponenten vorkommen, also f(x) = ax³ + bx.
Jede weitere Eigenschaft liefert eine Gleichung: Ein Punkt P(2|4) bedeutet f(2) = 4. Eine Steigung m = -1,5 an der Stelle x = 2 bedeutet f'(2) = -1,5. So baust du dir ein lineares Gleichungssystem auf und löst es.
Erfolgsgeheimnis: Strukturiert vorgehen - erst Ansatz, dann systematisch alle Bedingungen in Gleichungen umwandeln!
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
Android-Nutzer
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Xander S
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Elisha
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Paul T
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Julja
@julka_cln3
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Analysis, den du für dein Abitur drauf haben musst. Hier lernst du, wie du mit Ableitungen Extrem- und Wendepunkte findest und sogar komplette Funktionen aus gegebenen Eigenschaften aufstellst.
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Die erste Ableitung f'(x) verrät dir, wo deine Funktion steigt oder fällt. Wenn f'(x) = 0 ist, hast du eine potentielle Extremstelle gefunden - also einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung f''(x) zeigt dir das Krümmungsverhalten. Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln 😊). Ist f''(x) < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriges Gesicht 😞).
Für Extremstellen brauchst du zwei Bedingungen: Erst muss f'(x) = 0 sein (notwendige Bedingung), dann muss f''(x) ≠ 0 sein (hinreichende Bedingung). Wenn f''(x) < 0, hast du ein lokales Maximum, wenn f''(x) > 0, ein lokales Minimum.
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Verwandle diesen Lernzettel in: ✓ 50+ Übungsfragen ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Komplette Probeklausur ✓ Aufsatzgliederungen
Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Kurvendiskussion, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Monotonie von Funktionen. Zudem werden wichtige Konzepte der Integralrechnung behandelt, wie die Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen und die Anwendung der Integrationsregeln. Ideal für die Vorbereitung auf Mathe Klausuren im GK 12/1.
MatheErforschen Sie die Zusammenhänge zwischen Ableitungen und Funktionen, einschließlich der Analyse von lokalen und globalen Extrema, Monotonie, Wendepunkten und Krümmungsverhalten. Diese Zusammenfassung bietet wertvolle Einblicke in die Anwendung der Differenzialrechnung und deren Bedeutung für das Verständnis von Funktionsgraphen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion mithilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingungen der Differenzialrechnung bestimmen. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitungen, das Auffinden von Extrema und die Anwendung auf konkrete Beispiele. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die graphische Ableitung, einschließlich der Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten, Sattel- und Wendepunkten. Erfahren Sie, wie man die Steigung analysiert und die Funktion auf der x-Achse darstellt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Kurvenanalyse vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man globale und lokale Extrempunkte einer Funktion berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt die Anwendung der ersten und zweiten Ableitung zur Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Differenzierung und Kurvenanalyse konzentrieren.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Anwendung der Differenzierung, der Regeln der Integration und des Flächeninhalts zwischen Graphen. Diese Zusammenfassung behandelt das Haupttheorem der Integralrechnung und bietet Lösungen zu typischen Aufgaben. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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