Graphisches Ableiten

Beim graphischen Ableiten lernst du, wie sich die Form einer Funktion f auf ihre Ableitungsfunktion f' auswirkt. An den Hochpunkten von f hat die Ableitung f' eine Nullstelle, wobei die Steigung von positiv zu negativ wechselt. Bei Tiefpunkten ist es umgekehrt: auch hier liegt eine Nullstelle vor, aber die Steigung ändert sich von negativ zu positiv.

Ein Wendepunkt in der Ausgangsfunktion f erscheint in der Ableitungsfunktion f' als Hochpunkt oder Tiefpunkt. Dies ist logisch, da an einem Wendepunkt die Krümmung wechselt und somit die Steigung ihren extremalen Wert erreicht.

Steigt der Graph von f an einer Stelle, ist der Wert von f' dort positiv $Graph liegt oberhalb der x-Achse$. Fällt der Graph von f, ist der Wert von f' negativ $Graph liegt unterhalb der x-Achse$. Diese Zusammenhänge helfen dir, Ableitungsfunktionen ohne Formeln zu skizzieren.

💡 Merkhilfe: Denke an eine Bergwanderung - an Gipfeln (Hochpunkten) ist die Steigung kurz Null, bevor es wieder bergab geht. In Tälern (Tiefpunkten) ist die Steigung ebenfalls kurz Null, bevor es wieder bergauf geht.

Das graphische Integrieren funktioniert genau umgekehrt und führt von einer Funktion g zu ihrer Stammfunktion G. Dabei werden die oben genannten Zusammenhänge in umgekehrter Richtung angewendet.