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Mathe

Funktionen und analysis

Extremstellen

Hochpunkt und tiefpunkt

1.143

•

7. Dez. 2020

•

5 Seiten

Wie du Extrempunkte und Wendepunkte ganz einfach berechnest!

M

Michaela Charlotte

@michaelacharlotte_a3eddb

Die Kurvendiskussion ist ein zentrales Thema der Analysis, das sich... Mehr anzeigen

2. Beschränkte Definitionsmenge →an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf Für Ermittlung der absoluten Extrema. 1. Ableitung = Null (E

Beschränkte Definitionsmenge und absolute Extrema

Bei Funktionen mit beschränkter Definitionsmenge a,ba,b müssen zusätzlich Randextrempunkte berücksichtigt werden:

  1. Extrempunkte berechnen durch Nullsetzen der ersten Ableitung.
  2. Randextrema prüfen: faa und fbb berechnen.
  3. y-Koordinaten aller Extrema vergleichen.
  4. Koordinaten der absoluten Extrempunkte angeben.

Vocabulary: Absolute Extrempunkte sind die globalen Maxima und Minima einer Funktion innerhalb ihrer Definitionsmenge. Sie können sowohl im Inneren als auch am Rand des Definitionsbereichs auftreten.

Die Wertemenge bei eingeschränkter Definitionsmenge lässt sich wie folgt bestimmen:

  • Wenn die Funktion absolute Hoch- und Tiefpunkte hat: Wf = Yabst;YabsHYabst; YabsH
  • Ohne absolute Extrempunkte: Grenzwerte LimesLimes an den Rändern berechnen

Highlight: Die Bestimmung der Wertemenge ist besonders wichtig für die vollständige Charakterisierung einer Funktion mit beschränkter Definitionsmenge.

2. Beschränkte Definitionsmenge →an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf Für Ermittlung der absoluten Extrema. 1. Ableitung = Null (E

Lokale Änderungsrate und Wendepunkte

Die Analyse der lokalen Änderungsrate und der Wendepunkte ist entscheidend für das Verständnis des Funktionsverhaltens:

  1. Positive lokale Änderungsrate: f'xx > 0
  2. Negative lokale Änderungsrate: f'xx < 0
  3. Wendepunkte: f''xx = 0

Example: Um die Stelle der stärksten Zunahme oder Abnahme zu finden, sucht man nach Wendepunkten, an denen die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.

Für Funktionen dritten Grades Grad3Grad 3 ist die Analyse der zweiten Ableitung besonders wichtig:

  • Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen.
  • Vorzeichen der ersten Ableitung an diesen Stellen prüfen.
  • Wendepunkte im Koordinatensystem einzeichnen.

Vocabulary: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt. Mathematisch ist dies der Fall, wenn f''xx = 0 und f'''xx ≠ 0.

2. Beschränkte Definitionsmenge →an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf Für Ermittlung der absoluten Extrema. 1. Ableitung = Null (E

Zusammenhang zwischen f, f' und f''

Der Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen ist fundamental für die Kurvendiskussion:

  1. Nullstellen von f entsprechen Extremstellen von f'.
  2. Extremstellen von f entsprechen Nullstellen von f'.
  3. Wendepunkte von f entsprechen Extremstellen von f'.

Definition: Die Nullstellenstruktur einer Funktion und ihrer Ableitungen folgt dem Prinzip der abwärts kompatiblen Vielfachheit VFH−1VFH-1.

Beispiel für die Nullstellenstruktur:

  • f hat bei x₀ eine dreifache Nullstelle
  • f' hat bei x₀ eine doppelte Nullstelle
  • f'' hat bei x₀ eine einfache Nullstelle

Highlight: Das Verständnis dieser Zusammenhänge ermöglicht es, Rückschlüsse von den Ableitungen auf die Ursprungsfunktion zu ziehen und umgekehrt.

2. Beschränkte Definitionsmenge →an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf Für Ermittlung der absoluten Extrema. 1. Ableitung = Null (E

Graphisches Auf- und Ableiten

Das graphische Auf- und Ableiten ist eine wichtige Fähigkeit in der Analysis:

  1. Beim Ableiten: Steigung der Tangente an jedem Punkt bestimmen.
  2. Beim Aufleiten: Fläche unter der Kurve betrachten.

Example: Eine Nullstelle in f entspricht einem Extrempunkt in F StammfunktionStammfunktion. Ein Wendepunkt in f entspricht einem Sattelpunkt in F.

Wichtige Beobachtungen:

  • Nullstellen NN in f werden zu Extremstellen EE in f'.
  • Extremstellen EE in f werden zu Nullstellen NN in f'.
  • Wendestellen WW in f werden zu Extremstellen EE in f'.

Vocabulary: Der Limes GrenzwertGrenzwert spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung des Verhaltens von Funktionen für x gegen unendlich oder bestimmte Punkte.

Diese Zusammenhänge helfen, ein tieferes Verständnis für das Verhalten von Funktionen und ihren Ableitungen zu entwickeln und sind essentiell für eine umfassende Kurvendiskussion.

2. Beschränkte Definitionsmenge →an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf Für Ermittlung der absoluten Extrema. 1. Ableitung = Null (E

Grundlagen der Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion beginnt mit der Untersuchung grundlegender Eigenschaften einer Funktion. Dazu gehören:

  • Symmetrie: Funktionen können gerade, ungerade oder ohne Symmetrie sein.
  • Globales Verhalten: Bestimmung des Verhaltens für große positive oder negative x-Werte.
  • y-Achsenabschnitt: Berechnung von f00.
  • Nullstellen: Lösung der Gleichung fxx = 0.

Definition: Die Symmetrie einer Funktion gibt Aufschluss über ihre Form. Eine gerade Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Bestimmung von Extrempunkten und des Monotonieverhaltens wird die erste Ableitung verwendet:

  1. Nullstellen der ersten Ableitung finden f′(xf'(x = 0).
  2. Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen.
  3. Extrempunkte durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion bestimmen.

Highlight: Die Nullstellen der ersten Ableitung sind potenzielle Extremstellen. Ihre genaue Natur Hochpunkt,TiefpunktoderSattelpunktHochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt muss durch weitere Untersuchungen bestimmt werden.

Das Krümmungsverhalten und Wendepunkte werden mithilfe der zweiten Ableitung analysiert:

  1. Nullstellen der zweiten Ableitung finden f′′(xf''(x = 0).
  2. Vorzeichen der zweiten Ableitung untersuchen.
  3. Wendepunkte durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion bestimmen.

Beispiel: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt und die erste Ableitung nicht null ist. An dieser Stelle ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.



Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Sudenaz Ocak

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M

Michaela Charlotte

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Die Kurvendiskussion ist ein zentrales Thema der Analysis, das sich mit der Untersuchung von Funktionen und ihren Eigenschaften befasst. Sie umfasst die Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten, Symmetrien und dem globalen Verhalten von Funktionen. Besonders wichtig sind dabei die... Mehr anzeigen

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Beschränkte Definitionsmenge und absolute Extrema

Bei Funktionen mit beschränkter Definitionsmenge a,ba,b müssen zusätzlich Randextrempunkte berücksichtigt werden:

  1. Extrempunkte berechnen durch Nullsetzen der ersten Ableitung.
  2. Randextrema prüfen: faa und fbb berechnen.
  3. y-Koordinaten aller Extrema vergleichen.
  4. Koordinaten der absoluten Extrempunkte angeben.

Vocabulary: Absolute Extrempunkte sind die globalen Maxima und Minima einer Funktion innerhalb ihrer Definitionsmenge. Sie können sowohl im Inneren als auch am Rand des Definitionsbereichs auftreten.

Die Wertemenge bei eingeschränkter Definitionsmenge lässt sich wie folgt bestimmen:

  • Wenn die Funktion absolute Hoch- und Tiefpunkte hat: Wf = Yabst;YabsHYabst; YabsH
  • Ohne absolute Extrempunkte: Grenzwerte LimesLimes an den Rändern berechnen

Highlight: Die Bestimmung der Wertemenge ist besonders wichtig für die vollständige Charakterisierung einer Funktion mit beschränkter Definitionsmenge.

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Lokale Änderungsrate und Wendepunkte

Die Analyse der lokalen Änderungsrate und der Wendepunkte ist entscheidend für das Verständnis des Funktionsverhaltens:

  1. Positive lokale Änderungsrate: f'xx > 0
  2. Negative lokale Änderungsrate: f'xx < 0
  3. Wendepunkte: f''xx = 0

Example: Um die Stelle der stärksten Zunahme oder Abnahme zu finden, sucht man nach Wendepunkten, an denen die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.

Für Funktionen dritten Grades Grad3Grad 3 ist die Analyse der zweiten Ableitung besonders wichtig:

  • Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen.
  • Vorzeichen der ersten Ableitung an diesen Stellen prüfen.
  • Wendepunkte im Koordinatensystem einzeichnen.

Vocabulary: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt. Mathematisch ist dies der Fall, wenn f''xx = 0 und f'''xx ≠ 0.

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Zusammenhang zwischen f, f' und f''

Der Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen ist fundamental für die Kurvendiskussion:

  1. Nullstellen von f entsprechen Extremstellen von f'.
  2. Extremstellen von f entsprechen Nullstellen von f'.
  3. Wendepunkte von f entsprechen Extremstellen von f'.

Definition: Die Nullstellenstruktur einer Funktion und ihrer Ableitungen folgt dem Prinzip der abwärts kompatiblen Vielfachheit VFH−1VFH-1.

Beispiel für die Nullstellenstruktur:

  • f hat bei x₀ eine dreifache Nullstelle
  • f' hat bei x₀ eine doppelte Nullstelle
  • f'' hat bei x₀ eine einfache Nullstelle

Highlight: Das Verständnis dieser Zusammenhänge ermöglicht es, Rückschlüsse von den Ableitungen auf die Ursprungsfunktion zu ziehen und umgekehrt.

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Graphisches Auf- und Ableiten

Das graphische Auf- und Ableiten ist eine wichtige Fähigkeit in der Analysis:

  1. Beim Ableiten: Steigung der Tangente an jedem Punkt bestimmen.
  2. Beim Aufleiten: Fläche unter der Kurve betrachten.

Example: Eine Nullstelle in f entspricht einem Extrempunkt in F StammfunktionStammfunktion. Ein Wendepunkt in f entspricht einem Sattelpunkt in F.

Wichtige Beobachtungen:

  • Nullstellen NN in f werden zu Extremstellen EE in f'.
  • Extremstellen EE in f werden zu Nullstellen NN in f'.
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Vocabulary: Der Limes GrenzwertGrenzwert spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung des Verhaltens von Funktionen für x gegen unendlich oder bestimmte Punkte.

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Grundlagen der Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion beginnt mit der Untersuchung grundlegender Eigenschaften einer Funktion. Dazu gehören:

  • Symmetrie: Funktionen können gerade, ungerade oder ohne Symmetrie sein.
  • Globales Verhalten: Bestimmung des Verhaltens für große positive oder negative x-Werte.
  • y-Achsenabschnitt: Berechnung von f00.
  • Nullstellen: Lösung der Gleichung fxx = 0.

Definition: Die Symmetrie einer Funktion gibt Aufschluss über ihre Form. Eine gerade Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Bestimmung von Extrempunkten und des Monotonieverhaltens wird die erste Ableitung verwendet:

  1. Nullstellen der ersten Ableitung finden f′(xf'(x = 0).
  2. Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen.
  3. Extrempunkte durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion bestimmen.

Highlight: Die Nullstellen der ersten Ableitung sind potenzielle Extremstellen. Ihre genaue Natur Hochpunkt,TiefpunktoderSattelpunktHochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt muss durch weitere Untersuchungen bestimmt werden.

Das Krümmungsverhalten und Wendepunkte werden mithilfe der zweiten Ableitung analysiert:

  1. Nullstellen der zweiten Ableitung finden f′′(xf''(x = 0).
  2. Vorzeichen der zweiten Ableitung untersuchen.
  3. Wendepunkte durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion bestimmen.

Beispiel: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt und die erste Ableitung nicht null ist. An dieser Stelle ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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