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28. Jan. 2026

5 Seiten

Wie du Extrempunkte und Wendepunkte ganz einfach berechnest!

M

Michaela Charlotte

@michaelacharlotte_a3eddb

Die Kurvendiskussion ist ein zentrales Thema der Analysis, das sich... Mehr anzeigen

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2. Beschränkte Definitionsmenge
→an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf
Für Ermittlung der absoluten Extrema.
1. Ableitung = Null (E

Beschränkte Definitionsmenge und absolute Extrema

Bei Funktionen mit beschränkter Definitionsmenge [a,b] müssen zusätzlich Randextrempunkte berücksichtigt werden:

  1. Extrempunkte berechnen durch Nullsetzen der ersten Ableitung.
  2. Randextrema prüfen: f(a) und f(b) berechnen.
  3. y-Koordinaten aller Extrema vergleichen.
  4. Koordinaten der absoluten Extrempunkte angeben.

Vocabulary: Absolute Extrempunkte sind die globalen Maxima und Minima einer Funktion innerhalb ihrer Definitionsmenge. Sie können sowohl im Inneren als auch am Rand des Definitionsbereichs auftreten.

Die Wertemenge bei eingeschränkter Definitionsmenge lässt sich wie folgt bestimmen:

  • Wenn die Funktion absolute Hoch- und Tiefpunkte hat: Wf = [Yabst; YabsH]
  • Ohne absolute Extrempunkte: Grenzwerte (Limes) an den Rändern berechnen

Highlight: Die Bestimmung der Wertemenge ist besonders wichtig für die vollständige Charakterisierung einer Funktion mit beschränkter Definitionsmenge.

2. Beschränkte Definitionsmenge
→an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf
Für Ermittlung der absoluten Extrema.
1. Ableitung = Null (E

Lokale Änderungsrate und Wendepunkte

Die Analyse der lokalen Änderungsrate und der Wendepunkte ist entscheidend für das Verständnis des Funktionsverhaltens:

  1. Positive lokale Änderungsrate: f'(x) > 0
  2. Negative lokale Änderungsrate: f'(x) < 0
  3. Wendepunkte: f''(x) = 0

Example: Um die Stelle der stärksten Zunahme oder Abnahme zu finden, sucht man nach Wendepunkten, an denen die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.

Für Funktionen dritten Grades (Grad 3) ist die Analyse der zweiten Ableitung besonders wichtig:

  • Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen.
  • Vorzeichen der ersten Ableitung an diesen Stellen prüfen.
  • Wendepunkte im Koordinatensystem einzeichnen.

Vocabulary: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt. Mathematisch ist dies der Fall, wenn f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0.

2. Beschränkte Definitionsmenge
→an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf
Für Ermittlung der absoluten Extrema.
1. Ableitung = Null (E

Zusammenhang zwischen f, f' und f''

Der Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen ist fundamental für die Kurvendiskussion:

  1. Nullstellen von f entsprechen Extremstellen von f'.
  2. Extremstellen von f entsprechen Nullstellen von f'.
  3. Wendepunkte von f entsprechen Extremstellen von f'.

Definition: Die Nullstellenstruktur einer Funktion und ihrer Ableitungen folgt dem Prinzip der abwärts kompatiblen Vielfachheit VFH1VFH-1.

Beispiel für die Nullstellenstruktur:

  • f hat bei x₀ eine dreifache Nullstelle
  • f' hat bei x₀ eine doppelte Nullstelle
  • f'' hat bei x₀ eine einfache Nullstelle

Highlight: Das Verständnis dieser Zusammenhänge ermöglicht es, Rückschlüsse von den Ableitungen auf die Ursprungsfunktion zu ziehen und umgekehrt.

2. Beschränkte Definitionsmenge
→an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf
Für Ermittlung der absoluten Extrema.
1. Ableitung = Null (E

Graphisches Auf- und Ableiten

Das graphische Auf- und Ableiten ist eine wichtige Fähigkeit in der Analysis:

  1. Beim Ableiten: Steigung der Tangente an jedem Punkt bestimmen.
  2. Beim Aufleiten: Fläche unter der Kurve betrachten.

Example: Eine Nullstelle in f entspricht einem Extrempunkt in F (Stammfunktion). Ein Wendepunkt in f entspricht einem Sattelpunkt in F.

Wichtige Beobachtungen:

  • Nullstellen (N) in f werden zu Extremstellen (E) in f'.
  • Extremstellen (E) in f werden zu Nullstellen (N) in f'.
  • Wendestellen (W) in f werden zu Extremstellen (E) in f'.

Vocabulary: Der Limes (Grenzwert) spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung des Verhaltens von Funktionen für x gegen unendlich oder bestimmte Punkte.

Diese Zusammenhänge helfen, ein tieferes Verständnis für das Verhalten von Funktionen und ihren Ableitungen zu entwickeln und sind essentiell für eine umfassende Kurvendiskussion.

2. Beschränkte Definitionsmenge
→an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf
Für Ermittlung der absoluten Extrema.
1. Ableitung = Null (E

Grundlagen der Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion beginnt mit der Untersuchung grundlegender Eigenschaften einer Funktion. Dazu gehören:

  • Symmetrie: Funktionen können gerade, ungerade oder ohne Symmetrie sein.
  • Globales Verhalten: Bestimmung des Verhaltens für große positive oder negative x-Werte.
  • y-Achsenabschnitt: Berechnung von f(0).
  • Nullstellen: Lösung der Gleichung f(x) = 0.

Definition: Die Symmetrie einer Funktion gibt Aufschluss über ihre Form. Eine gerade Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Bestimmung von Extrempunkten und des Monotonieverhaltens wird die erste Ableitung verwendet:

  1. Nullstellen der ersten Ableitung finden f(x)=0f'(x) = 0.
  2. Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen.
  3. Extrempunkte durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion bestimmen.

Highlight: Die Nullstellen der ersten Ableitung sind potenzielle Extremstellen. Ihre genaue Natur (Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt) muss durch weitere Untersuchungen bestimmt werden.

Das Krümmungsverhalten und Wendepunkte werden mithilfe der zweiten Ableitung analysiert:

  1. Nullstellen der zweiten Ableitung finden f(x)=0f''(x) = 0.
  2. Vorzeichen der zweiten Ableitung untersuchen.
  3. Wendepunkte durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion bestimmen.

Beispiel: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt und die erste Ableitung nicht null ist. An dieser Stelle ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.



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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Paul T

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Mathe

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28. Jan. 2026

5 Seiten

Wie du Extrempunkte und Wendepunkte ganz einfach berechnest!

M

Michaela Charlotte

@michaelacharlotte_a3eddb

Die Kurvendiskussion ist ein zentrales Thema der Analysis, das sich mit der Untersuchung von Funktionen und ihren Eigenschaften befasst. Sie umfasst die Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten, Symmetrien und dem globalen Verhalten von Funktionen. Besonders wichtig sind dabei die... Mehr anzeigen

2. Beschränkte Definitionsmenge
→an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf
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Beschränkte Definitionsmenge und absolute Extrema

Bei Funktionen mit beschränkter Definitionsmenge [a,b] müssen zusätzlich Randextrempunkte berücksichtigt werden:

  1. Extrempunkte berechnen durch Nullsetzen der ersten Ableitung.
  2. Randextrema prüfen: f(a) und f(b) berechnen.
  3. y-Koordinaten aller Extrema vergleichen.
  4. Koordinaten der absoluten Extrempunkte angeben.

Vocabulary: Absolute Extrempunkte sind die globalen Maxima und Minima einer Funktion innerhalb ihrer Definitionsmenge. Sie können sowohl im Inneren als auch am Rand des Definitionsbereichs auftreten.

Die Wertemenge bei eingeschränkter Definitionsmenge lässt sich wie folgt bestimmen:

  • Wenn die Funktion absolute Hoch- und Tiefpunkte hat: Wf = [Yabst; YabsH]
  • Ohne absolute Extrempunkte: Grenzwerte (Limes) an den Rändern berechnen

Highlight: Die Bestimmung der Wertemenge ist besonders wichtig für die vollständige Charakterisierung einer Funktion mit beschränkter Definitionsmenge.

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Lokale Änderungsrate und Wendepunkte

Die Analyse der lokalen Änderungsrate und der Wendepunkte ist entscheidend für das Verständnis des Funktionsverhaltens:

  1. Positive lokale Änderungsrate: f'(x) > 0
  2. Negative lokale Änderungsrate: f'(x) < 0
  3. Wendepunkte: f''(x) = 0

Example: Um die Stelle der stärksten Zunahme oder Abnahme zu finden, sucht man nach Wendepunkten, an denen die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.

Für Funktionen dritten Grades (Grad 3) ist die Analyse der zweiten Ableitung besonders wichtig:

  • Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen.
  • Vorzeichen der ersten Ableitung an diesen Stellen prüfen.
  • Wendepunkte im Koordinatensystem einzeichnen.

Vocabulary: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt. Mathematisch ist dies der Fall, wenn f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0.

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Zusammenhang zwischen f, f' und f''

Der Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen ist fundamental für die Kurvendiskussion:

  1. Nullstellen von f entsprechen Extremstellen von f'.
  2. Extremstellen von f entsprechen Nullstellen von f'.
  3. Wendepunkte von f entsprechen Extremstellen von f'.

Definition: Die Nullstellenstruktur einer Funktion und ihrer Ableitungen folgt dem Prinzip der abwärts kompatiblen Vielfachheit VFH1VFH-1.

Beispiel für die Nullstellenstruktur:

  • f hat bei x₀ eine dreifache Nullstelle
  • f' hat bei x₀ eine doppelte Nullstelle
  • f'' hat bei x₀ eine einfache Nullstelle

Highlight: Das Verständnis dieser Zusammenhänge ermöglicht es, Rückschlüsse von den Ableitungen auf die Ursprungsfunktion zu ziehen und umgekehrt.

2. Beschränkte Definitionsmenge
→an Rändern a und b treten Randextrempunkte auf
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Graphisches Auf- und Ableiten

Das graphische Auf- und Ableiten ist eine wichtige Fähigkeit in der Analysis:

  1. Beim Ableiten: Steigung der Tangente an jedem Punkt bestimmen.
  2. Beim Aufleiten: Fläche unter der Kurve betrachten.

Example: Eine Nullstelle in f entspricht einem Extrempunkt in F (Stammfunktion). Ein Wendepunkt in f entspricht einem Sattelpunkt in F.

Wichtige Beobachtungen:

  • Nullstellen (N) in f werden zu Extremstellen (E) in f'.
  • Extremstellen (E) in f werden zu Nullstellen (N) in f'.
  • Wendestellen (W) in f werden zu Extremstellen (E) in f'.

Vocabulary: Der Limes (Grenzwert) spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung des Verhaltens von Funktionen für x gegen unendlich oder bestimmte Punkte.

Diese Zusammenhänge helfen, ein tieferes Verständnis für das Verhalten von Funktionen und ihren Ableitungen zu entwickeln und sind essentiell für eine umfassende Kurvendiskussion.

2. Beschränkte Definitionsmenge
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Grundlagen der Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion beginnt mit der Untersuchung grundlegender Eigenschaften einer Funktion. Dazu gehören:

  • Symmetrie: Funktionen können gerade, ungerade oder ohne Symmetrie sein.
  • Globales Verhalten: Bestimmung des Verhaltens für große positive oder negative x-Werte.
  • y-Achsenabschnitt: Berechnung von f(0).
  • Nullstellen: Lösung der Gleichung f(x) = 0.

Definition: Die Symmetrie einer Funktion gibt Aufschluss über ihre Form. Eine gerade Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Bestimmung von Extrempunkten und des Monotonieverhaltens wird die erste Ableitung verwendet:

  1. Nullstellen der ersten Ableitung finden f(x)=0f'(x) = 0.
  2. Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen.
  3. Extrempunkte durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion bestimmen.

Highlight: Die Nullstellen der ersten Ableitung sind potenzielle Extremstellen. Ihre genaue Natur (Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt) muss durch weitere Untersuchungen bestimmt werden.

Das Krümmungsverhalten und Wendepunkte werden mithilfe der zweiten Ableitung analysiert:

  1. Nullstellen der zweiten Ableitung finden f(x)=0f''(x) = 0.
  2. Vorzeichen der zweiten Ableitung untersuchen.
  3. Wendepunkte durch Einsetzen in die Ursprungsfunktion bestimmen.

Beispiel: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt und die erste Ableitung nicht null ist. An dieser Stelle ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.

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Basil

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David K

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Paul T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer