PFT-Konzentration (S. 149, Aufgabe 3)

Bei dieser Aufgabe betrachtest du die Funktion k(x) = 250x · e^$-0,5x$ + 20, die die Konzentration eines Medikaments im Blut beschreibt. Um den Zeitpunkt der höchsten Konzentration zu ermitteln, musst du die erste Ableitung k'(x) berechnen und nullsetzen.

Mit der Produktregel erhältst du k'(x) = $-125x + 250$e^$-0,5x$. Da e^$-0,5x$ nie null wird, löst du einfach -125x + 250 = 0 und bekommst x = 2. Die Konzentration erreicht also nach 2 Wochen ihren Höchstwert.

Setzt du diesen Wert in die ursprüngliche Funktion ein, erhältst du k(2) ≈ 185,93. Die höchste Konzentration des Medikaments beträgt also etwa 186 Einheiten.

💡 Beachte: Bei der Arbeit mit e-Funktionen im Lambacher Schweizer Qualifikationsphase ist es oft einfacher, erst zu faktorisieren und dann nach Nullstellen zu suchen, anstatt die Produktregel direkt anzuwenden.

Konzentrationsabfall und Grabenbreite $S. 148-149$

Im zweiten Teil der Medikamentenaufgabe bestimmst du, wann die Konzentration unter 50 fällt. Durch Umformen der Gleichung 250x · e^$-0,5x$ + 20 = 50 und Lösen mit dem GTR erhältst du zwei Zeitpunkte: x₁ = 0,1279 und x₂ = 8,5 Wochen.

In Aufgabe 1 wird die Breite eines Grabens mit der Funktion f(x) = (½x²)e^$-¼x$ modelliert. Um die Grabenbreite zu bestimmen, musst du die Nullstellen finden. Da e^$-¼x$ nie null wird, löst du ½x² - 2 = 0 und erhältst x = ±2.

Die normale Breite des Grabens beträgt somit 4 Meter $von -2 bis 2$. Dies ist ein typisches Beispiel für Lambacher Schweizer 11/12 Lösungen, bei denen geometrische Bedeutungen aus mathematischen Funktionen abgeleitet werden.

💡 Tipp: Bei e-Funktionen als Faktoren kannst du die Nullstellen oft durch den anderen Faktor bestimmen, da e^x nie null wird.

Querschnittsfläche und Volumen (S. 148)

Um die Querschnittsfläche des Grabens zu berechnen, integrierst du die Funktion über das Intervall [-2, 2]. Das entsprechende bestimmte Integral lautet: ∫₍₋₂₎^₂ $(4/7)x² - 2$e^$-(4/7)x$ dx.

Mit dem GTR erhältst du als Ergebnis etwa 5,5 m². Diese Fläche ist wichtig für die Volumenberechnung des Grabens. Bei einem gegebenen Volumen von 190 m³ kannst du die Länge des Grabens berechnen: 190 ÷ 5,47 ≈ 34,73 m.

Ein wichtiger Aspekt bei der Aufgabe ist die Annahme, dass der Grabenquerschnitt auf der gesamten Länge gleich ist und keine Veränderungen (Dellen) aufweisen darf. Diese Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien Lösungen zeigen, wie Integrale zur Flächenberechnung eingesetzt werden.

💡 Bei Volumenberechnungen mit konstantem Querschnitt kannst du einfach Volumen = Querschnittsfläche × Länge verwenden.

Besucherandrang im Stadion (S. 149, Aufgabe 2)

Die Funktion f(x) = 20x · e^$-0,05x$ beschreibt den Besucherandrang in einem Stadion, wobei x = 0 für 16 Uhr steht. Um den Zeitpunkt des größten Andrangs zu ermitteln, leiten wir ab und setzen gleich null:

f'(x) = $-x+20$e^$-0,05x$ = 0

Da der e-Term nie null wird, lösen wir -x+20 = 0 und erhalten x = 20. Das entspricht 16:20 Uhr, dem Zeitpunkt des größten Besucherandrangs.

Um die Anzahl der Zuschauer bis zum Spielbeginn um 18 Uhr zu berechnen, integrieren wir die Funktion von 0 bis 120 (in Minuten): ∫₀^₂₀ 20x · e^$-0,05x$ dx. Mit dem GTR erhalten wir ca. 58.086 Personen, die zu Spielbeginn im Stadion sind. Diese Lambacher Schweizer 6 Lösungen demonstrieren die praktische Anwendung von Integralen.

💡 Bei Anwendungsaufgaben mit Zeit achte genau auf die Einheiten – hier wurde die Zeit in Minuten seit 16 Uhr gemessen.

Durchschnittliche Besucherzahl (S. 149, Aufgabe 2c)

Um die durchschnittliche Anzahl der Personen zu berechnen, die pro Minute zwischen 16 und 18 Uhr ins Stadion kommen, teilst du die Gesamtzahl der Besucher (58.086) durch die Zeitspanne in Minuten (120).

Die Rechnung ergibt: 58.086 ÷ 120 ≈ 484 Personen pro Minute. Dieser Durchschnittswert ist wichtig für die Planung von Sicherheitsmaßnahmen und Einlasskontrollen.

Diese Aufgabe aus dem Lambacher Schweizer Qualifikationsphase PDF zeigt, wie Mittelwerte aus Integralergebnissen berechnet werden können. Das Integral gibt die Gesamtmenge, und durch Division mit dem Intervall erhältst du den Durchschnitt.

💡 Durchschnittswerte aus Funktionen kannst du immer mit der Formel berechnen: (∫ᵃᵇ f(x)dx) ÷ $b-a$