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Lambacher Schweizer s. 119/1 Lösungen

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Lambacher Schweizer s. 119/1 Lösungen
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Æsma

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Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Tangenten werden analysiert, einschließlich der Berechnung von Ableitungen, Tangentengleichungen und Flächeninhalten. Die Aufgaben demonstrieren praktische Anwendungen der Differentialrechnung und Integralrechnung im Kontext der Logarithmusfunktion.

17.2.2021

817

Hausaufgabe
1 Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion f mit f(x) = In(x).
a) Bestimmen Sie den Wert der Ableitung an der Stelle x = e

Tangentenberechnung für die natürliche Logarithmusfunktion

Die Aufgabe befasst sich mit der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) und ihren Tangenten. Es werden verschiedene Aspekte der Differentialrechnung und Integralrechnung angewandt, um Tangentengleichungen zu bestimmen und geometrische Eigenschaften zu untersuchen.

Ableitung und Tangente an der Stelle x = e

  • Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion wird bestimmt: f'(x) = 1/x
  • Der Wert der Ableitung an der Stelle x = e wird berechnet: f'(e) = 1/e
  • Die Tangentengleichung im Punkt P(e, f(e)) wird hergeleitet: y = 1/e · x + b

Highlight: Die Steigung der Tangente im Punkt P(e, f(e)) beträgt 1/e, was eine wichtige Eigenschaft der natürlichen Logarithmusfunktion darstellt.

Example: Die vollständige Tangentengleichung lautet y = 1/e · x + (1 - 1/e), wobei der y-Achsenabschnitt durch Einsetzen des Punktes P(e, 1) bestimmt wird.

Tangente und Flächenberechnung im Punkt Q(1, 0)

  • Die Tangente im Punkt Q(1, 0) wird untersucht
  • Die Tangentengleichung wird bestimmt: y = x - 1
  • Ein Dreieck wird durch die Tangente und die Koordinatenachsen gebildet

Definition: Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt und die gleiche Steigung wie die Funktion in diesem Punkt hat.

Vocabulary: Der Flächeninhalt des Dreiecks wird durch Integration berechnet, was eine Anwendung der Integralrechnung darstellt.

Hausaufgabe
1 Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion f mit f(x) = In(x).
a) Bestimmen Sie den Wert der Ableitung an der Stelle x = e

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Detaillierte Berechnung der Tangentengleichung und des Flächeninhalts

Die Aufgabe konzentriert sich auf die Berechnung der Tangentengleichung im Punkt Q(1, 0) und die Bestimmung des Flächeninhalts des durch die Tangente und die Koordinatenachsen gebildeten Dreiecks.

Herleitung der Tangentengleichung

  • Die allgemeine Form der Tangentengleichung y = mx + b wird verwendet
  • Die Steigung m wird durch die Ableitung f'(1) = 1 bestimmt
  • Der y-Achsenabschnitt b wird durch Einsetzen des Punktes Q(1, 0) ermittelt

Example: Die resultierende Tangentengleichung lautet y = x - 1, was die lineare Approximation der Logarithmusfunktion im Punkt (1, 0) darstellt.

Berechnung des Flächeninhalts

  • Der Flächeninhalt des Dreiecks wird durch Integration der Tangentengleichung berechnet
  • Die Integrationsgrenzen sind von 0 bis 1, entsprechend den Schnittpunkten mit den Achsen

Highlight: Die Anwendung der Integralrechnung zur Flächenberechnung demonstriert die praktische Bedeutung dieser mathematischen Methode.

Vocabulary: Die Integralrechnung wird hier verwendet, um den Flächeninhalt unter einer Geraden zu bestimmen, was ein grundlegendes Konzept in der Analysis ist.

Der berechnete Flächeninhalt beträgt 0,5 Flächeneinheiten, was durch die Integration von (x - 1) von 0 bis 1 ermittelt wird.

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  • Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion wird bestimmt: f'(x) = 1/x
  • Der Wert der Ableitung an der Stelle x = e wird berechnet: f'(e) = 1/e
  • Die Tangentengleichung im Punkt P(e, f(e)) wird hergeleitet: y = 1/e · x + b

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