Bernoulli-Experimente und Binomialkoeffizienten

Bernoulli-Experimente bilden die Grundlage der Binomialverteilung und sind für das Mathe Abi 2024 NRW essentiell. Es handelt sich um Zufallsexperimente mit genau zwei möglichen Ausgängen: Erfolg (p) und Misserfolg (q=1-p).

Beispiel: Beim 6-maligen Würfeln einer 6 gilt:

• Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6
• Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 5/6
• Anzahl der Versuche n = 6

Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge berechnet sich nach der Bernoulli-Formel: P(X=k) = (n k)·p^k·q^(n-k)

Der Binomialkoeffizient (n k) gibt dabei die Anzahl der möglichen Pfade an und lässt sich berechnen durch: (n k) = n!/(k!·(n-k)!)

Vektorrechnung und Ebenenformen im Mathematik Abitur NRW

Die Vektorrechnung und Ebenenformen sind zentrale Themen im Mathe Abitur NRW 2024. Für das Mathe LK Abitur NRW ist es essentiell, die verschiedenen Darstellungsformen von Ebenen zu beherrschen. Die wichtigsten Formen sind die Parameterdarstellung, Normalengleichung, Koordinatengleichung und Hesse'sche Normalenform.

Definition: Die Parameterdarstellung einer Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Spannvektoren beschrieben: E = p + r·v + s·w. Die Normalengleichung verwendet einen Normalenvektor und lautet (x-p)·n = 0.

Bei der Umwandlung zwischen den Ebenenformen spielt das Kreuzprodukt eine wichtige Rolle. Um das Kreuzprodukt zweier Vektoren zu berechnen, schreibt man die Vektoren zweimal untereinander und multipliziert über Kreuz. Der resultierende Vektor steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren.

Die Koordinatengleichung ax₁ + bx₂ + cx₃ = d lässt sich aus drei Punkten aufstellen. Dafür setzt man die Koordinaten der Punkte ein und löst das entstehende lineare Gleichungssystem. Der Parameter d wird durch Einsetzen eines Punktes bestimmt.

Anwendungen der Vektorrechnung für das Mathematik Abitur 2024

Für die Standardsicherung NRW Abitur 2024 sind die praktischen Anwendungen der Vektorrechnung von großer Bedeutung. Besonders wichtig sind die Berechnungen von Flächen und Volumina.

Highlight: Das Volumen eines Spats berechnet sich durch V = |(a × b)·c|, während die Fläche eines Parallelogramms durch A = |a × b| gegeben ist. Für ein Dreieck gilt A = ½|a × b|.

Die Linearität von Vektoren spielt eine zentrale Rolle. Zwei Vektoren sind parallel (kollinear), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: u = r·v mit r ∈ ℝ. Drei Vektoren sind linear abhängig (komplanar), wenn sich einer als Linearkombination der anderen darstellen lässt: a = k·b + r·c.

Beispiel: Eine Pyramide hat ein Volumen von V = ⅓|(a × b)·c|, wobei a, b und c die Kantenvektoren sind. Dies ist ein Drittel des Volumens des entsprechenden Spats.