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Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

510

•

15. Feb. 2021

•

5 Seiten

Was ist eine Funktion? Mathe leicht erklärt mit Funktionswert-Beispielen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Maily

@maily_1412

Dieser Leitfaden erklärt grundlegende Konzepte zu Funktionen in der Mathematik,... Mehr anzeigen

Lernzettel Funktionen
Grad funktion und Funktionswerte
f(x)=2x²+3
g(x)=2x²+3x+5
h (x) = 2x³ + 4x² + 2x+5
i(x) = x² +5² +2
g(x)=-x5-x² + 3x²

Schnittpunkte und Nullstellen

Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Berechnung von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, insbesondere Nullstellen.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, bei denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.

Es werden mehrere Beispielaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen präsentiert:

Für f $x$ = $x+3$ $x-5$ $x+7$ ² werden die Nullstellen x₁ = -3, x₂ = 5 und x₃ = -7 berechnet.
Bei f $x$ = x³ - 41x² + 400x wird gezeigt, dass x₁ = 0, x₂ = 25 und x₃ = 16 die Nullstellen sind.
Für f $x$ = 0,5x² - x - 4 werden die Nullstellen x₁ = 4 und x₂ = -2 ermittelt.

Highlight: Bei der Nullstellenberechnung ist es oft hilfreich, die Funktion zu faktorisieren oder die p-q-Formel anzuwenden.

Der Abschnitt behandelt auch die Symmetrie von Funktionen:

Achsensymmetrie tritt bei Funktionen mit geraden Exponenten auf.
Punktsymmetrie $Drehsymmetrie$ findet sich bei Funktionen mit ungeraden Exponenten.

Example: f $x$ = x⁴ + 4x² - 2x² + 5 ist eine gerade Funktion und achsensymmetrisch.

Diese Konzepte sind wichtig für das Verständnis des Verhaltens quadratischer Funktionen und die Berechnung von Schnittpunkten.

Verhalten im Unendlichen und Monotonie

Dieser Abschnitt befasst sich mit dem Verhalten im Unendlichen von Funktionen und ihrer Monotonie.

Definition: Das Verhalten im Unendlichen beschreibt, wie sich die y-Werte einer Funktion für sehr große positive oder negative x-Werte entwickeln.

Es werden verschiedene Möglichkeiten für das Verhalten im Unendlichen vorgestellt:

lim x→+∞ f $x$ → +∞
lim x→-∞ f $x$ → +∞
lim x→+∞ f $x$ → -∞
lim x→-∞ f $x$ → -∞

Example: Für f $x$ = x³ + 2x² - 3x² + x - 5 gilt: lim x→+∞ f $x$ → +∞ und lim x→-∞ f $x$ → -∞

Der Abschnitt erklärt auch, wie man Hoch- und Tiefpunkte sowie Nullstellen mit einem Grafikrechner $GTR$ bestimmen kann:

Funktion eingeben
Für Hochpunkte: Draw → F5 → MAX
Für Tiefpunkte: Draw → F5 → MIN
Für Nullstellen: Draw → F5 → ROOT

Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen und der Monotonie ist entscheidend für das Verständnis des Gesamtverhaltens einer Funktion.

Eine Beispielaufgabe zeigt die Untersuchung der Funktion f $x$ = -x³ + 2x² + 5x - 3 mit dem GTR:

Nullstellen: x₁ ≈ -1,77, x₂ ≈ 0,52, x₃ ≈ 3,25
Hochpunkt: $2,12 | 7,06$
Tiefpunkt: $-0,79 | -5,21$

Diese Analyse hilft beim Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen und beim Verstehen des Verhaltens im Unendlichen von e-Funktionen und anderen Funktionstypen.

Transformation von Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Transformation von Funktionen, ein wichtiges Konzept zum Verständnis, wie sich Funktionsgraphen verändern.

Definition: Die Transformation einer Funktion beschreibt, wie sich der Graph einer Funktion durch bestimmte Operationen verändert.

Es wird die allgemeine Form a · f $bx - c$ + d vorgestellt, wobei:

a die Streckung oder Stauchung beeinflusst
b die horizontale Streckung oder Stauchung bestimmt
c die horizontale Verschiebung angibt
d die vertikale Verschiebung festlegt

Example: Für f $x$ = x³ - x²:

g $x$ = x³ - x² + 4 verschiebt den Graphen um 4 Einheiten nach oben

g $x$ = $x+2$ ³ - $x+2$ ² verschiebt den Graphen um 2 Einheiten nach links

g $x$ = 6x³ - 6x² streckt den Graphen um den Faktor 6

Wichtige Regeln für Transformationen:

Verschiebung nach rechts: -c innerhalb der Klammer
Verschiebung nach links: +c innerhalb der Klammer
Streckung: a > 1
Stauchung: 0 < a < 1

Highlight: Bei der Transformation von Funktionen ist es wichtig, die Reihenfolge der Operationen zu beachten.

Eine Beispielaufgabe zeigt, wie man rechnerisch nachweisen kann, dass der Graph von t $x$ = x³ + 2x² + x gegenüber f $x$ = x³ - x² um eine Einheit nach links verschoben ist.

Diese Konzepte sind besonders nützlich für das Verständnis von Funktionswerten und Argumenten sowie für die Berechnung von Schnittpunkten quadratischer Funktionen.

Mittlere Änderungsrate

Der letzte Abschnitt behandelt die mittlere Änderungsrate, auch bekannt als mittlere Steigung.

Definition: Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall.

Die Formel für die mittlere Steigung $MS$ lautet:

MS = $f(x₂$ - f $x₁$ ) / $x₂ - x₁$

Example: Für das Intervall $-1; 1$ und die Funktion f $x$ = x²: MS = $f(1$ - f $-1$ ) / $1 - (-1$ ) = $1 - 1$ / 2 = 0

Der Abschnitt enthält mehrere Beispielaufgaben zur Berechnung der mittleren Änderungsrate für verschiedene Intervalle:

I = $-1; 1$
I = $-1; 0$
I = $1; 3$
I = $-2; -0,5$

Highlight: Die Berechnung der mittleren Änderungsrate ist besonders wichtig für das Verständnis des Funktionsverhaltens in bestimmten Bereichen.

Diese Konzepte sind nützlich für Übungen zum Berechnen von Funktionswerten und helfen beim Verständnis des Verhaltens von Funktionen in verschiedenen Intervallen.

Funktionsgrade und Funktionswerte

Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen von Funktionen, insbesondere Funktionsgrade und die Berechnung von Funktionswerten.

Definition: Der Grad einer Funktion wird durch die höchste Potenz in der Funktionsgleichung bestimmt.

Es werden verschiedene Funktionstypen vorgestellt, darunter lineare, quadratische und kubische Funktionen. Eine wichtige Regel wird hervorgehoben:

Highlight: Eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen.

Der Abschnitt enthält auch ein Beispiel zur Berechnung von Funktionswerten:

Für die Funktion f $x$ = 3x² - 4x + 6 wird der Funktionswert für x = 3 berechnet: f $3$ = 3 · 3² - 4 · 3 + 6 = 27 - 12 + 6 = 21

Vocabulary: Funktionswert berechnen bedeutet, einen bestimmten x-Wert in die Funktionsgleichung einzusetzen und das Ergebnis zu ermitteln.

Zusätzlich wird die p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen eingeführt:

Example: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)

Diese Formel ist besonders nützlich für das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen.

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4.9/5

App Store

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Was ist eine Funktion? Mathe leicht erklärt mit Funktionswert-Beispielen

Maily

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Dieser Leitfaden erklärt grundlegende Konzepte zu Funktionen in der Mathematik, einschließlich:

Funktionsgrade und Funktionswerte
Nullstellen und Schnittpunkte
Symmetrie von Funktionen
Verhalten im Unendlichen
Transformation von Funktionen
Mittlere Änderungsrate

Wichtige Punkte:
• Erläuterung verschiedener Funktionstypen (linear, quadratisch, kubisch etc.)
• Berechnung... Mehr anzeigen

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Schnittpunkte und Nullstellen

Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Berechnung von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, insbesondere Nullstellen.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, bei denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.

Es werden mehrere Beispielaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen präsentiert:

Für f $x$ = $x+3$ $x-5$ $x+7$ ² werden die Nullstellen x₁ = -3, x₂ = 5 und x₃ = -7 berechnet.
Bei f $x$ = x³ - 41x² + 400x wird gezeigt, dass x₁ = 0, x₂ = 25 und x₃ = 16 die Nullstellen sind.
Für f $x$ = 0,5x² - x - 4 werden die Nullstellen x₁ = 4 und x₂ = -2 ermittelt.

Highlight: Bei der Nullstellenberechnung ist es oft hilfreich, die Funktion zu faktorisieren oder die p-q-Formel anzuwenden.

Der Abschnitt behandelt auch die Symmetrie von Funktionen:

Achsensymmetrie tritt bei Funktionen mit geraden Exponenten auf.
Punktsymmetrie $Drehsymmetrie$ findet sich bei Funktionen mit ungeraden Exponenten.

Example: f $x$ = x⁴ + 4x² - 2x² + 5 ist eine gerade Funktion und achsensymmetrisch.

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Verhalten im Unendlichen und Monotonie

Dieser Abschnitt befasst sich mit dem Verhalten im Unendlichen von Funktionen und ihrer Monotonie.

Definition: Das Verhalten im Unendlichen beschreibt, wie sich die y-Werte einer Funktion für sehr große positive oder negative x-Werte entwickeln.

Es werden verschiedene Möglichkeiten für das Verhalten im Unendlichen vorgestellt:

lim x→+∞ f $x$ → +∞
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Example: Für f $x$ = x³ + 2x² - 3x² + x - 5 gilt: lim x→+∞ f $x$ → +∞ und lim x→-∞ f $x$ → -∞

Der Abschnitt erklärt auch, wie man Hoch- und Tiefpunkte sowie Nullstellen mit einem Grafikrechner $GTR$ bestimmen kann:

Funktion eingeben
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Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen und der Monotonie ist entscheidend für das Verständnis des Gesamtverhaltens einer Funktion.

Eine Beispielaufgabe zeigt die Untersuchung der Funktion f $x$ = -x³ + 2x² + 5x - 3 mit dem GTR:

Nullstellen: x₁ ≈ -1,77, x₂ ≈ 0,52, x₃ ≈ 3,25
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Transformation von Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Transformation von Funktionen, ein wichtiges Konzept zum Verständnis, wie sich Funktionsgraphen verändern.

Definition: Die Transformation einer Funktion beschreibt, wie sich der Graph einer Funktion durch bestimmte Operationen verändert.

Es wird die allgemeine Form a · f $bx - c$ + d vorgestellt, wobei:

a die Streckung oder Stauchung beeinflusst
b die horizontale Streckung oder Stauchung bestimmt
c die horizontale Verschiebung angibt
d die vertikale Verschiebung festlegt

Example: Für f $x$ = x³ - x²:

g $x$ = x³ - x² + 4 verschiebt den Graphen um 4 Einheiten nach oben

g $x$ = $x+2$ ³ - $x+2$ ² verschiebt den Graphen um 2 Einheiten nach links

g $x$ = 6x³ - 6x² streckt den Graphen um den Faktor 6

Wichtige Regeln für Transformationen:

Verschiebung nach rechts: -c innerhalb der Klammer
Verschiebung nach links: +c innerhalb der Klammer
Streckung: a > 1
Stauchung: 0 < a < 1

Highlight: Bei der Transformation von Funktionen ist es wichtig, die Reihenfolge der Operationen zu beachten.

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Mittlere Änderungsrate

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Definition: Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall.

Die Formel für die mittlere Steigung $MS$ lautet:

MS = $f(x₂$ - f $x₁$ ) / $x₂ - x₁$

Example: Für das Intervall $-1; 1$ und die Funktion f $x$ = x²: MS = $f(1$ - f $-1$ ) / $1 - (-1$ ) = $1 - 1$ / 2 = 0

Der Abschnitt enthält mehrere Beispielaufgaben zur Berechnung der mittleren Änderungsrate für verschiedene Intervalle:

I = $-1; 1$
I = $-1; 0$
I = $1; 3$
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Definition: Der Grad einer Funktion wird durch die höchste Potenz in der Funktionsgleichung bestimmt.

Es werden verschiedene Funktionstypen vorgestellt, darunter lineare, quadratische und kubische Funktionen. Eine wichtige Regel wird hervorgehoben:

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Der Abschnitt enthält auch ein Beispiel zur Berechnung von Funktionswerten:

Für die Funktion f $x$ = 3x² - 4x + 6 wird der Funktionswert für x = 3 berechnet: f $3$ = 3 · 3² - 4 · 3 + 6 = 27 - 12 + 6 = 21

Vocabulary: Funktionswert berechnen bedeutet, einen bestimmten x-Wert in die Funktionsgleichung einzusetzen und das Ergebnis zu ermitteln.

Zusätzlich wird die p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen eingeführt:

Example: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)

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Mittlere Änderungsrate

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