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Globalverhalten und Nullstellen ganzrationaler Funktionen: Beispiele und Aufgaben

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kaya

30.8.2025

Mathe

Lernzettel Klausur ganzrationale Funktionen

Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

3.140

•

30. Aug. 2025

•

2 Seiten

Globalverhalten und Nullstellen ganzrationaler Funktionen: Beispiele und Aufgaben

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kaya

@kaya.kr

Das Globalverhalten und die Nullstellen von Funktionen sind zentrale Konzepte... Mehr anzeigen

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POTENZTUNKTIONEN Exponent n gerade & positiu: Exponent n ungerade & positiv Exponent n gerade & negatiu: Exponent n ungerade &negatiu: GLOBA

Nullstellen und Polynomdivision

Die Berechnung von Nullstellen ist ein zentrales Thema in der Algebra und Analysis. Diese Seite erklärt die Bedeutung von Nullstellen und stellt die Methode der Polynomdivision vor.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.

Eine wichtige Erkenntnis ist, dass eine Funktion maximal n Nullstellen haben kann, wobei n der Grad der Funktion ist. Wenn der Funktionsterm in seine Linearfaktoren zerlegt ist, können die Nullstellen direkt abgelesen werden.

Example: Für die Funktion fxx = x−3x-3x−1x-1x+1x+1 sind die Nullstellen N₁3∣03|0, N₂1∣01|0 und N₃−1∣0-1|0.

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Dies ist besonders nützlich bei der Bestimmung von Nullstellen faktorisierter Polynome.

Highlight: Die Polynomdivision ist eine fortgeschrittene Technik zur Bestimmung von Nullstellen höhergradiger Polynome. Ziel ist es, ein Polynom niedrigeren Grades zu erhalten, dessen Nullstellen leichter zu bestimmen sind.

Bei der Polynomdivision wird das ursprüngliche Polynom durch einen Linearfaktor x−ax - a geteilt, wobei a eine bekannte Nullstelle ist. Der resultierende Quotient ist ein Polynom mit einem um eins niedrigeren Grad.

Example: Bei der Division von x3+6x2+3x−10x³ + 6x² + 3x - 10 durch x+5x + 5 ergibt sich x² + x - 2 als Quotient.

Die Vielfachheit von Nullstellen gibt Aufschluss über das Verhalten der Funktion an diesen Stellen:

  • Einfache Nullstellen: Die Funktion schneidet die x-Achse.
  • Zweifache Nullstellen: Die Funktion berührt die x-Achse.
  • Dreifache Nullstellen: Die Funktion liegt auf der x-Achse.

Vocabulary: Die Vielfachheit einer Nullstelle beschreibt, wie oft der entsprechende Linearfaktor im Polynom vorkommt.

POTENZTUNKTIONEN Exponent n gerade & positiu: Exponent n ungerade & positiv Exponent n gerade & negatiu: Exponent n ungerade &negatiu: GLOBA

Potenzfunktionen und Globalverhalten

Das Globalverhalten von Potenzfunktionen hängt entscheidend vom Exponenten und dem Vorzeichen des Koeffizienten ab. Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über die verschiedenen Typen von Potenzfunktionen und ihr Verhalten für große x-Werte.

Definition: Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt, wie sich die Funktion für sehr große positive oder negative x-Werte verhält.

Für Potenzfunktionen mit geradem Exponenten und positivem Koeffizienten gilt:

  • Für x → ∞ geht f(x) → ∞
  • Für x → -∞ geht f(x) → ∞

Bei ungeradem Exponenten und positivem Koeffizienten:

  • Für x → ∞ geht f(x) → ∞
  • Für x → -∞ geht fxx → -∞

Highlight: Das Verhalten ändert sich signifikant, wenn der Koeffizient negativ ist. Bei geradem Exponenten und negativem Koeffizienten strebt die Funktion für x → ±∞ gegen -∞.

Die Symmetrie von Funktionen ist ein weiteres wichtiges Konzept:

  • Achsensymmetrie tritt bei Funktionen auf, die in ausmultiplizierter Form nur gerade Exponenten haben.
  • Punktsymmetrie findet man bei Funktionen, die in ausmultiplizierter Form nur ungerade Exponenten aufweisen.

Example: Eine quadratische Funktion y = ax² + bx + c ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn b = 0.

Die P-Q-Formel ist ein unverzichtbares Werkzeug zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen:

x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2(p/2² - q)

Vocabulary: Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form fxx = a₁x^n + a₂x^n−1n-1 + ... + a_n−1n-1x + a_n, wobei n ∈ ℕ und a₁ ≠ 0.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

 

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•

3.140

•

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Das Globalverhalten und die Nullstellen von Funktionen sind zentrale Konzepte in der Mathematik, die das Verständnis für den Verlauf und die Eigenschaften von Funktionen vertiefen. Globalverhalten einer Funktion bestimmen und Nullstellen berechnensind wichtige Fähigkeiten für Schüler, um komplexe mathematische... Mehr anzeigen

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Nullstellen und Polynomdivision

Die Berechnung von Nullstellen ist ein zentrales Thema in der Algebra und Analysis. Diese Seite erklärt die Bedeutung von Nullstellen und stellt die Methode der Polynomdivision vor.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.

Eine wichtige Erkenntnis ist, dass eine Funktion maximal n Nullstellen haben kann, wobei n der Grad der Funktion ist. Wenn der Funktionsterm in seine Linearfaktoren zerlegt ist, können die Nullstellen direkt abgelesen werden.

Example: Für die Funktion fxx = x−3x-3x−1x-1x+1x+1 sind die Nullstellen N₁3∣03|0, N₂1∣01|0 und N₃−1∣0-1|0.

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Dies ist besonders nützlich bei der Bestimmung von Nullstellen faktorisierter Polynome.

Highlight: Die Polynomdivision ist eine fortgeschrittene Technik zur Bestimmung von Nullstellen höhergradiger Polynome. Ziel ist es, ein Polynom niedrigeren Grades zu erhalten, dessen Nullstellen leichter zu bestimmen sind.

Bei der Polynomdivision wird das ursprüngliche Polynom durch einen Linearfaktor x−ax - a geteilt, wobei a eine bekannte Nullstelle ist. Der resultierende Quotient ist ein Polynom mit einem um eins niedrigeren Grad.

Example: Bei der Division von x3+6x2+3x−10x³ + 6x² + 3x - 10 durch x+5x + 5 ergibt sich x² + x - 2 als Quotient.

Die Vielfachheit von Nullstellen gibt Aufschluss über das Verhalten der Funktion an diesen Stellen:

  • Einfache Nullstellen: Die Funktion schneidet die x-Achse.
  • Zweifache Nullstellen: Die Funktion berührt die x-Achse.
  • Dreifache Nullstellen: Die Funktion liegt auf der x-Achse.

Vocabulary: Die Vielfachheit einer Nullstelle beschreibt, wie oft der entsprechende Linearfaktor im Polynom vorkommt.

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Potenzfunktionen und Globalverhalten

Das Globalverhalten von Potenzfunktionen hängt entscheidend vom Exponenten und dem Vorzeichen des Koeffizienten ab. Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über die verschiedenen Typen von Potenzfunktionen und ihr Verhalten für große x-Werte.

Definition: Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt, wie sich die Funktion für sehr große positive oder negative x-Werte verhält.

Für Potenzfunktionen mit geradem Exponenten und positivem Koeffizienten gilt:

  • Für x → ∞ geht f(x) → ∞
  • Für x → -∞ geht f(x) → ∞

Bei ungeradem Exponenten und positivem Koeffizienten:

  • Für x → ∞ geht f(x) → ∞
  • Für x → -∞ geht fxx → -∞

Highlight: Das Verhalten ändert sich signifikant, wenn der Koeffizient negativ ist. Bei geradem Exponenten und negativem Koeffizienten strebt die Funktion für x → ±∞ gegen -∞.

Die Symmetrie von Funktionen ist ein weiteres wichtiges Konzept:

  • Achsensymmetrie tritt bei Funktionen auf, die in ausmultiplizierter Form nur gerade Exponenten haben.
  • Punktsymmetrie findet man bei Funktionen, die in ausmultiplizierter Form nur ungerade Exponenten aufweisen.

Example: Eine quadratische Funktion y = ax² + bx + c ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn b = 0.

Die P-Q-Formel ist ein unverzichtbares Werkzeug zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen:

x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2(p/2² - q)

Vocabulary: Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form fxx = a₁x^n + a₂x^n−1n-1 + ... + a_n−1n-1x + a_n, wobei n ∈ ℕ und a₁ ≠ 0.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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