Nullstellen und Polynomdivision

Die Berechnung von Nullstellen ist ein zentrales Thema in der Algebra und Analysis. Diese Seite erklärt die Bedeutung von Nullstellen und stellt die Methode der Polynomdivision vor.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.

Eine wichtige Erkenntnis ist, dass eine Funktion maximal n Nullstellen haben kann, wobei n der Grad der Funktion ist. Wenn der Funktionsterm in seine Linearfaktoren zerlegt ist, können die Nullstellen direkt abgelesen werden.

Example: Für die Funktion f(x) = (x-3)(x-1)(x+1) sind die Nullstellen N₁(3|0), N₂(1|0) und N₃(-1|0).

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Dies ist besonders nützlich bei der Bestimmung von Nullstellen faktorisierter Polynome.

Highlight: Die Polynomdivision ist eine fortgeschrittene Technik zur Bestimmung von Nullstellen höhergradiger Polynome. Ziel ist es, ein Polynom niedrigeren Grades zu erhalten, dessen Nullstellen leichter zu bestimmen sind.

Bei der Polynomdivision wird das ursprüngliche Polynom durch einen Linearfaktor (x - a) geteilt, wobei a eine bekannte Nullstelle ist. Der resultierende Quotient ist ein Polynom mit einem um eins niedrigeren Grad.

Example: Bei der Division von (x³ + 6x² + 3x - 10) durch (x + 5) ergibt sich x² + x - 2 als Quotient.

Die Vielfachheit von Nullstellen gibt Aufschluss über das Verhalten der Funktion an diesen Stellen:

• Einfache Nullstellen: Die Funktion schneidet die x-Achse.
• Zweifache Nullstellen: Die Funktion berührt die x-Achse.
• Dreifache Nullstellen: Die Funktion liegt auf der x-Achse.

Vocabulary: Die Vielfachheit einer Nullstelle beschreibt, wie oft der entsprechende Linearfaktor im Polynom vorkommt.