Anwendung von Logarithmen und Basistransformation

Die Basistransformation ist eine mächtige Technik, um Logarithmen mit beliebigen Basen zu berechnen.

Grundprinzip der Basistransformation:

• Ausgangspunkt: $\log_a(b)$ soll berechnet werden

• Umformung der Gleichung $a^x = b$

• Anwendung eines bekannten Logarithmus (z.B. $\lg$):

  • $\lg(a^x) = \lg(b)$
  • $x \cdot \lg(a) = \lg(b)$
  • $x = \frac{\lg(b)}{\lg(a)}$

• Allgemeine Formel: $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$, wobei $c$ eine beliebige Basis sein kann

Wichtige Sonderfälle:

• $\log_a(1) = 0$ für jede Basis $a > 0$
• $\log_a(a) = 1$ für jede Basis $a > 0$
• $\log_a(a^n) = n$ für jede Basis $a > 0$ und jedes $n$

Die drei gebräuchlichsten Logarithmen:

• Dekadischer Logarithmus: $\lg = \log_{10}$
  • Besonders praktisch für Zehnerpotenzberechnungen
• Natürlicher Logarithmus: $\ln = \log_e$
  • Zentral in der Differential- und Integralrechnung
• Dualer Logarithmus: $\ld = \log_2$
  • Wichtig in der Informatik und Digitaltechnik

Anwendungsbeispiel: Die Basistransformation ist besonders nützlich, wenn dein Taschenrechner nur bestimmte Logarithmen (meist $\ln$ und $\lg$) berechnen kann. Um beispielsweise $\log_5(20)$ zu berechnen, kannst du die Formel $\log_5(20) = \frac{\ln(20)}{\ln(5)}$ oder $\log_5(20) = \frac{\lg(20)}{\lg(5)}$ verwenden.