Logarithmus einfach erklärt: Lernzettel für Schüler

Valerie Sophie

30.7.2025

Mathe

Lernzettel Logarithmus

Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

Eigenschaften von Logarithmen

1.973

•

30. Juli 2025

•

3 Seiten

Logarithmus einfach erklärt: Lernzettel für Schüler

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Valerie Sophie

@valeriesophie_2023

Der Logarithmus ist ein grundlegendes mathematisches Konzept, das die Umkehrung... Mehr anzeigen

Was ist der Logarithmus?
→Umkehrung von Potenzieren
25 = 32
→ mit welcher Zahl muss 2 multipliziert werden, damit 32 rauskommt?
man sucht di

Eigenschaften des Logarithmus

Der Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens hat bestimmte Eigenschaften, die ihn für mathematische Berechnungen wertvoll machen.

Wenn wir die Gleichung $a^x = b$ haben, dann ist die Lösung $x = log_a b$ , wobei:

a die Basis des Logarithmus ist
b der Numerus (Potenzwert) ist
x der gesuchte Exponent (Logarithmus) ist

Beispiel für Funktionsgleichung:

Gegeben: P1 (0 | 2) und P2 (4 | 20)
Ansatz: $y = a \cdot b^x$
Einsetzen von P1: $2 = a \cdot b^0 = a \cdot 1$ , also $a = 2$
Einsetzen von P2: $20 = 2 \cdot b^4$ , also $10 = b^4$ oder $b = \sqrt[4]{10}$

Logarithmusfunktionen:

Die Exponentialfunktion f(x) = $e^x$ und die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) sind zueinander invers
Der Definitionsbereich von ln(x) ist x > 0
Bei x = 1 gilt ln(x) = 0

Wichtige Eigenschaft: Logarithmusfunktionen wachsen langsamer als jede Potenzfunktion. Während die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion selbst ist, ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus $f'(x) = \frac{1}{x}$ .

Logarithmus-Gesetze: Teil 2

Die Logarithmus-Gesetze ermöglichen uns, komplexe Rechenoperationen mit Logarithmen zu vereinfachen und Probleme effizienter zu lösen.

1. Logarithmus-Gesetz: Addition

Formel: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$
Anwendung: Der Logarithmus eines Produkts lässt sich als Summe der Logarithmen darstellen
Beispiele:
- $\ln(2 \cdot e) = \ln(2) + \ln(e)$
- $\ld(5) + \ld(3,2) = \ld(5 \cdot 3,2) = \ld(16)$

2. Logarithmus-Gesetz: Subtraktion

Formel: $\log_a(\frac{u}{v}) = \log_a(u) - \log_a(v)$
Anwendung: Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen
Beispiele:
- $\lg(\frac{100}{2}) = \lg(100) - \lg(2)$
- $\lg(50) - \lg(5) = \lg(\frac{50}{5}) = \lg(10)$

3. Logarithmus-Gesetz: Potenz/Wurzel

Formel: $\log_a(u^r) = r \cdot \log_a(u)$
Formel für Wurzeln: $\log_a(\sqrt[r]{u}) = \frac{1}{r} \cdot \log_a(u)$
Beispiele:
- $\lg(10^5) = 5 \cdot \lg(10)$
- $\ln(0,9^n) = n \cdot \ln(0,9)$

Praxistipp: Diese Gesetze sind besonders hilfreich beim Lösen von Exponentialgleichungen. Durch Logarithmieren beider Seiten und Anwenden der Logarithmusgesetze können komplizierte Exponenten isoliert werden.

Anwendung von Logarithmen und Basistransformation

Die Basistransformation ist eine mächtige Technik, um Logarithmen mit beliebigen Basen zu berechnen.

Grundprinzip der Basistransformation:

Ausgangspunkt: $\log_a(b)$ soll berechnet werden
Umformung der Gleichung $a^x = b$
Anwendung eines bekannten Logarithmus (z.B. $\lg$ ):
- $\lg(a^x) = \lg(b)$
- $x \cdot \lg(a) = \lg(b)$
- $x = \frac{\lg(b)}{\lg(a)}$
Allgemeine Formel: $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$ , wobei $c$ eine beliebige Basis sein kann

Wichtige Sonderfälle:

$\log_a(1) = 0$ für jede Basis $a > 0$
$\log_a(a) = 1$ für jede Basis $a > 0$
$\log_a(a^n) = n$ für jede Basis $a > 0$ und jedes $n$

Die drei gebräuchlichsten Logarithmen:

Dekadischer Logarithmus: $\lg = \log_{10}$
- Besonders praktisch für Zehnerpotenzberechnungen
Natürlicher Logarithmus: $\ln = \log_e$
- Zentral in der Differential- und Integralrechnung
Dualer Logarithmus: $\ld = \log_2$
- Wichtig in der Informatik und Digitaltechnik

Anwendungsbeispiel: Die Basistransformation ist besonders nützlich, wenn dein Taschenrechner nur bestimmte Logarithmen (meist $\ln$ und $\lg$ ) berechnen kann. Um beispielsweise $\log_5(20)$ zu berechnen, kannst du die Formel $\log_5(20) = \frac{\ln(20)}{\ln(5)}$ oder $\log_5(20) = \frac{\lg(20)}{\lg(5)}$ verwenden.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist ein Logarithmus und wie unterscheidet er sich vom Potenzieren?

Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Während beim Potenzieren (z.B. 2^5 = 32) eine Basis mit einem Exponenten berechnet wird, fragt der Logarithmus nach dem Exponenten, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um einen bestimmten Wert zu erhalten. Die Logarithmus Funktion löst also Gleichungen der Form a^x = b durch x = log_a(b). Im Grunde beantwortet der Logarithmus die Frage: "Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um den gegebenen Wert zu erhalten?"

Wie berechne ich einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis ohne Taschenrechner?

Um einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis a zu berechnen, kannst du den Basiswechsel nutzen. Die Formel lautet: log_a(b) = lg(b)/lg(a). Das bedeutet, du kannst jeden Logarithmus berechnen ohne Taschenrechner, wenn du die entsprechenden Werte für den dekadischen Logarithmus (Basis 10) kennst. Zum Beispiel kannst du log_3(27) berechnen, indem du lg(27)/lg(3) rechnest. Diese Methode funktioniert mit jeder Logarithmusbasis.

Was sind die wichtigsten Logarithmus-Gesetze und wann werden sie angewendet?

Die drei grundlegenden Logarithmus Regeln sind: Addition (log_a(u·v) = log_a(u) + log_a(v)), Subtraktion (log_a(u/v) = log_a(u) - log_a(v)) und Potenz/Wurzel (log_a(u^r) = r·log_a(u)). Diese Gesetze werden angewendet, wenn du komplexe logarithmische Ausdrücke vereinfachen oder umformen möchtest. Beispielsweise kann der Ausdruck ln(2·e) mit dem Additionsgesetz zu ln(2) + ln(e) umgeformt werden. Die Logarithmus Regeln sind besonders nützlich beim Lösen von Exponentialgleichungen.

Was bedeutet der Logarithmus von 1 und welche anderen Sonderfälle gibt es?

Der Logarithmus von 1 ist immer 0, unabhängig von der Basis, weil a^0 = 1 für jede Basis a gilt. Ein weiterer wichtiger Sonderfall ist log_a(a) = 1, da a^1 = a ist. So ist zum Beispiel ln(e) = 1 und lg(10) = 1. Der natürliche Logarithmus (ln) verwendet die Euler'sche Zahl e ≈ 2,71828 als Basis. Zu beachten ist auch, dass der Logarithmus von 0 nicht definiert ist und der Logarithmus für negative Zahlen im reellen Zahlenbereich nicht existiert.

Weitere Quellen

Lambacher Schweizer - Mathematik für Gymnasien: Logarithmusfunktionen von Klett, Lehrbuch, Umfassende Erklärungen zu Logarithmusfunktionen mit vielen Übungsaufgaben und Anwendungsbeispielen - Link
Mathematik Oberstufe - Arbeitsheft Logarithmusfunktionen von Cornelsen, Arbeitsheft, Übungen zu Logarithmen, Logarithmusgesetzen und Anwendungen mit Lösungen - Link
Abitur-Training Mathematik: Logarithmus und Exponentialfunktionen von Stark Verlag, Übungsbuch, Gezielte Vorbereitung auf das Abitur mit Logarithmusaufgaben, Basiswechsel und natürlichen Logarithmen - Link
Analysis 1: Differentialrechnung und Logarithmusfunktionen von Springer Spektrum, Lehrbuch, Mathematisch fundierte Einführung in die Logarithmusfunktion mit Anwendungen in der Differentialrechnung - Link

Vertiefe dein Wissen

Erstelle ein Cheat-Sheet mit den wichtigsten Logarithmusregeln und berechne ohne Taschenrechner: log₂(8), log₁₀(0,01), ln(e²) und log₄(16).
Untersuche, wie Logarithmen in der Praxis verwendet werden: Wie hängen pH-Wert, Erdbebenstärke (Richterskala) und Schallpegel (Dezibel) mit dem Logarithmus zusammen?

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4.9/5

App Store

4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Samantha Klich

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Anna

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Der Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens hat bestimmte Eigenschaften, die ihn für mathematische Berechnungen wertvoll machen.

Wenn wir die Gleichung $a^x = b$ haben, dann ist die Lösung $x = log_a b$ , wobei:

a die Basis des Logarithmus ist
b der Numerus (Potenzwert) ist
x der gesuchte Exponent (Logarithmus) ist

Beispiel für Funktionsgleichung:

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Ansatz: $y = a \cdot b^x$
Einsetzen von P1: $2 = a \cdot b^0 = a \cdot 1$ , also $a = 2$
Einsetzen von P2: $20 = 2 \cdot b^4$ , also $10 = b^4$ oder $b = \sqrt[4]{10}$

Logarithmusfunktionen:

Die Exponentialfunktion f(x) = $e^x$ und die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) sind zueinander invers
Der Definitionsbereich von ln(x) ist x > 0
Bei x = 1 gilt ln(x) = 0

Wichtige Eigenschaft: Logarithmusfunktionen wachsen langsamer als jede Potenzfunktion. Während die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion selbst ist, ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus $f'(x) = \frac{1}{x}$ .

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Logarithmus-Gesetze: Teil 2

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1. Logarithmus-Gesetz: Addition

Formel: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$
Anwendung: Der Logarithmus eines Produkts lässt sich als Summe der Logarithmen darstellen
Beispiele:
- $\ln(2 \cdot e) = \ln(2) + \ln(e)$
- $\ld(5) + \ld(3,2) = \ld(5 \cdot 3,2) = \ld(16)$

2. Logarithmus-Gesetz: Subtraktion

Formel: $\log_a(\frac{u}{v}) = \log_a(u) - \log_a(v)$
Anwendung: Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen
Beispiele:
- $\lg(\frac{100}{2}) = \lg(100) - \lg(2)$
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3. Logarithmus-Gesetz: Potenz/Wurzel

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Beispiele:
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Die Basistransformation ist eine mächtige Technik, um Logarithmen mit beliebigen Basen zu berechnen.

Grundprinzip der Basistransformation:

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- $x \cdot \lg(a) = \lg(b)$
- $x = \frac{\lg(b)}{\lg(a)}$
Allgemeine Formel: $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$ , wobei $c$ eine beliebige Basis sein kann

Wichtige Sonderfälle:

$\log_a(1) = 0$ für jede Basis $a > 0$
$\log_a(a) = 1$ für jede Basis $a > 0$
$\log_a(a^n) = n$ für jede Basis $a > 0$ und jedes $n$

Die drei gebräuchlichsten Logarithmen:

Dekadischer Logarithmus: $\lg = \log_{10}$
- Besonders praktisch für Zehnerpotenzberechnungen
Natürlicher Logarithmus: $\ln = \log_e$
- Zentral in der Differential- und Integralrechnung
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Anwendungsbeispiel: Die Basistransformation ist besonders nützlich, wenn dein Taschenrechner nur bestimmte Logarithmen (meist $\ln$ und $\lg$ ) berechnen kann. Um beispielsweise $\log_5(20)$ zu berechnen, kannst du die Formel $\log_5(20) = \frac{\ln(20)}{\ln(5)}$ oder $\log_5(20) = \frac{\lg(20)}{\lg(5)}$ verwenden.

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