Lernzettel Mathe Abitur NRW 2023 Vollständig

Alternativer Bildtext:

rx g(x) → ƒ'(x) = r × g'(x) Summenregel: f(x) = k(x) + h(x) → ƒ'(x) = k'(x) +h'(x) Form: y = m xx + b (m = f'(xo); Punkt einsetzen und b bestimmen) (streng) monoton steigend/fallend f'> 0 → streng monoton steigend f' < 0 → streng monoton fallend (f' ≥ 0/f' ≤ 0 nur monoton...) • Monotonie Il Die Bedeutung der zweiten Ableitung Die zweite Ableitung beschreibt das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) Wenn im Intervall I f''(x) > 0 → f(x) in I linksgekrümmt Wenn im Intervall I f'(x) < 0 → f(x) in I rechtsgekrümmt Themenblock I – Eigenschaften von Funktionen III Kriterien für Extremstellen Hinreichende Bedingung: Wenn f'(x) = 0 ^ ƒ"(x) < 0 → f(xo) an der Stelle xo maximal (Hochpunkt) → Rechtskrümmung Wenn f'(x) 0^f"(x) > 0 → f(x) an der Stelle xo minimal (Tiefpunkt) → Linkskrümmung = Wenn f'(x0) = 0 ^ f'(x₁) = 0 → f(x) hat an der Stelle xo einen Sattelpunkt IV Kriterien für Wendestellen Ein Krümmungswechsel der Funktion f(x) weißt auf einen Wendepunkt hin. 1. Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 2. Hinreichende Bedingung: ƒ''(x) = 0 ^ ƒ'''(x) ‡ 0 (falls ƒ'''(x) = 0 → Vorzeichenwechselkriterium 3. Stellen in Funktion f(x) einsetzen und Wendepunkte notieren. Die zugehörige Tangente heißt Wendetangente. Ist diese waagerecht, handelt es sich um einen Sattelpunkt (dabei ist f'(x) = 0). V Extremwertprobleme Aufbau: Tipp: y = f(x) 0. Skizze 1. Hauptbedingung aufstellen (Was soll maximal werden?) 2. Nebenbedingung (Wie hängen die Variablen voneinander ab?) + Definitionsbereich (Welche Werte kann die Variable annehmen?) 3. Zielfunktion (Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen) 4. Extremalrechnung (Hochpunkte bestimmen) + Randwerte überprüfen 5. Ergebnisse notieren Themenblock I – Eigenschaften von Funktionen VI Steckbriefaufgaben - Modellierung ganzrationaler Funktionen Strategie 1. Grad n der Funktion bestimmen Achtung! Man benötigt n+1 Gleichungen! 2. Gleichungen für f(x), ƒ'(x)und f"(x) aufstellen 3. Lineares Gleichungssystem lösen (Händisch oder mit linsolve : menu → 3 Algebra 2 System... lösen 4. Funktionsgleichung notieren 5. Kontrolle Eigenschaften Wert yo Nullstelle von f bei xo Notwendige Bedingung f(xo) f(xo) = 0 = yo Trassierungskriterien Extremstelle Wendestelle f'(x) = 0 f"(x) = 0 1: f(x) = g(x) II: f'(x) = g'(xo) III: f'(x) = g"(xo) Sattelpunkt f'(x) = 0 f"(x) = 0 4. Funktionsgleichung notieren versatzfreier Übergang knickfreier Übergang ruckfreier Übergang Berührungspunkt mit g(x) f(x) = g(xo) f'(x) = g'(x₂) Modellierung: 1. Ansatz (mit Symmetrien) + Koordinatensystem zeichnen 2. Gleichungen aufstellen 3. Auflösen nach den Variablen: a. Händisch mit dem Gauß-Verfahren (siehe Themenblock VI) b. linsolve - Befehl im GTR Themenblock I – Eigenschaften von Funktionen VII Funktionsscharen untersuchen Gemeinsame Punkte berechnen 1. Hauptbedingung: fa₁(x) 2. Nebenbedingung: a₁ + a₂ 3. Funktionen mit a₁ und a2 gleichsetzen 4. Nach x auflösen = faz(x) 5. x-Werte in Funktionsgleichung einsetzen 6. Punkte notieren Achtung! Nie durch x teilen! Ortskurven charakteristischer Punkte 1. x-Koordinate des Tiefpunktes nach Parameter umformen 2. Einsetzen des Terms in y-Koordinate des Tiefpunktes 3. Ortskurvenfunktion notieren Themenblock II - Integralrechnung Inhalt I Rekonstruieren einer Größe.... II Das Integral. Ober und Untersumme. Allgemeine Schreibweisen Das Integral.. Grenzwerte von Ober- und Untersummen berechnen III Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen IV Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.. V Integral und Flächeninhalt VI Integralfunktionen. VII Unbegrenzte Flächen - uneigentliche Integrale... VIII Integral und Rauminhalt. IX Mittelwerte von Funktionen 2 2 2 2 3 3 .4 4 4 .5 5 5 5 | Rekonstruieren einer Größe Wenn die Funktion f(x) die Änderung einer Größe in einem Intervall [a; b] beschreibt, lässt sich die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der Abszisse (x-Achse) als Gesamtänderung der Größe zwischen a und b deuten. II Das Integral Ober und Untersumme Themenblock II – Integralrechnung Info: Ober- und Untersumme Beispiel: f(x) = x2, gesucht: U4 und 04 im Intervall [0:1] Untersumme (Abschätzung nach unten) So geht's: 1. Unterteile das Intervall (hier: [0;1]) in gleichbreite Teilintervalle (hier: vier Intervalle mit der Breite b = ¹). 2. Zeichne für jedes Intervall ein Rechteck so, dass die obere Rechteckkante den Graphen in genau einem Punkt berührt, das Rechteck insgesamt aber unterhalb des Graphen liegt (siehe Skizze!). 3. Bestimme die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke. 1. 1. f(x) = x Un = ² 1 Der Inhalt der Rechtecke beträgt U₁ - 1 - 0²+1 · (1)² + 1 - (2)² + 1 · (3)² ≈ 0,2188. i=0 U4 f(x)=x2 Allgemeine Schreibweisen Intervall [0; 4] 4 n = Σ=o(i)2 ; On Rechtecke 4 n Obersumme (Abschätzung nach unten) So geht's: 1. Unterteile das Intervall (hier: [0;1]) in gleichbreite Teilintervalle (hier: vier Intervalle mit der Breite b =¹). 2. Zeichne für jedes Intervall ein Rechteck so, dass die obere Rechteckkante den Graphen in genau einem Punkt berührt, das Rechteck insgesamt aber unterhalb des Graphen liegt (siehe Skizze!). 3. Bestimme die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke. f(x)=x2 2 1 Der Inhalt der Rechtecke beträgt 04-1-(1)²+(2)²+1-(2)² + 1 - 1² ≈ 0,4688. = f Σ=1(i)2 04 = 2. f(x) = x² Un = 3. f(x): Un = n-1 Σ n-1 i=0 Themenblock II - Integralrechnung 4 -i)² ; On 4 - i)³ ; On Das Integral Der Grenzwert lim Un n→∞ = = n lim On heißt Integral der Funktion f(x). n→∞0 f(x)dx (Integral von f(x) von a bis b) n n WI untere Integrationsgrenze Grenzwerte von Ober- und Untersummen berechnen n b [ f(x) dx i Obere Integrationsgrenze Integrand nx(n+1) 2 Integrationsvariable xnx ×n×(n+1) × (2n+1) n £³²³ → / xn²x(n+1)² III Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen f(x) = cxx² + C Themenblock II – Integralrechnung c) ff(x) dx + d) - f f(x) dx = e) fa f(x) dx = 0 Rechenregeln für Integrale: a) fcx f(x) dx = cx f(x) dx b) ſº g(x) + h(x)dx = fb g(x)dx + sh(x)dx F(x) = cx f(x) dx = f(x) dx f(x) dx 1 z+1 f(x)dx= f(x) dx = F(b) - F(a) Xx²+1 IV Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung b + C V Integral und Flächeninhalt Vorgehen Flächeninhalt A zwischen f(x) und der x-Achse im Intervall I[a; b]: 1. Nullstellen der Funktion f(x) im Intervall I[a; b] bestimmen. 2. Vorzeichen von der Funktion f(x) in Teilintervallen ermitteln. 3. Bestimmung der Teilflächen und anschließende Addition dieser zum Flächeninhalt A. Vorgehen Flächeninhalt A zwischen f(x) und g(x) im Intervall I[a; b]: 1. Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnen. 2. 2 Möglichkeiten: a. Durch Einsetzen obere Funktion feststellen. b. Beträge beider Funktionen nutzen 3. Integral von den Schnittpunkten der oberen Funktion minus der unteren Funktion ist A. VI Integralfunktionen J₁(x) = f(t)dt mit x E I Integralfunktion f zur unteren Grenze u. Ju(x) = f(x) Eigenschaften: • Integralfunktion Stammfunktion Ju(u) = 0 f(t)dt = Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen f(x) und der x-Achse von der Stelle a bis zur Stelle x. ● Themenblock II – Integralrechnung VII Unbegrenzte Flächen - uneigentliche Integrale f(x)dx/f2f(x)dx: Untersuchung auf Grenzwert für z → +∞/z → c (bei Definitionslücke) lim ff(x) dx = f(x)dx /lim ſ2 f(x)dx = f³ f(x)dx VIII Integral und Rauminhalt Rotierende Fläche auf dem Intervall I[a; b] b V = πx (f(x))²dx a IX Mittelwerte von Funktionen m = 1 × So f(x) dx → Mittelwert von f(x) auf dem Intervall I[a; b] b-a Themenblock III - Exponentialfunktionen Inhalt I Grundlagen Il Natürliche Exponentialfunktion. III Natürlicher Logarithmus. IV Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang. V Beschränktes Wachstum VI Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion. 2 2 2 2 2 3 Themenblock III – Exponentialfunktionen | Grundlagen f mit f(x) = cx a* (a > 0; a ‡ 1) heißt Exponentialfunktion. a> 1 → exponentielle Zunahme a < 1 → exponentielle Abnahme c = Anfangsbestand bei f(0) Lösung von ax = b → loga(b) Il Natürliche Exponentialfunktion f(x) = e* → natürliche Exponentialfunktion e 2,71828 = Euler'sche Zahl f'(x) = f(x) = F(x) = ex III Natürlicher Logarithmus Lösung von ex = b → ln(b) Es gilt eln (b) b und In(e) = C = Bei f(x) = ax = eln (a)xx. f'(x) = ln(a) × eln (a)×x = ln(a) × ax 1 F(x): = In(a) xeln (a)xx = Χα* 1 In(a) IV Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang Exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme liegt vor, wenn ein Bestand von einem Zeitschritt zum nächsten um den gleichen Wachstumsfaktor a zu-/abnimmt. Die Ableitung beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit. V Beschränktes Wachstum Beschränktes Wachstum Nimmt die Differenz zwischen einer Schranke S und dem Bestand zum Zeitpunkt t exponenti- ell ab, so spricht man von einem beschränkten Wachstum mit der Schranke S. Der Bestand zum Zeitpunkt t kann man mithilfe einer Funktion der Form f(t) = S-c-a² (0 < a < 1) bzw. f(t) = S-cekt (k < 0) bestimmen. Dabei ist c = S-f(0) und k = ln (a). Themenblock III – Exponentialfunktionen VI Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion Funktion f(x) ist umkehrbar, wenn es zu jedem Wert y genau eine Stelle x von f mit f(x) = y gibt. Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e* lautet natürliche Logarithmusfunktion In mit ln(x) = f(x). Ihre Ableitung ist f'(x) = 1/2. Umgekehrt ist die natürliche Logarithmusfunktion In eine Stammfunktion zu f(x) = ²/1 Themenblock IV – Zusammengesetze Funktionen Inhalt I Summe, Produkt, Verkettung Il Produktregel III Quotientenregel IV Kettenregel V Zusammengesetze Funktionen untersuchen VI Untersuchung von zusammengesetzten Exponentialfunktionen.. Grundlagen Kombinationsregeln beim Globalverlauf.. Asymptote... VII Untersuchung von zusammengesetzten Logarithmusfunktionen... VII Integrationsverfahren... Partielle Integration Phönix-Methode Methode ,,Faktor1“.. 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 Themenblock IV - Zusammengesetze Funktionen I Summe, Produkt, Verkettung Beispiel: u(x) = x² + 1 und v(x) = x − 2 Summe: u(x) + v(x) = (x² + 1) + (x − 2) = x² + x − 1 Differenz: u(x) — v(x) = (x² + 1) — (x − 2) = x² − x +3 Produkt: u(x) × v(x) = (x² + 1) × (x − 2) = x³ − 2x² + x − 2 u(x) v(x) Verkettung: uo v mit (u o v )(x) = u(v(x)) = u(x − 2) = (x − 2)² + 1 Quotient: = Il Produktregel x² +1 x-2 f(x) = u(x) × v(x) ƒ'(x) = v(x) × u'(x) + v'(x) × u(x) = v × u' + v' × u III Quotientenregel IV Kettenregel f'(x) = u(x) v(x) f(x): u'(x) × v(x) — u(x) × v'(x) (v(x))² f=uᵒv f(x) = u(v(x)) ƒ'(x) = u'(v(x)) × v'(x) Themenblock IV - Zusammengesetze Funktionen V Zusammengesetze Funktionen untersuchen Untersuchen auf (siehe Themenblock I und II): • Nullstellen • Symmetrie • Monotonie ● Extrempunkte • Wendepunkte • Krümmungsverhalten Flächeninhalte VI Untersuchung von zusammengesetzten Exponentialfunktionen Grundlagen Wenn n ungerade: lim_ f(x) = -00 X118 lim f(x) = + x→+80 f(x) = ex lim_ f(x) = O x-8 Grundlagen: Globalverhalten Für Potenzfunktionen f(x)=x" Wenn n gerade: lim f(x) = + x →+00 Für Exponentialfunktionen Kombinationsregeln beim Globalverlauf ∞ X ∞ = ∞0 ∞ × (-∞) = − ∞ ∞0 x 0 = ? ∞0 + ∞0 = 00 ∞ ∞ =? 4 ∞0 + 0 = ∞0 lim f(x)=+o 8118 lim f(x) = +00 x→+80 f(x) = ex lim f(x) = +0 X-8 lim f(x) = O x→+∞ ex dominiert die Kombination Themenblock IV - Zusammengesetze Funktionen Asymptote Der Graph der zusammengesetzten Funktion nähert sich dem Graph dieser Funktion, der Asymptote, für → +∞/→→∞ an. VII Untersuchung von zusammengesetzten Logarithmusfunktionen f(x) = xn x ln(x) In (x) xn g(x): lim f(x) = 0 x→0 lim f(x) = ∞ x →∞ VII Integrationsverfahren = Beispiel: ¹ ex Partielle Integration b b [ u'(x) × v(x)dx = [u(x) × v(x)lå – ſ u(x) × v'(x)dx a a (jeweils für n ≥ 1) lim g(x): =10 x→0 lim f(x) = 0 x →∞ Xxdx u'(x) = ex; v(x) = x 1 1 | e² × xdx = [e² × xlb - | 1 × eºdx = [e³ × x −e²}=1 =lex - ex x S Phönix-Methode Ausgangsintegral erscheint hinten wieder = Phönix Beispiel: ( cos(x) × sin(x) dx S 2x cos x x sin x dx = sinx X sinx -S Ziel: hier ein lösbares integral cos x x sin x dx = (sinx)2 cos x x sin x dx = sin x x cos x dx 1 x (sinx)3 + C Themenblock IV - Zusammengesetze Funktionen Methode ,,Faktor1" Wir genutzt um die Stammfunktion von In (x) zu bestimmen. Beispiel: In(x) dx [ In(x)dx = f 1 × ln(x)dx = x × ln(x) — -√xx²/1dx √ x> = x x ln(x) - S 1dx = x x ln(x) − x + C Themenblock V - Geraden Inhalt I Punkte und Vektoren im Raum II Geraden III Gegenseitige Lage von Geraden.. IV Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt V Winkel zwischen Vektoren - Skalarprodukt 2 2 3 3 4 I Punkte und Vektoren im Raum Abstand zweier Punkte A(a₁|a₂|a3); B(b₁|b₂|b3) Themenblock V - Geraden AB = V (b₁ − α₁)² + (b₂ − A₂)² + (b3 − A3)² Koordinaten des Vektors AB Summen: a + b = Pfeillänge Betrag des Vektors a AB = II Geraden Geraden im IR3: b₁ Multiplikation:rxã=rx | a₂ a1 b₂-a₂ \b3a3/ p heißt Stützvektor u heißt Richtungsvektor - |a| = √√(a₁)² + (α₂)² + (a3)² b₁ (a₁ + b₁\ (-)-(+) b₂ = + b3/ a 2) = /r x a ₁ rx az rx az. a3 Linearkombination: r × à + s × b + t x c Kollinear: Vektoren sind Vielfache voneinander b₂ g: x= So+tx (S₁ - So) = p + tx u mit Koeffizienten r, s und t Punktprobe, ob Punkt auf Gerade liegt: 1. Punkt in Vektor umformen 2. Vektor mit Geradengleichung gleichsetzen 3. Stützvektor auf beiden Seiten subtrahieren 4. Nach t auflösen III Gegenseitige Lage von Geraden Es gibt vier mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden: Themenblock V - Geraden identisch (alle Punkte gleich) schneiden sich (ein gleicher Punkt) zueinander parallel (keine gemeinsamen Punkte) • zueinander windschief (keine gemeinsamen Punkte und nicht parallel) Liegt der Punkt P mit dem Ortsvektor p auf der Geraden h? ja 10/ Die Geraden g und h sind identisch. Sind die Richtungsvektoren u und v zueinander parallel? ja nein Die Geraden g und h sind zueinander parallel. nein Hat die Gleichung p+r.u=a+sv eine Lösung? ja Die Geraden g und h schneiden sich. Orthogonalität: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn gilt: a × b = 0 nein Die Geraden g und h sind zueinander windschief. IV Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt α₁ b₁ ã xỉ = | a2 xb₂ α₁ × b₁ + a₂ × b₂ + a3 x b3 a3. b3 Skalarprodukt Themenblock V - Geraden V Winkel zwischen Vektoren - Skalarprodukt Für den Winkel a zwischen den Vektoren à und b mit 0º < a < 180° gilt: ả x b = lã| x |b|x cos(a) → cos(a) = à x b la x b axb lã| x |bl → α = cos ¹(- 51² Inhalt Das Gauß-Verfahren Themenblock VI - Ebenen Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Ebenen im Raum - Parameterform Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden.. Geometrische Objekte und Situationen im Raum.... 2 2 3 3 4 Themenblock VI - Ebenen Das Gauß-Verfahren Das Gauß-Verfahren wird zum (händischen) lösen linearer Gleichungen verwendet. 1. Lineares Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen in Stufenform (wenn gefordert) bringen. 2. Gleichungen schrittweise nach Xn; ...; X₂; X₁ auflösen ax₁ + bx₂ +cx3 = d gx₁ + px₂ +hx3 = e ix₁ + jx₂ +wx3 = f ax₁ + bx₂ +cx3 = d Sx₂ + tx3 = m lx3 = n Taschenrechner-Befehle: Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. (ax₁ + bx₂ + cx3 = d linSolve gx₁ + px₂ + hx3 = e, {x₁; X2; X3}) ix₁ + jx₂ + Wx3 = f rref ( a > j c d he W in Stufenform umwandeln Themenblock VI - Ebenen Ebenen im Raum - Parameterform Jede Ebene kann durch die Parametergleichung: x = p +rxu+sxỦ beschrieben werden. * ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene p ist der Stützvektor der Ebene u und sind Spannvektoren der Ebene Dabei dürfen die Spannvektoren nicht kollinear, das heißt keine Vielfache voneinander sein. Ebenengleichungen kann man durch folgenden Angaben aufstellen: a. mit 3 Punkten b. mit sich schneidenden Geraden c. mit zueinander parallelen Geraden g und h d. mit einer Gerade und einem nicht auf der Gerade liegenden Punktes Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden Es können drei verschiedene Lagebeziehungen auftreten: • Die Gerade kann die Ebene im Durchstoßpunkt schneiden • Die Gerade und Ebene können zueinander parallel verlaufen • Die Gerade kann in der Ebene liegen Man ermittelt diese, indem man Geradengleichung und Ebenengleichung gleichsetzt g: x = E: x Die Anzahl der Lösungen des LGS geben Aufschluss über die Lagebeziehung: a. Bei einer Lösung schneidet die Gerade die Ebene b. Bei keiner Lösung verläuft die Gerade parallel zur Ebene c. Bei unendlich vielen Lösungen liegt die Gerade in der Ebene Themenblock VI - Ebenen Geometrische Objekte und Situationen im Raum Lösungen im Sachkontext analysieren und deuten! Beispiele: • Schattenwurf/Projektion Parametrisierte Ebene • Spurpunkte (Schnittebene mit den Koordinatenachsen) • Ebenenscharen (Parameter a wie bei Funktionsscharen) Themenblock VII – Abstände und Winkel Inhalt I Normalengleichung und Koordinatengleichung.. Il Lagebeziehungen. III Abstand eines Punktes von einer Ebene IV Abstand eines Punktes von einer Geraden Extremwertbestimmung. Orthogonalität Hilfsebene V Abstand windschiefer Geraden Orthogonalität Hilfsebene VI Schnittwinkel. Winkel zwischen zwei Geraden.... Winkel zwischen zwei Ebenen...... Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene.... GTR-Befehl 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 I Normalengleichung und Koordinatengleichung Normalenvektor der Ebene bestimmen mit à und b: LGS: Kreuzprodukt: A az Themenblock VII – Abstände und Winkel XXX a3 a1 a₂ T b₂ b3 b₁ b₂ b3 = a₂b3 a3b₁ a₂b₂ I α₁n₁ + a₂n₂ + A3n3 = 0 II b₁n₁ + b₂n₂ + b3n3 = 0 a3b₂ a₁b3 a₂b₁ Umformungen Ebenengleichung: Parameterform: E:x=p+rxu + sxv Normalenform: E: x = (x − p) n = 0 Koordinatenform: E: n₁x₁ + n₂x2₂ + N3X3 = N₁P1 + N₂P2 + N3P3 Themenblock VII – Abstände und Winkel Il Lagebeziehungen Ebene-Gerade: Man bestimmt die Lage der Gerade und der Ebene zueinander, indem man die Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzt: a. Eine Lösung: Schnittpunkt b. Keine Lösung: parallel zueinander c. Unendlich viele Lösungen: Gerade liegt in der Ebene Ebene-Ebene: Man bestimmt die Lage zweier Ebenen zueinander, indem man ihre Koordinatengleichungen Zeilenweise in ein LGS einsetzt und dieses löst: a. Keine Lösung: parallel zueinander b. Unendlich viele Lösungen: a. n sind keine Vielfache voneinander: Schnittgerade (Die Geradengleichung lässt sich aus der Lösungsmenge ablesen) b. n sind Vielfache voneinander: identisch III Abstand eines Punktes von einer Ebene Zur Bestimmung des Abstandes geht man wie folgt vor: 1. n der Ebene ablesen 2. Aufstellen der Geradengleichung der Lotgerade zur Ebene: g: x=p+txñ 3. Lotfußpunkt (Schnittpunkt) von der Geraden mit der Ebene bestimmen durch Einsetzen und Auflösen nach t 4. Abstand zwischen dem Lotfußpunkt und dem gegebenen Punkt berechnen Themenblock VII – Abstände und Winkel IV Abstand eines Punktes von einer Geraden g: x = p + txn Extremwertbestimmung 1. Punkt auf der Gerade in Abhängigkeit des Parameters t aufstellen 2. Vektor zwischen dem Punkt auf der Gerade und dem gegebenen Punkt bestimmen 3. Länge des Vektors in Abhängigkeit des Parameters t bestimmen, als Funktion notieren und über Graph Analyse Tiefpunkt bestimmen 4. Ermittelten Wert für den Parameter t in Funktion einsetzen und Abstand notieren Orthogonalität 1. Geradengleichung aufstellen 2. Punkt P auf der Gerade in Abhängigkeit des Parameters t aufstellen 3. Vektor zwischen Pt und gegebenem Punkt berechnen 4. Der Vektor muss orthogonal zum Richtungsvektor stehen. Man ermittelt diesen durch die Orthogonalitätsbedingung und löst dann nach t auf. P+P = 0 5. t in den Vektor einsetzen und dessen Länge bestimmen Hilfsebene 1. Ebene H bestimmen, die orthogonal zur Geraden g ist und den gegebenen Punkt enthält: • Normalenvektor der Ebene ist unter Beachtung der Orthogonalität der Richtungsvektor der Gerade • Koordinatenform mit Normalenvektor und gegebenem Punkt aufstellen 2. Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene bestimmen, indem man die Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene einsetzt und dann nach dem Parameter t auflösen 3. Parameter t in die Geradengleichung einsetzen und den Abstand zwischen dem erhaltenen Punkt und dem gegebenen Punkt berechnen Themenblock VII – Abstände und Winkel V Abstand windschiefer Geraden g: x=p+sxu S h: x = a + t x v Orthogonalität 1. Punkte in Abhängigkeit des Parameters aufstellen g → Gs(......…..) h → Ht (... | ... | ...) 2. Strecke GH als Vektor bestimmen 3. Orthogonalität: Vektor muss orthogonal zu beiden Richtungsvektoren sein GsHtxu = 0 GsHtxv=0 Parameter bestimmen 4. Beide Parameter jeweils in die Geradengleichung einsetzen 5. Abstand der beiden erhaltenen Punkte berechnen Hilfsebene 1. Normalenvektor ñ der Hilfsebene mittels Orthogonalität (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen) zu den Richtungsvektoren bestimmen 2. E: (x − p) n = 0 ▶N₁X₁ + N₂X₂ + N3X3 = N₁P₁ + N₂P2 + N3P3 3. Lotfußgerade und Lotfußpunkt bestimmen OF = q + txn 4. OF in die Ebene einsetzen 5. Abstand zwischen dem Stützvektor à und OF bestimmen. Themenblock VII – Abstände und Winkel VI Schnittwinkel Folgende Gleichungen gelten für Spitze Winkel (zwischen 0° und 90°): Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Ebenen GTR-Befehl a = cos ¹(- a = cos ¹(- Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene axn a = 90° cos-¹( COS n₁ X n₂ n₁ × n₂ Ansonsten rechnet man: 180° – α axb x b a x : |n|² = sin ¹( dotP (a,b) norm(a) x norm(b) axn ax Themenblock VIII - Wahrscheinlichkeit-Statistik Inhalt I Daten darstellen und durch Kenngrößen beschreiben II Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen III Bernoulli-Experimente, Binomialverteilung. Kombinatorik. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Vierfeldertafeln. IV Praxis der Binomialverteilung.. Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten... Sigma-Regeln Histogramme deuten V Problemlösen mit der Binomialverteilung. Strategie Wahrscheinlichkeit P gesucht. Strategie Anzahl n gesucht...... Strategie Trefferwahrscheinlichkeit p gesucht.. Strategie Trefferanzahl k gesucht... Von der Stichprobe auf die Gesamtheit schließen. 1n-Gesetz für Schwankungsintervalle.. Grenzen des Vertrauensintervalls.. VI Zweiseitiger Signifikanztest VII Einseitiger Signifikanztest... VIII Fehler beim Testen von Hypothesen. IX Signifikanz und Relevanz.... 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 LO 5 6 6 6 6 7 7 8 Themenblock VIII – Wahrscheinlichkeit-Statistik I Daten darstellen und durch Kenngrößen beschreiben 1 Mittelwert: x = = x (x₁ + x₂ + ... Xn) x E Liste n Empirische Standardabweichung: S = ·× ((x₁ − x)² + (x₂ − x)² + .... + (x − x)²) - n Bei relativer Häufigkeit: x = (m₁ x h₁) + (m₂ × h₂) + m E Werte; h E Häufigkeiten + (mn × hn) s = √√(m₁ x)² × h₁ + (m₂ − x)² × h₂ + + (mn − x)² × hn Gauß'sche Faustregel: 68,3% der Daten liegen im Standardabweichungsintervall o = √√√(x₁ − μ)² × P(X = x₁) + ···. V ... II Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen Erwartungswert von X: μ = x₁ × P(X = x₁) + +xnx P(X = Xn) Standartabweichung von X: Faires Spiel immer bei μ = 0 · + (xn− µ)² × P(X = xn) III Bernoulli-Experimente, Binomialverteilung Ein Bernoulli-Experiment hat immer genau zwei mögliche Ergebnisse des Zufallsversuchs. Dabei bleiben die Wahrscheinlichkeiten immer gleich. Bernoulli-Kette der Länge n n ist die Anzahl der Wiederholungen Anzahl der Pfade: (2) n! r!x(n-r)! GTR: nCr(n,r) Bernoulli-Formel: Bn;p(r) = P(x = r) = (2) × p¹ × (1 − p)n-r (n: Wiederholungen(Anzahl); p: Trefferwahrscheinlichkeit; r: Trefferanzahl) Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Bn;p heißt Binomialverteilung. Kombinatorik Die Kombinatorik hilft dabei, die Anzahl aller möglichen Anordnungen eines Zufallsexperimentes zu bestimmen. Fall Themenblock VIII – Wahrscheinlichkeit-Statistik Beschreibung Mit Zurücklegen/mit Wiederholung Ohne Zurücklegen/ohne Wiederholung Permutation Alle Elemente n! k₁! x k₂! X IN IN! n! ... x kn! 60% Jungen(JU) → 70% Instrument(IN) 40% Mädchen (JU!) → 50% Instrument(IN) Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Vierfeldertafeln Beispiel: JU 42% 18% 60% Variation Stichprobe unter Berücksichtigung der Reihenfolge nk n! (n-k)! JU! 20% 20% 40% Kombination Stichprobe ohne Beachtung der Reihenfolge (n + k − 1) (K) 62% 38% 100% Gesucht: P(IN) P(IN) = P(JU ʼn IN) + (JU! NI) = 0,6 × 0,7 + 0,4 × 0,5 = 0,62 = 62% IV Praxis der Binomialverteilung Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung Erwartungswert: μ = nx p σ(X) = √n × p× (1 − p) Standardabweichung: Wahrscheinlichkeiten Themenblock VIII – Wahrscheinlichkeit-Statistik X ~ Bin(n, p) a) Wahrscheinlichkeit: Bn;p (k) = P(X = k) = binomPdf(n,p,k) (für k) P(a ≤ x ≤ b) = binomPdf (n, p, a, b) (für Bereich zwischen a und b) b) Kumulierte Wahrscheinlichkeit (Summe der Wahrscheinlichkeiten): Fn;p (k) = P(X ≤ k) = P(X = 0) + ··· + P(X = k) Achtung: Beide Schreibweisen können im Abitur vorkommen! Sigma-Regeln Näherungen: ⇒P= 1. Ρ(μ - σ < X < μ + σ) ~ 68,3% 2. Ρ(μ - 2σ < X < μ + 2o) ~ 95,4% 3. Ρ(μ – 36 < X < μ + 3r) ~ 99,7% Dabei wird die untere Grenze immer auf- und die obere Grenze abgerundet. Weitere Regeln in der Formelsammlung! Histogramme deuten n letzte Säule p=nxp bei höchster Säule 318 μ 10,20,30 - Regel 120 100 NO 20 Beispiel Histogramm -1 Normalverteilung von 1000 Werten Themenblock VIII - Wahrscheinlichkeit-Statistik V Problemlösen mit der Binomialverteilung Strategie Wahrscheinlichkeit P gesucht P(X ≤ a) = binomCdf (n, p, 0, a) Strategie Anzahl n gesucht 1. Logarithmus über Ungleichung lösen bei P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) oder bei P(X2 k): 2. Funktion über binomCdf aufstellen und Wertetabelle durchgehen TIPP: Umformung in 1 - P(X ≤ k) verursacht im GTR keinen ERROR. Strategie Trefferwahrscheinlichkeit p gesucht 1. P(X ≤ k) ≤/≥ P(Grenze) 2. f₁(x) = binomCdf (n,x, 0, k) f₂(x) = P(Grenze) 3. Graph Analyse → Schnittpunkt → anhand Graph deuten, ob p ≤ oder p≥ dieser Wert Strategie Trefferanzahl k gesucht P(X ≥ k) ≤/≥ a 1. Graph f1(x) = binomCdf (n,p, X, n) 2. Tabelle durchgehen wann Wahrscheinlichkeit kleiner/größer als a wird Themenblock VIII - Wahrscheinlichkeit-Statistik Von der Stichprobe auf die Gesamtheit schließen 1 -Gesetz für Schwankungsintervalle √n Bei einer Bernoullikette mit der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p liegen circa 95,4% aller relativer Häufigkeiten im Schwankungsintervall: [p-2 x Für Schätzungen: √px (1 − p) √√n I ≈ [h-2x Für Schätzungen: [p -;p + 2 x 1 √n =;p + Grenzen des Vertrauensintervalls Bei einer Bernoullikette mit der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p liegt das Vertrauensintervall in den Grenzen: hx (1-h) √n I ≈ ~ [h - 1 F /p × (1 − p), √n 1 --:h+ -;h+2x 1 √n h× (1 − h), √n Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeiten. VI Zweiseitiger Signifikanztest 1. Nullhypothese aufstellen: Ho: P = Po 2. Stichprobenumfang n und Signifikanzniveau a festlegen 3. Testgröße X mit n und Po 4. Annahmebereich [a; b] bestimmen 5. Graph zeichnen lassen: binomCdf (n, po, x) 6. a und b aus Wertetabelle ablesen für P(X ≤ a) > und für P(X ≤ b) > 1 – 2/12 Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt höchstens das Signifikanzniveau a. 7. Stichprobe vom Umfang n durchführen. Nullhypothese Ho wird angenommen, wenn das Ergebnis im Annahmebereich liegt, ansonsten wird Ho verworfen. Themenblock VIII – Wahrscheinlichkeit-Statistik VII Einseitiger Signifikanztest 1. Nullhypothese aufstellen: Ho: P = Po 2. Stichprobenumfang n und Signifikanzniveau a festlegen 3. Testgröße X ist die Trefferzahl Linksseitiger Test: Ho: p≥ Po 1. Annahmebereich [a; n] bestimmen Rechtsseitiger Test: Hō: p ≤ Po 1. Annahmebereich [0; b] bestimmen 2. a aus Wertetabelle ablesen 2. b aus Wertetabelle ablesen für P(X ≤ b) > 1-a für P(X ≤ a) > a 4. Stichprobe vom Umfang n durchführen. Nullhypothese Ho wird angenommen, wenn das Ergebnis im Annahmebereich liegt, ansonsten wird Ho verworfen. VIII Fehler beim Testen von Hypothesen Es wird zwischen zwei möglichen Fehlern beim Testen von Hypothesen unterschieden. Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie zutrifft. Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist. Lösungsansätze: Fehler 1. Art verkleinern: Annahmebereich vergrößern/Signifikanzniveau kleiner wählen Fehler 2. Art verkleinern: Annahmebereich verkleinern/Signifikanzniveau größer wählen Dabei reduziert sich zwar jeweils der eine Fehler, doch der andere steigt entsprechend. Beide Fehler minimieren: Stichprobenumfang vergrößern Fehler 1. Art bestimmen: Pp. (Ablehnungsbereich) Po Fehler 2. Art bestimmen: Pp (Annahmebereich) Themenblock VIII - Wahrscheinlichkeit-Statistik IX Signifikanz und Relevanz Signifikanz und Relevanz haben nicht dieselbe Bedeutung. Signifikanz beschreibt eine vermutlich nicht zufällig auftretende Beobachtung, während es sich bei Relevanz um wirklich wichtige und bedeutsame Beobachtungen handelt. Themenblock IX - Stetige Zufallsgrößen Inhalt I Stetige Zufallsgrößen III Die Analysis der Gauß'schen Glockenfunktion. Integrale bestimmen mit dem GTR III Normalverteilung. Satz von de Moivre-Laplace Testen bei der Normalverteilung.. 2 2 2 3 3 3 Themenblock IX - Stetige Zufallsgrößen I Stetige Zufallsgrößen Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte über das Intervall I[a; b], wenn gilt: 1. f(x) ≥ 0 (keine negativen Wahrscheinlichkeiten) 2. f f(x) dx =1= 100% (Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 100%) Wahrscheinlichkeiten: P(r ≤ X ≤ s) = f f (x)dx Achtung: P(X= k) = 0 Erwartungswert: μ = fx × f(x) dx a Standardabweichung: o = √(x-μ)² × f(x) dx a Für eine exponentialverteilte Zufallsgröße der Form f(x) = 1 × ex gilt: 1 4=0= } λ P(a ≤ x ≤ b) = ・jxxe-²ax: Pμix (x) b a Il Die Analysis der Gauß'schen Glockenfunktion 1 = Integrale bestimmen mit dem GTR Graph: f(x) = normPdf(x,µ, o) dx = e-λa - e-λb σ x √2π xe (x-μ)² 20² Die Glockenfunktion besitzt eine Maximalstelle bei x = μ und je eine Wendestelle bei x = μ±o. Der Graph ist achsensymmetrisch zu x = μ. menu →6 (Graph analysieren) ➜ 6 (Fläche/Integral) → Grenzen festlegen Rechner: normCdf (a, b, μ, o) menu → 5 (Wahrscheinlichkeit) → 5 (Verteilungen) → 2 (Normal Cdf) liefert Sμ:0 Themenblock IX - Stetige Zufallsgrößen III Normalverteilung Die Zufallsgröße X ist normalverteilt, wenn ihre Dichtefunktion der Gauß'schen Glockenfunktion entspricht. Dabei gelten die Sigma-Regeln exakt. Die Kontur der Binomialverteilung zur Glockenfunktion wird als Stetigkeitskorrektur bezeichnet. Satz von de Moivre-Laplace Für binomialverteilte Zufallsgrößen X mit µ = n < p und o = nxp×(1-p) gilt: a. P(X = k) = Bn;p (k) ≈ Qµ;o(k) b. P(a ≤ x ≤ b) ≈ √b +0,5 μ₁0 (x) dx Testen bei der Normalverteilung Ist eine Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung μ Ox normalverteilt, so sind auch die Mittelwerte x aus jeweils n beobachteten Werten normalverteilt mit dem Erwartungswert μ aber mit der geringeren ox Standardabweichung ox = √n Die Hypothese, dass eine normalverteilte Zufallsgröße mit bekannter Standardabweichung o den Erwartungswert u besitzt, testet man auf dem 5-%-Signifikanzniveau so: a) Man wählt einen Stichprobenumfang n und berechnet den Mittelwert x aus n Daten. b) Man berechnet den Annahmebereich A = [μ-1,96; µμ + 1,96- 96 c) Man verwirft die Hypothese, wenn x außerhalb des Annahmebereichs liegt.