Vektorielle Parametergleichung und Lagebeziehungen von Geraden
Die vektorielle Parametergleichung einer Geraden ist ein fundamentales Konzept in der analytischen Geometrie. Sie beschreibt eine Gerade mithilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors. Die Gleichung lautet:
g: x = a + r · m
Hierbei ist a der Stützvektor, m der Richtungsvektor und r der Geradenparameter.
Definition: Die Zweipunktgleichung einer Geraden durch die Punkte A und B mit den Ortsvektoren a und b lautet: g: x = a + r · b−a
Die Lagebeziehungen von Geraden können in drei Hauptkategorien eingeteilt werden:
- Parallel oderidentisch: Die Richtungsvektoren beider Geraden sind kollinear.
- Schneidend: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, und die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
- Windschief: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, und die Geraden schneiden sich nicht.
Highlight: Bei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren kollinear. Wenn zusätzlich der Stützpunkt einer Geraden auf der anderen liegt, sind die Geraden identisch.
Example: Um zu überprüfen, ob sich zwei Geraden schneiden, setzt man die rechten Seiten der Parametergleichungen gleich und löst das entstehende lineare Gleichungssystem.
Diese Konzepte sind essentiell für das Verständnis der Lagebeziehung von Geraden und bilden die Grundlage für komplexere Aufgaben in der Vektorrechnung.
