Deutsch
Englisch
Biologie
Geschichte
Geographie/Erdkunde
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Demokratie und freiheit
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Europa und globalisierung
Der mensch und seine geschichte
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Frühe neuzeit
Imperialismus und erster weltkrieg
Das 20. jahrhundert
Die zeit des nationalsozialismus
Europa und die welt
Großreiche
Alle Themen
Die subpolare und polare zone
Entwicklung in tropischen räumen
Entwicklungsperspektiven
Planet erde
Klimawandel und klimaschutz
Mensch-umwelt-beziehungen
China
Australien und ozeanien
Globalisierung
Europa
Klima und vegetationszonen
Herausforderungen an die menschen des 21. jahrhunderts
Usa
Russland
Ressourcenkonflikte und ressourcenmanagement
Alle Themen
Sarah Sophie
@sarahsxphieee
·
120 Follower
Follow
Die Lineare Algebra und Analytische Geometrie sind zentrale Themen im Mathematikunterricht der Oberstufe, insbesondere in der Q2. Diese Zusammenfassung deckt wichtige Konzepte ab:
Diese Themen sind essentiell für das Abitur in Mathematik und bilden eine wichtige Grundlage für weiterführende Studien in MINT-Fächern.
16.11.2021
9993
Dieser Abschnitt führt in die Vektorrechnung ein und erläutert die Grundlagen der Arbeit mit Vektoren in räumlichen Koordinatensystemen.
Definition: Ein Vektor ist eine Größe, die durch Länge und Richtung festgelegt ist.
Folgende Konzepte werden behandelt:
Beispiel: A(3,4,5) und B(2,1,2) → Richtungsvektor AB = B - A = (-1,-3,-3)
Wichtige Operationen mit Vektoren werden vorgestellt:
Highlight: Der Gegenvektor wird als Spezialfall der Skalarmultiplikation mit -1 eingeführt.
Abschließend werden wichtige Eigenschaften von Vektoren wie Länge (Betrag), Orthogonalität und der Winkel zwischen zwei Vektoren erwähnt, die in den folgenden Abschnitten detaillierter behandelt werden.
Dieser Abschnitt behandelt das Skalarprodukt von Vektoren und dessen Anwendungen, insbesondere zur Bestimmung der Orthogonalität und zur Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren.
Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist definiert als a · b = axbx + ayby + az*bz
Das Skalarprodukt hat folgende wichtige Eigenschaften:
Highlight: Die Orthogonalität von Vektoren ist ein zentrales Konzept in der linearen Algebra und findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik.
Zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren wird die Formel verwendet:
cos(α) = (a · b) / (|a| * |b|)
Beispiel: Für die Vektoren a = (1,2,3) und b = (3,4,0) ergibt sich: a · b = 13 + 24 + 3*0 = 11 |a| = √(1² + 2² + 3²) = √14 |b| = √(3² + 4² + 0²) = 5 cos(α) = 11 / (√14 * 5) ≈ 0,588 α ≈ 53,98°
Es wird darauf hingewiesen, dass bei Winkeln über 90° und Winkelsummen in Dreiecken über 180° der Gegenwinkel berechnet werden muss.
Vocabulary: Orthogonal bedeutet im rechten Winkel zueinander stehend.
Diese Konzepte sind wesentlich für die Analytische Geometrie Zusammenfassung Abitur und bilden die Grundlage für das Verständnis von Lagebeziehungen im Raum.
Dieser Abschnitt behandelt die Darstellung von Geraden im Raum und die Untersuchung ihrer Lagebeziehungen zueinander, was zentrale Themen der analytischen Geometrie sind.
Definition: Die Zweipunktform einer Geradengleichung lautet: g: x = OA + r · AB, wobei OA der Ortsvektor des Punktes A und AB der Richtungsvektor der Geraden ist.
Die Geradengleichung wird auch in Parameterform dargestellt: g: x = a + r · u, wobei a der Stützvektor und u der Richtungsvektor ist.
Beispiel: Für die Punkte A(2,4,3) und B(3,6,2) lautet die Geradengleichung: g: x = (2,4,3) + r · (1,2,-1)
Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, wird die Punktprobe durchgeführt:
Highlight: Wenn der Parameter r für alle Gleichungen denselben Wert ergibt, liegt der Punkt auf der Geraden.
Zur Untersuchung der Lagebeziehungen von Geraden werden folgende Schritte durchgeführt:
Mögliche Lagebeziehungen sind:
Diese Konzepte sind essentiell für die Mathe Q2 Themen und bilden die Grundlage für komplexere Aufgaben in der analytischen Geometrie im Abitur.
Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen der linearen Algebra und fokussiert sich auf Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme.
Definition: Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht verändern.
Folgende Äquivalenzumformungen werden vorgestellt:
Das Vorgehen zur Lösung von linearen Gleichungssystemen wird schrittweise erklärt, beginnend mit einem System aus drei Gleichungen und drei Unbekannten, das auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert wird.
Beispiel: Ein konkretes Beispiel zeigt die Anwendung der Äquivalenzumformungen zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Die Koeffizientenmatrix wird eingeführt und verschiedene Lösungsszenarien werden diskutiert:
Highlight: Das Gauß-Verfahren wird als effiziente Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme vorgestellt.
Abschließend wird die Beziehung zwischen der Anzahl der Variablen und der Anzahl der Gleichungen in Bezug auf die Lösbarkeit des Systems erläutert.
Dieser Abschnitt behandelt die Berechnung der Länge eines Vektors und des Abstands zwischen zwei Punkten im Raum, was grundlegende Konzepte der analytischen Geometrie sind.
Definition: Der Betrag eines Vektors ist seine Länge und wird berechnet als die Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten.
Die Formel für den Betrag eines Vektors a = (ax, ay, az) lautet: |a| = √(ax² + ay² + az²)
Beispiel: Für den Vektor a = (3, -4, 4) ist der Betrag |a| = √(3² + (-4)² + 4²) = √36 = 6 Längeneinheiten
Der Abstand zwischen zwei Punkten A(a1, a2, a3) und B(b1, b2, b3) im dreidimensionalen Raum wird mit der Formel berechnet: d(A,B) = |AB| = √((b1-a1)² + (b2-a2)² + (b3-a3)²)
Highlight: Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.
Der Abschnitt führt auch das Konzept der Kollinearität von Vektoren ein:
Definition: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen, unabhängig von ihrer Länge.
Kollineare Vektoren sind linear abhängig und können durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführt werden.
Abschließend wird die Berechnung des Mittelpunkts zwischen zwei Punkten vorgestellt:
M(AB) = (1/2 * (xA + xB), 1/2 * (yA + yB), 1/2 * (zA + zB))
Beispiel: Für A(2,4,3) und B(3,6,2) ist der Mittelpunkt M(AB) = (2.5, 5, 2.5)
Diese Konzepte sind fundamental für die Vektoren Zusammenfassung PDF Abitur und bilden die Grundlage für komplexere Berechnungen in der analytischen Geometrie.
171
4401
12
Vektorgeometrie Abiturzusammenfassung
Abiturzusammenfassung zum Thema Vektorgeometrie (LK)
22
366
11/12
Skript Geraden und Ebenen aufstellen
In der Analytischen Geometrie geht darum mit Geraden und Ebenen zu rechnen. Du solltest sie also auf jeden Fall aufstellen können! Ich habe dir die wichtigsten Fällen aufgelistet. Schreib mir gerne ein Feedback
85
3058
11/12
LK Zusammenfassung Vektoren
Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Geraden im Raum, Ebenen im Raum, Normalengleichung, Parametergleichung, Koordinatengleichung, Spurpunkte, Lage von Geraden & Ebenen, Durchstoßpunkt, Schnittgerade, Hessesche Normalform, Lotfußpunkt
566
17818
11/12
Zusammenfassung Abitur Mathe Sachsen 2022
Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte aus der Analysis, der Vektorrechnung und der Stochastik (außer Zufallsgrößen, Binominalverteilung, Hypothesentest, ...)
307
7603
12/13
Analytische Geometrie / Vektoren Lernzettel
Hier ein Lernzettel zu einer Mathe Klausur welche sich um Vektoren handelt. Bsp.: Winkel zwischen Vektoren, Schattenpunkte, Lagebeziehungen, Punktprobe… Außerdem ein kleiner Teil zu Exponentialfunktionen. Viel Spaß :)
32
1109
11/12
Analytische Geometrie/Ebenen und Vektoren
mögliche Aufgaben für den HMF Teil oder auch den Hauptteil mit Lösungen (Klausur ähnlich)
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
Sarah Sophie
@sarahsxphieee
·
120 Follower
Follow
Die Lineare Algebra und Analytische Geometrie sind zentrale Themen im Mathematikunterricht der Oberstufe, insbesondere in der Q2. Diese Zusammenfassung deckt wichtige Konzepte ab:
Diese Themen sind essentiell für das Abitur in Mathematik und bilden eine wichtige Grundlage für weiterführende Studien in MINT-Fächern.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Dieser Abschnitt führt in die Vektorrechnung ein und erläutert die Grundlagen der Arbeit mit Vektoren in räumlichen Koordinatensystemen.
Definition: Ein Vektor ist eine Größe, die durch Länge und Richtung festgelegt ist.
Folgende Konzepte werden behandelt:
Beispiel: A(3,4,5) und B(2,1,2) → Richtungsvektor AB = B - A = (-1,-3,-3)
Wichtige Operationen mit Vektoren werden vorgestellt:
Highlight: Der Gegenvektor wird als Spezialfall der Skalarmultiplikation mit -1 eingeführt.
Abschließend werden wichtige Eigenschaften von Vektoren wie Länge (Betrag), Orthogonalität und der Winkel zwischen zwei Vektoren erwähnt, die in den folgenden Abschnitten detaillierter behandelt werden.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Dieser Abschnitt behandelt das Skalarprodukt von Vektoren und dessen Anwendungen, insbesondere zur Bestimmung der Orthogonalität und zur Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren.
Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist definiert als a · b = axbx + ayby + az*bz
Das Skalarprodukt hat folgende wichtige Eigenschaften:
Highlight: Die Orthogonalität von Vektoren ist ein zentrales Konzept in der linearen Algebra und findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik.
Zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren wird die Formel verwendet:
cos(α) = (a · b) / (|a| * |b|)
Beispiel: Für die Vektoren a = (1,2,3) und b = (3,4,0) ergibt sich: a · b = 13 + 24 + 3*0 = 11 |a| = √(1² + 2² + 3²) = √14 |b| = √(3² + 4² + 0²) = 5 cos(α) = 11 / (√14 * 5) ≈ 0,588 α ≈ 53,98°
Es wird darauf hingewiesen, dass bei Winkeln über 90° und Winkelsummen in Dreiecken über 180° der Gegenwinkel berechnet werden muss.
Vocabulary: Orthogonal bedeutet im rechten Winkel zueinander stehend.
Diese Konzepte sind wesentlich für die Analytische Geometrie Zusammenfassung Abitur und bilden die Grundlage für das Verständnis von Lagebeziehungen im Raum.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Dieser Abschnitt behandelt die Darstellung von Geraden im Raum und die Untersuchung ihrer Lagebeziehungen zueinander, was zentrale Themen der analytischen Geometrie sind.
Definition: Die Zweipunktform einer Geradengleichung lautet: g: x = OA + r · AB, wobei OA der Ortsvektor des Punktes A und AB der Richtungsvektor der Geraden ist.
Die Geradengleichung wird auch in Parameterform dargestellt: g: x = a + r · u, wobei a der Stützvektor und u der Richtungsvektor ist.
Beispiel: Für die Punkte A(2,4,3) und B(3,6,2) lautet die Geradengleichung: g: x = (2,4,3) + r · (1,2,-1)
Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, wird die Punktprobe durchgeführt:
Highlight: Wenn der Parameter r für alle Gleichungen denselben Wert ergibt, liegt der Punkt auf der Geraden.
Zur Untersuchung der Lagebeziehungen von Geraden werden folgende Schritte durchgeführt:
Mögliche Lagebeziehungen sind:
Diese Konzepte sind essentiell für die Mathe Q2 Themen und bilden die Grundlage für komplexere Aufgaben in der analytischen Geometrie im Abitur.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen der linearen Algebra und fokussiert sich auf Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme.
Definition: Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht verändern.
Folgende Äquivalenzumformungen werden vorgestellt:
Das Vorgehen zur Lösung von linearen Gleichungssystemen wird schrittweise erklärt, beginnend mit einem System aus drei Gleichungen und drei Unbekannten, das auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert wird.
Beispiel: Ein konkretes Beispiel zeigt die Anwendung der Äquivalenzumformungen zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Die Koeffizientenmatrix wird eingeführt und verschiedene Lösungsszenarien werden diskutiert:
Highlight: Das Gauß-Verfahren wird als effiziente Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme vorgestellt.
Abschließend wird die Beziehung zwischen der Anzahl der Variablen und der Anzahl der Gleichungen in Bezug auf die Lösbarkeit des Systems erläutert.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Dieser Abschnitt behandelt die Berechnung der Länge eines Vektors und des Abstands zwischen zwei Punkten im Raum, was grundlegende Konzepte der analytischen Geometrie sind.
Definition: Der Betrag eines Vektors ist seine Länge und wird berechnet als die Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten.
Die Formel für den Betrag eines Vektors a = (ax, ay, az) lautet: |a| = √(ax² + ay² + az²)
Beispiel: Für den Vektor a = (3, -4, 4) ist der Betrag |a| = √(3² + (-4)² + 4²) = √36 = 6 Längeneinheiten
Der Abstand zwischen zwei Punkten A(a1, a2, a3) und B(b1, b2, b3) im dreidimensionalen Raum wird mit der Formel berechnet: d(A,B) = |AB| = √((b1-a1)² + (b2-a2)² + (b3-a3)²)
Highlight: Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.
Der Abschnitt führt auch das Konzept der Kollinearität von Vektoren ein:
Definition: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen, unabhängig von ihrer Länge.
Kollineare Vektoren sind linear abhängig und können durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführt werden.
Abschließend wird die Berechnung des Mittelpunkts zwischen zwei Punkten vorgestellt:
M(AB) = (1/2 * (xA + xB), 1/2 * (yA + yB), 1/2 * (zA + zB))
Beispiel: Für A(2,4,3) und B(3,6,2) ist der Mittelpunkt M(AB) = (2.5, 5, 2.5)
Diese Konzepte sind fundamental für die Vektoren Zusammenfassung PDF Abitur und bilden die Grundlage für komplexere Berechnungen in der analytischen Geometrie.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Mathe - Vektorgeometrie Abiturzusammenfassung
Abiturzusammenfassung zum Thema Vektorgeometrie (LK)
171
4401
2
Mathe - Skript Geraden und Ebenen aufstellen
In der Analytischen Geometrie geht darum mit Geraden und Ebenen zu rechnen. Du solltest sie also auf jeden Fall aufstellen können! Ich habe dir die wichtigsten Fällen aufgelistet. Schreib mir gerne ein Feedback
22
366
0
Mathe - LK Zusammenfassung Vektoren
Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Geraden im Raum, Ebenen im Raum, Normalengleichung, Parametergleichung, Koordinatengleichung, Spurpunkte, Lage von Geraden & Ebenen, Durchstoßpunkt, Schnittgerade, Hessesche Normalform, Lotfußpunkt
85
3058
0
Mathe - Zusammenfassung Abitur Mathe Sachsen 2022
Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte aus der Analysis, der Vektorrechnung und der Stochastik (außer Zufallsgrößen, Binominalverteilung, Hypothesentest, ...)
566
17818
6
Mathe - Analytische Geometrie / Vektoren Lernzettel
Hier ein Lernzettel zu einer Mathe Klausur welche sich um Vektoren handelt. Bsp.: Winkel zwischen Vektoren, Schattenpunkte, Lagebeziehungen, Punktprobe… Außerdem ein kleiner Teil zu Exponentialfunktionen. Viel Spaß :)
307
7603
2
Mathe - Analytische Geometrie/Ebenen und Vektoren
mögliche Aufgaben für den HMF Teil oder auch den Hauptteil mit Lösungen (Klausur ähnlich)
32
1109
1
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
