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Lineare Algebra Analytische Geometrie & Q2 AQUIVALENZUMFORMUNG → 2Gleichungen können vertauscht werden → eine Gleichung kann mit einer reelen Zahl k#0 multipliziert werden → Addition o. Substraktion mit einer anderen Gleichung VORGEHEN 3Gleichungen. 1+3 Unbekannte →2 Gleichungen+ 2 Unbekannte → usw. I 2x+3y-z=5 II X+ y + z = 6 III-3x-4y+32=-S A: (-2)-II+I A:y-32= -7 B: I.3 +2 By+32=5 A+B y+y + (-32)+32 = -7 + (-2) 2y=-2 y = -1 y=-1 in A -1-32 =-7 H+1 y=-1 und z=2 in I X-1+2=6 1-1 X=5 - 32 = -6 1:(-3) Z=2 L = {(5; -1; 2)} LOSUNGEN Lineare Gleichungssysteme I 2x+y=42=1 I ㅍ 1:(2) y-22=-1 0=0 =>Z=C Parameter wählen KOEFFIZIENTEN matrize: A.X=6 /2 3-1 (**)•(1-0) -3-4 3 Normalformel: alle Variabeln aufeiner Seite → keine Lösung: unlösbar, da Widerspruchszeile vorliegt 40 = -1 4 ⇒ L = { (-.-) } → eine Lösung: alle variabeln zeigen eindeutiges Ergebniss ↳ L= {(5; 8; 3)} →∞ Lösungen bei Nullzeile (ein Parameter frei wählen 6 →losungs menge: L = {(x₁ y; 2)} Z-C in II Y-2C=-11+2c y=-1+2c ↳₂0=0 => L={(C+1; 2C-1₁c); C €R} yundz in I 2x-1+2C-4C = 1 1+2C 1+1 2x=2+2c 1:2 X=1+C GAUB-VERFAHREN dreickssystem 1) Elemeniere mit Hilfe einer anderen Gleichung durch Aquivalenz umformungen die Variabel X₁/x aus allen anderen Gleichungen →x aus II+III elemenieren 2) Mit den anderen Gleichungen schrittweise genauso vorgenen, um X₂ly zu elementeren (usw. bis nur noch eine Variabel) →y aus III elemenieren 3) auflösen nach letzter Variabel (x3/Z) 4) Rückeinsetzung I II ax₁ +ax₂ +0x3 = b beispiel: I 工。 III. ax₂ +0x3=b ax3=b I Ia 立。 LGS X₁-3x₂+ 3x3 = -3 бул - 3x2+ Х3 = 5 2x₂2x2+2x3-=2 Ха- 3х2+3x3 = -3 12x2-14x3 = 20 4x2-4 x3 = 8 X₁-3x₂ + 3x3 = -3 12x₂-14x3 = 20 2x3=4 1-SI --21 ₂-3-a-la TR MENÜ...
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A 1.(LGS) > ANZAHL D. VARIABELN > aberbestimmt => L:{(3; 4; 2)} LGS unter bestimmt => weniger Gleichungen als variabeln • Widerspruch ·∞o-Losungen => mehr Gleichungen als variabeln widerspruch ·∞0-Lösungen • gibt es genau eine Lösung muss sie für alle Gleichungen gelten ERGEBNIS 1 RECHNEN MIT VEKTOREN 6 V =a+b 2 - (665 : by ) - (c) /ax + bx + + be à *b = C a + b = ORTSVEKTOR vom Ursprung zu einem Punkt Bsp. Punkt A à oder JA (ax` ay räumliche Koordinatensysteme * 4 addition => direkte Verbindung zw. Ausgangs- und Endpunkt à-b bx skalarprodukt => Multiplikation von 2 Vektoren by b₂/ X 3 = =RAUM a 2 1 -6 I subtraktion a-bay-by Z ·bx =(²³) → Koordinaten vom Punkt bz 4 3 2 1 axbx + ay by + a₂b₂ 1 Vektoren durch Lange + Richtung festgelegt ( ²3 ) + ( 3 ) = 1·4₁2·5 +3·6 = 4+10+18=32 * 2 • 3 4 2.a à A(31415) P(X1X12) 4V- (4) /Ox r.a=r./ay laz 5 multiplikation => Veränderung der Länge = Vektor & wird mit einem Skalar r multipliziert (jede Koordinate) RICHTUNGSVEKTOR durch Subtraktion von 2 Punkten Bsp. Punkt A(31415); Punkt B (21112) AB=OB-OA= () () b a ) - ( = y r.ax r.ay r.az merke: → -1.a = Gegenvektor → -2.0 = Gegenvektor mit veränderter Lange Länge (Betrag), Orthogonalitāt; Winkel zw. 2 Vektoren 2 BETRAG EINES VEKTORS Länge des Vektors là là Vân đi = Vai tay tr ↳ lãl= (-³) = √√₂² + (-4)² + 4² = √36 = 6 LE ABSTAND VON 2 PUNKTEN A(alazlaz); B(b₁lb₂lbz) d (A; B)= |AB| =√(b₁-a₂₁)² + (b₂-a₂)² + (b3-a3)² = ... LE KOLLINEARITAT von 2 VEKTOREN →Der Vektor hat zwar andere Werte, aber zeigt genau in die selbe Richtung (²1) = ² · ( ²1 ) =>r=2 =>r=2 =>r=2 ⇒ Geraden sind parallel o. identisch, d.h linear abhängig SP MIT KO-ACHSEN →Bsp.: gnx-Achse denn mit r=2: MITTE ZW 2 PUNKTEN ACXAI YAIZA); BCXBI YB I Z₂) ⇒ Mittelpunkt AB A(21413); B(31612) ( ²³ ) = 2 · ( ² ) = ( ² ) 1) (8) als X einsetzen 2) KO-Gleichungen 3) nach Parameter auflösen 4) Parameter in andere Gl. einsetzen (+) 1 VARIANTE Vielfache vom anderen Vektor COM = 1²2 · (OA+OR) +3 CR-4() () ²) - + 6 2 3 2 (KA+X₁ YA+YB ZA+ZB) 2 2 MAG(2,5|5|2,5) MABI 3 SKALAR PRODUKT #0 Winkel ausrechnen, wenn Skalarprodukt nicht ist % beispiel Cos d == a*b*0 COS d = _à #5 là 1151 Winkel (3) * (²) 1·3+2·4+0 ^^ | ( ²3 )|-|(²³)| √√ ₁² +2²4 +3²° · √√3² +4² = √14² · V25¹ TR: COS ¹( ) COS (0,588)=53,98° :O,588 BEACHTE Wenn Winkel über 90° u. Winkelsumme im Dreieck über 180° →Gegenwinkel berechnen 2.B 2= 120° 180° - 120°= 60° SKALAR PRODUKT -0 = wenn das skalarprodukt von 2 Vektoren ã+56=0 ergibt sind sie ORTHOGONAL (im rechten Winkel) a +6=0 <=> a 16 ap² (3) * (3) -- =−4+4=0 4
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Lineare Algebra und Analytische Geometrie
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Zusammenfassung Mathe Q2
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Lineare Algebra Analytische Geometrie & Q2 AQUIVALENZUMFORMUNG → 2Gleichungen können vertauscht werden → eine Gleichung kann mit einer reelen Zahl k#0 multipliziert werden → Addition o. Substraktion mit einer anderen Gleichung VORGEHEN 3Gleichungen. 1+3 Unbekannte →2 Gleichungen+ 2 Unbekannte → usw. I 2x+3y-z=5 II X+ y + z = 6 III-3x-4y+32=-S A: (-2)-II+I A:y-32= -7 B: I.3 +2 By+32=5 A+B y+y + (-32)+32 = -7 + (-2) 2y=-2 y = -1 y=-1 in A -1-32 =-7 H+1 y=-1 und z=2 in I X-1+2=6 1-1 X=5 - 32 = -6 1:(-3) Z=2 L = {(5; -1; 2)} LOSUNGEN Lineare Gleichungssysteme I 2x+y=42=1 I ㅍ 1:(2) y-22=-1 0=0 =>Z=C Parameter wählen KOEFFIZIENTEN matrize: A.X=6 /2 3-1 (**)•(1-0) -3-4 3 Normalformel: alle Variabeln aufeiner Seite → keine Lösung: unlösbar, da Widerspruchszeile vorliegt 40 = -1 4 ⇒ L = { (-.-) } → eine Lösung: alle variabeln zeigen eindeutiges Ergebniss ↳ L= {(5; 8; 3)} →∞ Lösungen bei Nullzeile (ein Parameter frei wählen 6 →losungs menge: L = {(x₁ y; 2)} Z-C in II Y-2C=-11+2c y=-1+2c ↳₂0=0 => L={(C+1; 2C-1₁c); C €R} yundz in I 2x-1+2C-4C = 1 1+2C 1+1 2x=2+2c 1:2 X=1+C GAUB-VERFAHREN dreickssystem 1) Elemeniere mit Hilfe einer anderen Gleichung durch Aquivalenz umformungen die Variabel X₁/x aus allen anderen Gleichungen →x aus II+III elemenieren 2) Mit den anderen Gleichungen schrittweise genauso vorgenen, um X₂ly zu elementeren (usw. bis nur noch eine Variabel) →y aus III elemenieren 3) auflösen nach letzter Variabel (x3/Z) 4) Rückeinsetzung I II ax₁ +ax₂ +0x3 = b beispiel: I 工。 III. ax₂ +0x3=b ax3=b I Ia 立。 LGS X₁-3x₂+ 3x3 = -3 бул - 3x2+ Х3 = 5 2x₂2x2+2x3-=2 Ха- 3х2+3x3 = -3 12x2-14x3 = 20 4x2-4 x3 = 8 X₁-3x₂ + 3x3 = -3 12x₂-14x3 = 20 2x3=4 1-SI --21 ₂-3-a-la TR MENÜ...
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A 1.(LGS) > ANZAHL D. VARIABELN > aberbestimmt => L:{(3; 4; 2)} LGS unter bestimmt => weniger Gleichungen als variabeln • Widerspruch ·∞o-Losungen => mehr Gleichungen als variabeln widerspruch ·∞0-Lösungen • gibt es genau eine Lösung muss sie für alle Gleichungen gelten ERGEBNIS 1 RECHNEN MIT VEKTOREN 6 V =a+b 2 - (665 : by ) - (c) /ax + bx + + be à *b = C a + b = ORTSVEKTOR vom Ursprung zu einem Punkt Bsp. Punkt A à oder JA (ax` ay räumliche Koordinatensysteme * 4 addition => direkte Verbindung zw. Ausgangs- und Endpunkt à-b bx skalarprodukt => Multiplikation von 2 Vektoren by b₂/ X 3 = =RAUM a 2 1 -6 I subtraktion a-bay-by Z ·bx =(²³) → Koordinaten vom Punkt bz 4 3 2 1 axbx + ay by + a₂b₂ 1 Vektoren durch Lange + Richtung festgelegt ( ²3 ) + ( 3 ) = 1·4₁2·5 +3·6 = 4+10+18=32 * 2 • 3 4 2.a à A(31415) P(X1X12) 4V- (4) /Ox r.a=r./ay laz 5 multiplikation => Veränderung der Länge = Vektor & wird mit einem Skalar r multipliziert (jede Koordinate) RICHTUNGSVEKTOR durch Subtraktion von 2 Punkten Bsp. Punkt A(31415); Punkt B (21112) AB=OB-OA= () () b a ) - ( = y r.ax r.ay r.az merke: → -1.a = Gegenvektor → -2.0 = Gegenvektor mit veränderter Lange Länge (Betrag), Orthogonalitāt; Winkel zw. 2 Vektoren 2 BETRAG EINES VEKTORS Länge des Vektors là là Vân đi = Vai tay tr ↳ lãl= (-³) = √√₂² + (-4)² + 4² = √36 = 6 LE ABSTAND VON 2 PUNKTEN A(alazlaz); B(b₁lb₂lbz) d (A; B)= |AB| =√(b₁-a₂₁)² + (b₂-a₂)² + (b3-a3)² = ... LE KOLLINEARITAT von 2 VEKTOREN →Der Vektor hat zwar andere Werte, aber zeigt genau in die selbe Richtung (²1) = ² · ( ²1 ) =>r=2 =>r=2 =>r=2 ⇒ Geraden sind parallel o. identisch, d.h linear abhängig SP MIT KO-ACHSEN →Bsp.: gnx-Achse denn mit r=2: MITTE ZW 2 PUNKTEN ACXAI YAIZA); BCXBI YB I Z₂) ⇒ Mittelpunkt AB A(21413); B(31612) ( ²³ ) = 2 · ( ² ) = ( ² ) 1) (8) als X einsetzen 2) KO-Gleichungen 3) nach Parameter auflösen 4) Parameter in andere Gl. einsetzen (+) 1 VARIANTE Vielfache vom anderen Vektor COM = 1²2 · (OA+OR) +3 CR-4() () ²) - + 6 2 3 2 (KA+X₁ YA+YB ZA+ZB) 2 2 MAG(2,5|5|2,5) MABI 3 SKALAR PRODUKT #0 Winkel ausrechnen, wenn Skalarprodukt nicht ist % beispiel Cos d == a*b*0 COS d = _à #5 là 1151 Winkel (3) * (²) 1·3+2·4+0 ^^ | ( ²3 )|-|(²³)| √√ ₁² +2²4 +3²° · √√3² +4² = √14² · V25¹ TR: COS ¹( ) COS (0,588)=53,98° :O,588 BEACHTE Wenn Winkel über 90° u. Winkelsumme im Dreieck über 180° →Gegenwinkel berechnen 2.B 2= 120° 180° - 120°= 60° SKALAR PRODUKT -0 = wenn das skalarprodukt von 2 Vektoren ã+56=0 ergibt sind sie ORTHOGONAL (im rechten Winkel) a +6=0 <=> a 16 ap² (3) * (3) -- =−4+4=0 4
Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁