Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen und Gauß-Verfahren

Diese Seite erweitert die Methoden auf lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen und führt das Gauß-Verfahren als systematische Lösungsmethode ein.

Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen

Die zuvor gelernten Methoden (Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren) können auch für Systeme mit drei Variablen verwendet werden, erfordern aber oft eine Kombination dieser Verfahren.

Example: Ein System mit den Gleichungen 3x + 3y + 2z = 5, 10x + 20y + 15z = 20 und -10x + 4y + 8z = -18 wird als Beispiel gegeben.

Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren, auch Gauß-Algorithmus genannt, wird als systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme eingeführt.

Definition: Das Gauß-Verfahren zielt darauf ab, das Gleichungssystem in Dreiecksgestalt zu bringen.

Highlight: Die Vorgehensweise beinhaltet mehrfaches Wiederholen des Additionsverfahrens, Multiplikation einer Gleichung mit einer reellen Zahl ungleich Null und das Vertauschen von Zeilen.

Example: Ein detailliertes Beispiel zeigt die Anwendung des Gauß-Verfahrens auf ein System mit drei Variablen, wobei jeder Schritt erklärt wird.

Vocabulary:

• Dreiecksgestalt: Die Form, in die das Gleichungssystem durch das Gauß-Verfahren gebracht wird.
• Additionsverfahren: Eine der Grundmethoden zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Lineare Gleichungssysteme mit zwei und drei Variablen

Diese Seite behandelt die grundlegenden Methoden zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen. Es werden drei Hauptverfahren vorgestellt: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Additionsverfahren.

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen umgeformt und in die andere eingesetzt.

Example: 6x + 12y = 30 und 3x + 3y = 9 werden gelöst, indem x aus der zweiten Gleichung isoliert und in die erste eingesetzt wird.

Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Variablen umgeformt und gleichgesetzt.

Example: Die Gleichungen 6x + 12y = 30 und 3x + 3y = 9 werden nach x umgeformt und gleichgesetzt.

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen addiert oder subtrahiert, nachdem sie so umgeformt wurden, dass eine Variable in beiden Gleichungen die gleiche Anzahl hat.

Example: Die Gleichungen 6x + 12y = 30 und 3x + 3y = 9 werden so umgeformt, dass die x-Terme sich aufheben.

Highlight: Es werden auch verschiedene Arten von Lösungen für lineare Gleichungssysteme erklärt, einschließlich unlösbarer, nicht eindeutiger und eindeutig lösbarer Systeme.