Drei Methoden zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Diese Seite präsentiert drei grundlegende Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme: das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Jede Methode wird anhand eines Beispiels erläutert, um ihre praktische Anwendung zu demonstrieren.

1. Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren wird anhand eines Systems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten demonstriert:

y = 3x - 7 y = -x + 1

Example: Bei diesem Verfahren werden die rechten Seiten der Gleichungen gleichgesetzt: 3x - 7 = -x + 1 4x = 8 x = 2

Anschließend wird der gefundene x-Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um y zu bestimmen: y = -x + 1 y = -2 + 1 y = -1

Highlight: Die Lösung des Gleichungssystems lautet L = {2|-1}.

2. Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren wird mit folgendem Beispiel erklärt:

y = 2x + 3 2y - 2x = 9

Example: Hier wird die erste Gleichung in die zweite eingesetzt: 2(2x + 3) - 2x = 9 4x + 6 - 2x = 9 2x + 6 = 9 2x = 3 x = 1,5

Der x-Wert wird dann in die erste Gleichung eingesetzt: y = 2(1,5) + 3 y = 3 + 3 y = 6

Highlight: Die Lösung des Systems ist L = {1,5|6}.

3. Additionsverfahren

Das Additionsverfahren wird mit diesem Beispiel veranschaulicht:

2y = x + 4 y = -x - 8

Example: Die zweite Gleichung wird mit 2 multipliziert und dann von der ersten subtrahiert: 2y = x + 4 2y = -2x - 16

0 = 3x + 20 -3x = 20 x = -20/3

Vocabulary: Koeffizienten sind die Zahlen, mit denen die Variablen multipliziert werden.

Highlight: Bei diesem Verfahren werden Gleichungen so addiert oder subtrahiert, dass eine Variable eliminiert wird.

Definition: Das Additionsverfahren ist besonders nützlich, wenn die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen gleich sind oder leicht angeglichen werden können.

Diese drei Methoden bieten effektive Wege zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Die Wahl der Methode hängt von der Struktur der Gleichungen ab und kann die Lösung erheblich vereinfachen.