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Lineare und Quadratische Funktionen leicht gemacht - Steigung berechnen und mehr

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Lost._.Lorenzchen

14.10.2021

Mathe

Lineare & Quadratische Funktionen

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Mathe

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Funktionen und analysis

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Kurvendiskussion einzelschritte

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Y achsenabschnitt berechnen

Lineare und Quadratische Funktionen leicht gemacht - Steigung berechnen und mehr

Dieser Leitfaden erklärt die Grundlagen linearer und quadratischer Funktionen für Schüler:

  • Erläutert Darstellungsarten, Steigungsberechnung und Funktionsgleichungen linearer Funktionen
  • Behandelt Scheitelpunktform, Normalform und Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen
  • Enthält Beispiele, Formeln und Erklärungen zu wichtigen Konzepten wie Steigungsdreieck und Scheitelpunkt
...

14.10.2021

2803

lineare Funktionen Definition: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. →aufstellen Steigung f(x) = mx + b einzeichnen -2 2- -1 10 4 3 Werte

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Quadratische Funktionen und Scheitelpunktform

Dieser Abschnitt behandelt quadratische Funktionen und ihre verschiedenen Darstellungsformen.

Definition: Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet: y = ax−dx-d² + e

Dabei ist:

  • a der Streckfaktor
  • d die Verschiebung auf der x-Achse
  • e die Verschiebung auf der y-Achse

Highlight: Der Scheitelpunkt Sd/ed/e kann direkt aus der Scheitelpunktform abgelesen werden.

Example: Für y = -3x−2x-2² + 3 ist der Scheitelpunkt S2/32/3

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist: y = ax² + bx + c

Vocabulary: Normalform quadratische Funktion - Eine andere Bezeichnung für die allgemeine Form.

Um von der Scheitelpunktform in die Normalform zu gelangen:

  1. Klammer ausmultiplizieren
  2. Terme zusammenfassen

Example: Scheitelpunktform in Normalform: y = x−3x-3² + 1 = x² - 6x + 9 + 1 = x² - 6x + 10

Nullstellen berechnen:

  1. Funktion null setzen
  2. Je nach Form die passende Lösungsmethode wählen

Highlight: Die p-q-Formel ist ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Nullstellen: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2(p/2² - q)

lineare Funktionen Definition: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. →aufstellen Steigung f(x) = mx + b einzeichnen -2 2- -1 10 4 3 Werte

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Umwandlung zwischen Funktionsformen

Dieser Abschnitt behandelt die Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen quadratischer Funktionen.

Highlight: Die Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform ist eine wichtige Fähigkeit.

Schritte zur Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform:

  1. Quadratische Ergänzung durchführen
  2. Zweite binomische Formel anwenden
  3. Terme umstellen

Example: Normalform in Scheitelpunktform: fxx = x² - 4x + 8 = x2−4x+4x² - 4x + 4 - 4 + 8 = x−2x - 2² + 4

Vocabulary: Quadratische Ergänzung - Eine Methode zur Umformung quadratischer Ausdrücke.

Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion: y = x−mx - mx−nx - n

Dabei sind m und n die Nullstellen der Funktion.

Highlight: Die faktorisierte Form ist besonders nützlich zur Bestimmung der Nullstellen.

lineare Funktionen Definition: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. →aufstellen Steigung f(x) = mx + b einzeichnen -2 2- -1 10 4 3 Werte

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Graphische Interpretation quadratischer Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die graphische Darstellung und Interpretation quadratischer Funktionen.

Definition: Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Eigenschaften der Parabel basierend auf der Funktion:

  • a > 0: nach oben geöffnet
  • a < 0: nach unten geöffnet
  • |a| > 1: schmaler als Normalparabel
  • 0 < |a| < 1: breiter als Normalparabel

Example: y = 1/2x−7x - 7² - 3,5

  • Nach unten geöffnet a<0a < 0
  • Breiter als Normalparabel 0<∣a∣<10 < |a| < 1
  • Nach rechts und unten verschoben

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

  • y-Achse: Setze x = 0 in die Funktionsgleichung ein
  • x-Achse: Löse fxx = 0

Highlight: Die Schnittpunkte mit den Achsen liefern wichtige Informationen über den Verlauf der Funktion.

Example: Schnittpunkte berechnen für y = -0,5x + 3

  • y-Achse: Sy0/30/3
  • x-Achse: 0 = -0,5x + 3 → x = 6, Sx6/06/0

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über lineare und quadratische Funktionen, ihre Darstellungsformen und wichtige Berechnungsmethoden.

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Lost._.Lorenzchen

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  • Erläutert Darstellungsarten, Steigungsberechnung und Funktionsgleichungen linearer Funktionen
  • Behandelt Scheitelpunktform, Normalform und Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen
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Quadratische Funktionen und Scheitelpunktform

Dieser Abschnitt behandelt quadratische Funktionen und ihre verschiedenen Darstellungsformen.

Definition: Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet: y = ax−dx-d² + e

Dabei ist:

  • a der Streckfaktor
  • d die Verschiebung auf der x-Achse
  • e die Verschiebung auf der y-Achse

Highlight: Der Scheitelpunkt Sd/ed/e kann direkt aus der Scheitelpunktform abgelesen werden.

Example: Für y = -3x−2x-2² + 3 ist der Scheitelpunkt S2/32/3

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist: y = ax² + bx + c

Vocabulary: Normalform quadratische Funktion - Eine andere Bezeichnung für die allgemeine Form.

Um von der Scheitelpunktform in die Normalform zu gelangen:

  1. Klammer ausmultiplizieren
  2. Terme zusammenfassen

Example: Scheitelpunktform in Normalform: y = x−3x-3² + 1 = x² - 6x + 9 + 1 = x² - 6x + 10

Nullstellen berechnen:

  1. Funktion null setzen
  2. Je nach Form die passende Lösungsmethode wählen

Highlight: Die p-q-Formel ist ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Nullstellen: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2(p/2² - q)

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Umwandlung zwischen Funktionsformen

Dieser Abschnitt behandelt die Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen quadratischer Funktionen.

Highlight: Die Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform ist eine wichtige Fähigkeit.

Schritte zur Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform:

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Dabei sind m und n die Nullstellen der Funktion.

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Definition: Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Eigenschaften der Parabel basierend auf der Funktion:

  • a > 0: nach oben geöffnet
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  • |a| > 1: schmaler als Normalparabel
  • 0 < |a| < 1: breiter als Normalparabel

Example: y = 1/2x−7x - 7² - 3,5

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  • y-Achse: Setze x = 0 in die Funktionsgleichung ein
  • x-Achse: Löse fxx = 0

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Example: Schnittpunkte berechnen für y = -0,5x + 3

  • y-Achse: Sy0/30/3
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Lineare Funktionen und Steigungsberechnung

Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen linearer Funktionen und wie man ihre Steigung berechnet.

Definition: Eine lineare Funktion ordnet jedem x-Wert einen y-Wert zu.

Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet:

fxx = mx + b

Dabei ist:

  • m die Steigung
  • b der y-Achsenabschnitt

Highlight: Die Steigung berechnen lineare Funktion ist ein zentrales Konzept. Sie kann mit der Formel m = y2−y1y₂ - y₁ / x2−x1x₂ - x₁ berechnet werden.

Darstellungsarten linearer Funktionen:

  1. Graphen
  2. Gleichungen
  3. Wertetabellen
  4. Verbale Beschreibungen

Example: Um eine lineare Funktion zu zeichnen:

  1. y-Achsenabschnitt b einzeichnen
  2. Vorzeichen von m beachten +steigend,−fallend+ steigend, - fallend
  3. Steigung m einzeichnen
  4. Punkte verbinden

Vocabulary: Steigungsdreieck - Ein Hilfsmittel zur grafischen Darstellung der Steigung einer linearen Funktion.

Zur Bestimmung von Steigung und y-Achsenabschnitt aus einem Graphen:

  1. y-Achsenabschnitt b ablesen
  2. Steigungsdreieck nutzen
  3. Von b eine Einheit zur Seite und entsprechend viele nach oben/unten bis zum Graphen

Example: Lineare Funktion Steigung berechnen mit 2 Punkten: Gegeben: A2/12/1, B6/46/4 m = 4−14-1 / 6−26-2 = 3/4 = 0,75

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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