Fächer

Fächer

Mehr

Lineare und Quadratische Funktionen leicht gemacht - Steigung berechnen und mehr

Öffnen

Lineare und Quadratische Funktionen leicht gemacht - Steigung berechnen und mehr
user profile picture

Lost._.Lorenzchen

@lost._.lorenzchen_813b60

·

72 Follower

Follow

Dieser Leitfaden erklärt die Grundlagen linearer und quadratischer Funktionen für Schüler:

  • Erläutert Darstellungsarten, Steigungsberechnung und Funktionsgleichungen linearer Funktionen
  • Behandelt Scheitelpunktform, Normalform und Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen
  • Enthält Beispiele, Formeln und Erklärungen zu wichtigen Konzepten wie Steigungsdreieck und Scheitelpunkt

14.10.2021

2714

lineare Funktionen
Definition: Jedem x-Wert wird ein
y-Wert zugeordnet.
→aufstellen
Steigung
f(x) = mx + b
einzeichnen
-2
2-
-1 10
4
3
Werte

Öffnen

Lineare Funktionen und Steigungsberechnung

Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen linearer Funktionen und wie man ihre Steigung berechnet.

Definition: Eine lineare Funktion ordnet jedem x-Wert einen y-Wert zu.

Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet:

f(x) = mx + b

Dabei ist:

  • m die Steigung
  • b der y-Achsenabschnitt

Highlight: Die Steigung berechnen lineare Funktion ist ein zentrales Konzept. Sie kann mit der Formel m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) berechnet werden.

Darstellungsarten linearer Funktionen:

  1. Graphen
  2. Gleichungen
  3. Wertetabellen
  4. Verbale Beschreibungen

Example: Um eine lineare Funktion zu zeichnen:

  1. y-Achsenabschnitt b einzeichnen
  2. Vorzeichen von m beachten (+ steigend, - fallend)
  3. Steigung m einzeichnen
  4. Punkte verbinden

Vocabulary: Steigungsdreieck - Ein Hilfsmittel zur grafischen Darstellung der Steigung einer linearen Funktion.

Zur Bestimmung von Steigung und y-Achsenabschnitt aus einem Graphen:

  1. y-Achsenabschnitt b ablesen
  2. Steigungsdreieck nutzen
  3. Von b eine Einheit zur Seite und entsprechend viele nach oben/unten bis zum Graphen

Example: Lineare Funktion Steigung berechnen mit 2 Punkten: Gegeben: A(2/1), B(6/4) m = (4-1) / (6-2) = 3/4 = 0,75

lineare Funktionen
Definition: Jedem x-Wert wird ein
y-Wert zugeordnet.
→aufstellen
Steigung
f(x) = mx + b
einzeichnen
-2
2-
-1 10
4
3
Werte

Öffnen

Quadratische Funktionen und Scheitelpunktform

Dieser Abschnitt behandelt quadratische Funktionen und ihre verschiedenen Darstellungsformen.

Definition: Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet: y = a(x-d)² + e

Dabei ist:

  • a der Streckfaktor
  • d die Verschiebung auf der x-Achse
  • e die Verschiebung auf der y-Achse

Highlight: Der Scheitelpunkt S(d/e) kann direkt aus der Scheitelpunktform abgelesen werden.

Example: Für y = -3(x-2)² + 3 ist der Scheitelpunkt S(2/3)

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist: y = ax² + bx + c

Vocabulary: Normalform quadratische Funktion - Eine andere Bezeichnung für die allgemeine Form.

Um von der Scheitelpunktform in die Normalform zu gelangen:

  1. Klammer ausmultiplizieren
  2. Terme zusammenfassen

Example: Scheitelpunktform in Normalform: y = (x-3)² + 1 = x² - 6x + 9 + 1 = x² - 6x + 10

Nullstellen berechnen:

  1. Funktion null setzen
  2. Je nach Form die passende Lösungsmethode wählen

Highlight: Die p-q-Formel ist ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Nullstellen: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

lineare Funktionen
Definition: Jedem x-Wert wird ein
y-Wert zugeordnet.
→aufstellen
Steigung
f(x) = mx + b
einzeichnen
-2
2-
-1 10
4
3
Werte

Öffnen

Graphische Interpretation quadratischer Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die graphische Darstellung und Interpretation quadratischer Funktionen.

Definition: Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Eigenschaften der Parabel basierend auf der Funktion:

  • a > 0: nach oben geöffnet
  • a < 0: nach unten geöffnet
  • |a| > 1: schmaler als Normalparabel
  • 0 < |a| < 1: breiter als Normalparabel

Example: y = 1/2(x - 7)² - 3,5

  • Nach unten geöffnet (a < 0)
  • Breiter als Normalparabel (0 < |a| < 1)
  • Nach rechts und unten verschoben

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

  • y-Achse: Setze x = 0 in die Funktionsgleichung ein
  • x-Achse: Löse f(x) = 0

Highlight: Die Schnittpunkte mit den Achsen liefern wichtige Informationen über den Verlauf der Funktion.

Example: Schnittpunkte berechnen für y = -0,5x + 3

  • y-Achse: Sy(0/3)
  • x-Achse: 0 = -0,5x + 3 → x = 6, Sx(6/0)

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über lineare und quadratische Funktionen, ihre Darstellungsformen und wichtige Berechnungsmethoden.

lineare Funktionen
Definition: Jedem x-Wert wird ein
y-Wert zugeordnet.
→aufstellen
Steigung
f(x) = mx + b
einzeichnen
-2
2-
-1 10
4
3
Werte

Öffnen

Umwandlung zwischen Funktionsformen

Dieser Abschnitt behandelt die Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen quadratischer Funktionen.

Highlight: Die Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform ist eine wichtige Fähigkeit.

Schritte zur Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform:

  1. Quadratische Ergänzung durchführen
  2. Zweite binomische Formel anwenden
  3. Terme umstellen

Example: Normalform in Scheitelpunktform: f(x) = x² - 4x + 8 = (x² - 4x + 4) - 4 + 8 = (x - 2)² + 4

Vocabulary: Quadratische Ergänzung - Eine Methode zur Umformung quadratischer Ausdrücke.

Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion: y = (x - m)(x - n)

Dabei sind m und n die Nullstellen der Funktion.

Highlight: Die faktorisierte Form ist besonders nützlich zur Bestimmung der Nullstellen.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Lineare und Quadratische Funktionen leicht gemacht - Steigung berechnen und mehr

user profile picture

Lost._.Lorenzchen

@lost._.lorenzchen_813b60

·

72 Follower

Follow

Dieser Leitfaden erklärt die Grundlagen linearer und quadratischer Funktionen für Schüler:

  • Erläutert Darstellungsarten, Steigungsberechnung und Funktionsgleichungen linearer Funktionen
  • Behandelt Scheitelpunktform, Normalform und Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen
  • Enthält Beispiele, Formeln und Erklärungen zu wichtigen Konzepten wie Steigungsdreieck und Scheitelpunkt

14.10.2021

2714

 

10

 

Mathe

163

lineare Funktionen
Definition: Jedem x-Wert wird ein
y-Wert zugeordnet.
→aufstellen
Steigung
f(x) = mx + b
einzeichnen
-2
2-
-1 10
4
3
Werte

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Lineare Funktionen und Steigungsberechnung

Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen linearer Funktionen und wie man ihre Steigung berechnet.

Definition: Eine lineare Funktion ordnet jedem x-Wert einen y-Wert zu.

Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet:

f(x) = mx + b

Dabei ist:

  • m die Steigung
  • b der y-Achsenabschnitt

Highlight: Die Steigung berechnen lineare Funktion ist ein zentrales Konzept. Sie kann mit der Formel m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) berechnet werden.

Darstellungsarten linearer Funktionen:

  1. Graphen
  2. Gleichungen
  3. Wertetabellen
  4. Verbale Beschreibungen

Example: Um eine lineare Funktion zu zeichnen:

  1. y-Achsenabschnitt b einzeichnen
  2. Vorzeichen von m beachten (+ steigend, - fallend)
  3. Steigung m einzeichnen
  4. Punkte verbinden

Vocabulary: Steigungsdreieck - Ein Hilfsmittel zur grafischen Darstellung der Steigung einer linearen Funktion.

Zur Bestimmung von Steigung und y-Achsenabschnitt aus einem Graphen:

  1. y-Achsenabschnitt b ablesen
  2. Steigungsdreieck nutzen
  3. Von b eine Einheit zur Seite und entsprechend viele nach oben/unten bis zum Graphen

Example: Lineare Funktion Steigung berechnen mit 2 Punkten: Gegeben: A(2/1), B(6/4) m = (4-1) / (6-2) = 3/4 = 0,75

lineare Funktionen
Definition: Jedem x-Wert wird ein
y-Wert zugeordnet.
→aufstellen
Steigung
f(x) = mx + b
einzeichnen
-2
2-
-1 10
4
3
Werte

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Quadratische Funktionen und Scheitelpunktform

Dieser Abschnitt behandelt quadratische Funktionen und ihre verschiedenen Darstellungsformen.

Definition: Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet: y = a(x-d)² + e

Dabei ist:

  • a der Streckfaktor
  • d die Verschiebung auf der x-Achse
  • e die Verschiebung auf der y-Achse

Highlight: Der Scheitelpunkt S(d/e) kann direkt aus der Scheitelpunktform abgelesen werden.

Example: Für y = -3(x-2)² + 3 ist der Scheitelpunkt S(2/3)

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist: y = ax² + bx + c

Vocabulary: Normalform quadratische Funktion - Eine andere Bezeichnung für die allgemeine Form.

Um von der Scheitelpunktform in die Normalform zu gelangen:

  1. Klammer ausmultiplizieren
  2. Terme zusammenfassen

Example: Scheitelpunktform in Normalform: y = (x-3)² + 1 = x² - 6x + 9 + 1 = x² - 6x + 10

Nullstellen berechnen:

  1. Funktion null setzen
  2. Je nach Form die passende Lösungsmethode wählen

Highlight: Die p-q-Formel ist ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Nullstellen: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

lineare Funktionen
Definition: Jedem x-Wert wird ein
y-Wert zugeordnet.
→aufstellen
Steigung
f(x) = mx + b
einzeichnen
-2
2-
-1 10
4
3
Werte

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Graphische Interpretation quadratischer Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die graphische Darstellung und Interpretation quadratischer Funktionen.

Definition: Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Eigenschaften der Parabel basierend auf der Funktion:

  • a > 0: nach oben geöffnet
  • a < 0: nach unten geöffnet
  • |a| > 1: schmaler als Normalparabel
  • 0 < |a| < 1: breiter als Normalparabel

Example: y = 1/2(x - 7)² - 3,5

  • Nach unten geöffnet (a < 0)
  • Breiter als Normalparabel (0 < |a| < 1)
  • Nach rechts und unten verschoben

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

  • y-Achse: Setze x = 0 in die Funktionsgleichung ein
  • x-Achse: Löse f(x) = 0

Highlight: Die Schnittpunkte mit den Achsen liefern wichtige Informationen über den Verlauf der Funktion.

Example: Schnittpunkte berechnen für y = -0,5x + 3

  • y-Achse: Sy(0/3)
  • x-Achse: 0 = -0,5x + 3 → x = 6, Sx(6/0)

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über lineare und quadratische Funktionen, ihre Darstellungsformen und wichtige Berechnungsmethoden.

lineare Funktionen
Definition: Jedem x-Wert wird ein
y-Wert zugeordnet.
→aufstellen
Steigung
f(x) = mx + b
einzeichnen
-2
2-
-1 10
4
3
Werte

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Umwandlung zwischen Funktionsformen

Dieser Abschnitt behandelt die Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen quadratischer Funktionen.

Highlight: Die Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform ist eine wichtige Fähigkeit.

Schritte zur Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform:

  1. Quadratische Ergänzung durchführen
  2. Zweite binomische Formel anwenden
  3. Terme umstellen

Example: Normalform in Scheitelpunktform: f(x) = x² - 4x + 8 = (x² - 4x + 4) - 4 + 8 = (x - 2)² + 4

Vocabulary: Quadratische Ergänzung - Eine Methode zur Umformung quadratischer Ausdrücke.

Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion: y = (x - m)(x - n)

Dabei sind m und n die Nullstellen der Funktion.

Highlight: Die faktorisierte Form ist besonders nützlich zur Bestimmung der Nullstellen.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.