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Exponentialfunktion

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18. Sept. 2022

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2 Seiten

Logarithmus und Exponentialfunktion: Aufgaben, Lösungen und Regeln

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Amélie

@amliekm

Exponentialfunktionen und Logarithmen: Grundlagen und Anwendungen

Exponentialfunktionen und Logarithmen sind... Mehr anzeigen

f(x) = ($) * fallende Exponential- funktion, da die Basis bea Die Graphen schneiden die y-achse im Punkt Sy (014) -$ Exponential/logaritkare

Anwendungen und Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen finden in vielen Bereichen Anwendung, insbesondere bei der Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Ein klassisches Beispiel ist der Abbau von Substanzen im Körper.

Example: Beim Koffeinabbau im Körper nimmt die Konzentration stündlich um 15% ab. Bei einem Anfangswert von 40 mg lässt sich dies durch die Funktion fxx = 40 · 0,85^x beschreiben.

Die Monotonie ist eine wichtige Eigenschaft von Exponentialfunktionen:

  • Eine Funktion f ist monoton wachsend, wenn für alle a < b stets faa < fbb gilt.
  • Eine Funktion f ist monoton fallend, wenn für alle a < b stets faa > fbb gilt.

Definition: Eine exponentielle Abnahme liegt vor, wenn der Wachstumsfaktor b < 1 ist. Je kleiner b, desto stärker die Abnahme.

Definition: Ein exponentielles Wachstum liegt vor, wenn der Wachstumsfaktor b > 1 ist. Je größer b, desto stärker das Wachstum.

Bei der Analyse von Wachstumsprozessen ist die Verdopplungszeit oft von Interesse. Sie gibt an, nach welcher Zeit sich eine Größe verdoppelt hat.

Highlight: Die Wachstumsrate und der Wachstumsfaktor hängen direkt zusammen. Bei einer prozentualen Abnahme von 15% beträgt der Wachstumsfaktor 100% - 15% = 85% = 0,85.

Für die Lösung von Exponentialfunktion Logarithmus Aufgaben ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Exponentialfunktion zu verstehen. Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, was bei der Umwandlung von Gleichungen nützlich ist.

Vocabulary: Der Logarithmus ist der Exponent, zu dem eine Basis potenziert werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten.

Für komplexere Berechnungen kann ein Exponentialfunktion Logarithmus Rechner hilfreich sein, insbesondere wenn es darum geht, eine Exponentialfunktion in eine Logarithmusfunktion umzuwandeln oder umgekehrt.

f(x) = ($) * fallende Exponential- funktion, da die Basis bea Die Graphen schneiden die y-achse im Punkt Sy (014) -$ Exponential/logaritkare

Grundlagen der Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind eine wichtige Klasse mathematischer Funktionen, die in vielen Bereichen Anwendung finden. Sie haben die allgemeine Form fxx = a · b^x + c, wobei a, b und c Parameter sind, die den Verlauf der Funktion bestimmen.

Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form fxx = a · b^x + c, wobei b > 0 und b ≠ 1.

Die Graphen von Exponentialfunktionen haben charakteristische Eigenschaften:

  • Sie schneiden die y-Achse im Punkt S_y0∣a+c0|a+c
  • Die x-Achse ist eine Asymptote für b > 1
  • Für b > 1 liegt eine wachsende, für 0 < b < 1 eine fallende Exponentialfunktion vor

Highlight: Der Parameter b bestimmt, ob die Funktion wächst b>1b > 1 oder fällt 0<b<10 < b < 1. Je weiter b von 1 entfernt ist, desto stärker ist das Wachstum bzw. der Zerfall.

Die Parameter a und c beeinflussen ebenfalls den Graphen:

  • a > 0 streckt oder staucht den Graphen in Richtung der y-Achse
  • a < 0 spiegelt den Graphen zusätzlich an der x-Achse
  • c verschiebt den Graphen entlang der y-Achse

Example: fxx = 2 · 3^x ist eine wachsende Exponentialfunktion, da die Basis 3 > 1 ist.

Exponentielles Wachstum und Zerfallsmodelle

Exponentialfunktionen eignen sich hervorragend zur Modellierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Die allgemeine Gleichung für exponentielles Wachstum lautet:

Att = A_0 · 1+p/1001 + p/100^t

Dabei ist:

  • A_0 der Startwert
  • p die prozentuale Wachstumsrate
  • t die Anzahl der verstrichenen Zeitabschnitte

Vocabulary: Wachstumsrate ist der prozentuale Zuwachs pro Zeiteinheit.

Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist die Zinseszinsrechnung:

Ktt = K_0 · 1+p/1001 + p/100^t

Hier steht K_0 für das Startkapital und p für den konstanten Jahreszinssatz.

Example: Bei einem Startkapital von 1000€ und einem Jahreszinssatz von 2% ergibt sich nach 5 Jahren: K55 = 1000 · 1+0,021 + 0,02^5 ≈ 1104,08€



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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Amélie

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Exponentialfunktionen und Logarithmen: Grundlagen und Anwendungen

Exponentialfunktionen und Logarithmen sind fundamentale mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen. Sie beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse in Natur und Wirtschaft.

  • Exponentialfunktionen haben die Form f(x) = a · b^x + c
  • Logarithmensind die Umkehrfunktionen... Mehr anzeigen

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Anwendungen und Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen finden in vielen Bereichen Anwendung, insbesondere bei der Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Ein klassisches Beispiel ist der Abbau von Substanzen im Körper.

Example: Beim Koffeinabbau im Körper nimmt die Konzentration stündlich um 15% ab. Bei einem Anfangswert von 40 mg lässt sich dies durch die Funktion fxx = 40 · 0,85^x beschreiben.

Die Monotonie ist eine wichtige Eigenschaft von Exponentialfunktionen:

  • Eine Funktion f ist monoton wachsend, wenn für alle a < b stets faa < fbb gilt.
  • Eine Funktion f ist monoton fallend, wenn für alle a < b stets faa > fbb gilt.

Definition: Eine exponentielle Abnahme liegt vor, wenn der Wachstumsfaktor b < 1 ist. Je kleiner b, desto stärker die Abnahme.

Definition: Ein exponentielles Wachstum liegt vor, wenn der Wachstumsfaktor b > 1 ist. Je größer b, desto stärker das Wachstum.

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Highlight: Die Wachstumsrate und der Wachstumsfaktor hängen direkt zusammen. Bei einer prozentualen Abnahme von 15% beträgt der Wachstumsfaktor 100% - 15% = 85% = 0,85.

Für die Lösung von Exponentialfunktion Logarithmus Aufgaben ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Exponentialfunktion zu verstehen. Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, was bei der Umwandlung von Gleichungen nützlich ist.

Vocabulary: Der Logarithmus ist der Exponent, zu dem eine Basis potenziert werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten.

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Grundlagen der Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind eine wichtige Klasse mathematischer Funktionen, die in vielen Bereichen Anwendung finden. Sie haben die allgemeine Form fxx = a · b^x + c, wobei a, b und c Parameter sind, die den Verlauf der Funktion bestimmen.

Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form fxx = a · b^x + c, wobei b > 0 und b ≠ 1.

Die Graphen von Exponentialfunktionen haben charakteristische Eigenschaften:

  • Sie schneiden die y-Achse im Punkt S_y0∣a+c0|a+c
  • Die x-Achse ist eine Asymptote für b > 1
  • Für b > 1 liegt eine wachsende, für 0 < b < 1 eine fallende Exponentialfunktion vor

Highlight: Der Parameter b bestimmt, ob die Funktion wächst b>1b > 1 oder fällt 0<b<10 < b < 1. Je weiter b von 1 entfernt ist, desto stärker ist das Wachstum bzw. der Zerfall.

Die Parameter a und c beeinflussen ebenfalls den Graphen:

  • a > 0 streckt oder staucht den Graphen in Richtung der y-Achse
  • a < 0 spiegelt den Graphen zusätzlich an der x-Achse
  • c verschiebt den Graphen entlang der y-Achse

Example: fxx = 2 · 3^x ist eine wachsende Exponentialfunktion, da die Basis 3 > 1 ist.

Exponentielles Wachstum und Zerfallsmodelle

Exponentialfunktionen eignen sich hervorragend zur Modellierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Die allgemeine Gleichung für exponentielles Wachstum lautet:

Att = A_0 · 1+p/1001 + p/100^t

Dabei ist:

  • A_0 der Startwert
  • p die prozentuale Wachstumsrate
  • t die Anzahl der verstrichenen Zeitabschnitte

Vocabulary: Wachstumsrate ist der prozentuale Zuwachs pro Zeiteinheit.

Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist die Zinseszinsrechnung:

Ktt = K_0 · 1+p/1001 + p/100^t

Hier steht K_0 für das Startkapital und p für den konstanten Jahreszinssatz.

Example: Bei einem Startkapital von 1000€ und einem Jahreszinssatz von 2% ergibt sich nach 5 Jahren: K55 = 1000 · 1+0,021 + 0,02^5 ≈ 1104,08€

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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