Grundlagen der Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen sind eine wichtige Klasse mathematischer Funktionen, die in vielen Bereichen Anwendung finden. Sie haben die allgemeine Form f(x) = a · b^x + c, wobei a, b und c Parameter sind, die den Verlauf der Funktion bestimmen.
Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form f(x) = a · b^x + c, wobei b > 0 und b ≠ 1.
Die Graphen von Exponentialfunktionen haben charakteristische Eigenschaften:
- Sie schneiden die y-Achse im Punkt S_y(0|a+c)
- Die x-Achse ist eine Asymptote für b > 1
- Für b > 1 liegt eine wachsende, für 0 < b < 1 eine fallende Exponentialfunktion vor
Highlight: Der Parameter b bestimmt, ob die Funktion wächst (b > 1) oder fällt (0 < b < 1). Je weiter b von 1 entfernt ist, desto stärker ist das Wachstum bzw. der Zerfall.
Die Parameter a und c beeinflussen ebenfalls den Graphen:
- a > 0 streckt oder staucht den Graphen in Richtung der y-Achse
- a < 0 spiegelt den Graphen zusätzlich an der x-Achse
- c verschiebt den Graphen entlang der y-Achse
Example: f(x) = 2 · 3^x ist eine wachsende Exponentialfunktion, da die Basis 3 > 1 ist.
Exponentielles Wachstum und Zerfallsmodelle
Exponentialfunktionen eignen sich hervorragend zur Modellierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Die allgemeine Gleichung für exponentielles Wachstum lautet:
A(t) = A_0 · (1 + p/100)^t
Dabei ist:
- A_0 der Startwert
- p die prozentuale Wachstumsrate
- t die Anzahl der verstrichenen Zeitabschnitte
Vocabulary: Wachstumsrate ist der prozentuale Zuwachs pro Zeiteinheit.
Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist die Zinseszinsrechnung:
K(t) = K_0 · (1 + p/100)^t
Hier steht K_0 für das Startkapital und p für den konstanten Jahreszinssatz.
Example: Bei einem Startkapital von 1000€ und einem Jahreszinssatz von 2% ergibt sich nach 5 Jahren: K(5) = 1000 · (1 + 0,02)^5 ≈ 1104,08€
