Exponential- und Trigonometrische Funktionen: Klausuraufgaben

Exponentialfunktionen aufstellen und analysieren

Exponentialfunktionen haben die Form f$t$ = a · b^t, wobei a der Anfangswert und b die Basis ist. Bei Wachstumsfunktionen ist b > 1, bei Zerfallsfunktionen 0 < b < 1.

Bei einer Wachstumsrate von 7% beträgt die Basis b = 1,07, die vollständige Gleichung lautet dann f$t$ = 2,5 · 1,07^t. Bei einer Zerfallsrate von 5% ist b = 0,95, also g$t$ = 12 · 0,95^t.

Um Exponentialfunktionen aufzustellen, wenn zwei Punkte bekannt sind, kannst du den Quotienten der y-Werte bilden, um b zu ermitteln. Mit b kannst du dann a berechnen. Für Schnittpunkte zwischen zwei Exponentialfunktionen setzt du f$x$ = g$x$ und löst nach x auf.

Merke: Bei exponentiellen Wachstums- oder Zerfallsprozessen kannst du die Basis b immer durch b = 1 + p (bei Wachstum) oder b = 1 - p (bei Zerfall) berechnen, wobei p die Wachstums- bzw. Zerfallsrate ist.

Exponentialfunktionen in Anwendungsaufgaben

Exponentialfunktionen eignen sich hervorragend, um Wertverlust zu modellieren. Bei einem jährlichen Wertverlust von 18% beträgt die Basis b = 0,82, bei 20% ist b = 0,8.

Der Unterschied zwischen exponentiellem und linearem Wertverlust ist deutlich sichtbar, wenn man beide grafisch darstellt. Bei linearem Wertverlust sinkt der Wert gleichmäßig um denselben Betrag (z.B. 8.500 € pro Jahr), während er bei exponentiellem Wertverlust prozentual abnimmt.

Bei exponentiellem Wertverlust nähert sich der Wert asymptotisch dem Wert Null an, ohne ihn je zu erreichen. Bei linearem Wertverlauf gibt es einen Nullpunkt, bei dem der Wert auf Null sinkt.

Tipp: Um den Zeitpunkt zu berechnen, zu dem ein bestimmter Wert erreicht wird, löse die Gleichung f$t$ = Zielwert nach t auf. Bei Exponentialfunktionen musst du Logarithmen verwenden!

Nachweis und Modellierung exponentiellen Wachstums

Um zu prüfen, ob ein Wachstumsprozess exponentiell ist, kannst du den Quotiententest anwenden. Teile aufeinanderfolgende Messwerte und prüfe, ob der Quotient konstant ist.

Bei exponentiellem Wachstum ergeben alle Quotienten aufeinanderfolgender Messwerte den gleichen Wert, der der Basis b entspricht. Wenn die Quotienten annähernd gleich sind, liegt ein exponentielles Wachstum vor.

Manche Wachstumsprozesse sind durch komplexere Gleichungen beschrieben, wie zum Beispiel bei beschränktem Wachstum. Hier nähert sich der Wachstumsprozess einem Maximalwert an, den er nicht überschreiten kann.

Gut zu wissen: Bei der Modellierung realer Prozesse kommt es oft zu Abweichungen zwischen den tatsächlichen Messwerten und dem mathematischen Modell. Die prozentuale Abweichung kannst du berechnen, um die Qualität deines Modells zu beurteilen.

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen haben die Form f$x$ = a · sin$b(x-c)$ + d oder g$x$ = a · cos$b(x-c)$ + d. Dabei ist:

• a: die Amplitude
• b: bestimmt die Periodenlänge (Periode = 2π/b)
• c: horizontale Verschiebung
• d: vertikale Verschiebung

Die Nullstellen von Sinusfunktionen lassen sich systematisch berechnen. Bei f$x$ = sin$x$ liegen sie bei x = k · π (k ∈ ℤ).

Der Wertebereich einer Sinus- oder Kosinusfunktion hängt von der Amplitude a und der vertikalen Verschiebung d ab. Für f$x$ = a · sin$x$ + d ist der Wertebereich $d-a; d+a$.

Beachte: Bei trigonometrischen Funktionen ist es oft hilfreich, einen Graphen zu zeichnen, um wichtige Eigenschaften wie Nullstellen, Extremwerte und Periodizität zu visualisieren. Skizziere mindestens eine vollständige Periode!