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Logarithmusfunktion
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Emily
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3+4=7 160 1 40 105 55 Bildquelle 1 P A₂ 2 Алисс A2+6=0 2/2 A3 = 4.6 Logarithmusfunktion U A₂ 5 4 2x-3 3 4x − x² + 2x²+x²−1 ) : (x² + 1) = 4x ³-X ²+2 Y X+1 A P₁= (3) b in X B Von ул # Y: 4 90⁰ X 6x + 3-1 + 2x=-(4-2x) +X-²7 6x+3-1+2x=8x +X-7 Inhaltsverzeichnis ● ● ● Logarithmusfunktion • Arten der Logarithmusfunktion ● Eigenschaften von Logarithmusfunktionen Graphische Darstellung ● ● Historischer Hintergrund Logarithmus in der Mathematik ● • Logarithmusfunktionen außerhalb der Mathematik ● Beipiele: ● ● ● Umstellen Produktregel Quotientenregel Potenzregel Komplette Rechnung Bildquelle 2 Historischer Hintergrund • 2. Jh. V. Chr. Indische Mathematiker entwickelten Art der Logarithmen • Entwicklung der Rechenvorgänge -> Logarithmen John Napier (1550 bis 1617) Bildquelle 3 Bildquelle 4 ● Mit Henry Briggs 1614 „Mirifici logarithmorum canonis" • Von griechischen Begriff logós (Lehre/Verständnis) und arithmós (Zahl) Caspar Peucer Commentarius: „logarithmanteia" • Schnell in die Wissenschaft und wichtiges Hilfsmittel ● für Forscher Laplace 200 Jahre nach Napier: Logarithmen verdoppeln Leben jedes Astronomen Bildquelle 5 ARITHMETICA LOGARITHMICA SIVE LOGARITHMORVM CHILIADES TRIGINTA, PRO numeris naturali ferie crefcentibus ab vnitate ad 10,000: 90,000 ad 100,000. Quorum ope multa perficiuntur Arithmetica problemata er Gopmerica HOS NV MER OS PRIMVS INVENIT CLARISSIMVS VIR IOHANNES NEPERVS Baro Merchiftonij: cos autem ex ciufdem fententia mutavit, eorumque ortom er vfem illallravit Hanstevs Baronirs, in celcbearia Academia Oxoniensi Geousetrite S profeffo SAVALLARTE DEVS NOBIS VSVRAM VITE DEDIT ET INGENLI, TANQVAM PECYNIE, NVLLA PRESTITVTA DIE. LONDINI, Excudebat G VLIELM VS IONES. 1634 Bildquelle 6 Logarithmus in der Mathematik Irgendwas* = Zahl • Logirgendwas (Zahl) 100 -> log₁0 (100) = 2 10 -> log₂ (8) = 3 10² = 100 2³ = 8. Taschenrechner ,,log" = log10 ,,In" = loge „In“ Logarithmusfunktion Basis wird festgelegt • Wird geguckt welche x beliebige Zahl ausgerechnet werden kann Funktion zu...
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Log10(x) ● Y- wert 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1 0,301029996 2 0,477121255 3 0,602059991 x-Wert 4 0,698970004 5 0,77815125 6 Arten der Logarithmusfunktion Natürlicher Logarithmus Loge = In Basis ist e Ln(x) = y Logarithmus duales Log₂ = Id Basis immer 2 Häufig verwendet Nicht definierter Logarithmus Loga (0) = n.d. Grund: ax #0 Eigenschaften von Logarithmusfunktionen ● y = log x Umkehrfunktion = Exponentialfunktion • Exponentialfunktion y = a* ● Verschiedene Logarithmusfunktionen der Form y = logox mehrere Gemeinsamkeiten -5 Graphische Darstellung Bildquelle 7 5 to 5 Inx X 10 у. f(x) = log₂x h(x) = In x g(x) = log₁0x (110) Bildquelle 8 k(x) = log x 0.5 X Bereiche Logarithmus außerhalb der Mathematik • Schalldruckpegel • Helligkeitsempfindlichkeit ● pH-Wert Richterskala • Sternhelligkeit So und Pressure Level (dB SPL) 130 120 110 40 -10 URSC LHZ URSO LHN URSC LHE 10 100 1000 10k EquaHloudness contours (red) (from ISO 220:2003 revision) Original ISO standard shown (blue) for 40-phons Bildquelle 9 10. 15. 20. 83 87 22: 0:56.08 /coin 4/shift (estimated 100 phon Bildquelle 10 (threshold) Time (min) 100k Absolute amp Dlat 71.14 Amm 41.05 h 21 km Wachstums- und Zerfallprozesse • Kryptographie ● Logarithmische Zeitskalen Intervalle der Musiktheorie • Logarithmische Spirale Intervall 1 Oktave 2 Oktaven 3 Oktaven k Oktaven log2(q) Oktaven kleine Terz große Terz Quarte Quinte Frequenzverhältnis 2 4 8 y-Achse 2k q 6/5 514 312 Bildquelle 11 413 Logarithmische Spirale 50 40 30 20 10 20 30 40⁰ 50 40-30-20-10 0 10 20 30 40 50 60 tet Bildquelle 12 Größe 1200 Cent 2400 Cent 3600 Cent 1200 log₂(q) Cent 1200 log2 (65) Cent = 315,641 Cent 1200 log2 (54) Cent = 386,314 Cent 1200 log2(4/3) Cent = 498,045 Cent 1200 log2(3/2) Cent=701,955 Cent x-Achse 1200-k Cent Beispielaufgaben: Umstellen • Zur Erinnerung: a = b 3 1.5³ = 125 log5 (125) = 3 2.3-4 = log3 1 81 Log₂b = n 1 ²-) = −4 81 Beispielaufgaben: Logarithmusgesetze Produktregel 1. log3 (9.81) = x X = log3 (9) + log3 (81) x = 6 Allgemeinformel: log, (PQ) = logħ(P) + logb(Q) Beispielaufgaben: Logarithmusgesetze Quotientenregel 32 2. log₂ = X 1024 x = log₂ (32) = log₂ (1024) — x = -5 Allgemeinformel: log, (+) = log, (P) – log, (Q) Beispielaufgaben: Logarithmusgesetze Potenzregel 2 3. log7 7² = x x = 2.log7 7 x = 2 Allgemeinformel: logħ(P") = n.log(P) Beispielaufgaben: Logarithmusfunktion log₁1(x² +40) = 2x² + 40 = 11² x² + 40 = 11² x² + 40 = 121 |-40 2 x² = 81 2 +√81 = 9 -√81 = -9 x₁ = +√81 X1 X2 L = (-9,9) Bildquellen ● ● https://pixers.de/duschvorhange/mathe-formeln-auf-tafel-hintergrund-87852187 https://www.mystipendium.de/studium/vorwort-bachelorarbeit https://www.thenational.scot/news/17539648.maths-skills-john-napier-added-historic-invention/ https://pin.it/7HUOINO https://www.lightcliffehistory.org.uk/topics/60-henry-briggs-mathematician https://alchetron.com/Henry-Briggs-(mathematician) https://en.wikipedia.org/wiki/Caspar_Peucer https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursmathe/html/1.6.4/xcontent3.html https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Lindos1.svg/260px-Lindos1.svg.png https://www.wissen.de/sites/default/files/wissensserver/styles/small/wissensserver/jadis/incoming/566391.jpeg?itok=9WrTRWpO https://kilchb.de/wp/003.gif http://mathphys-online.de/logarithmische-spirale/ Textquellen ● https://www.studienkreis.de/mathematik/logarithmus-definition-beispiele/ https://www.studienkreis.de/mathematik/logarithmusgesetze-uebersicht/ https://www.mathebibel.de/logarithmusgesetze https://www.studienkreis.de/mathematik/logarithmusfunktion- erklaerung/#:~:text=Die%20Logarithmusfunktion%20hat%20eine%20Asymptote,hat%20somit%20nur%20eine%20Nullstelle. http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Geschichte http://www.matheretter.de/wiki/logarithmus-historisch