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Logarithmusfunktion
16.11.2021
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[1₂] A₂+ 6 = C 3/1/²
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4 x - x ² + 2x² + x²-1) = (x^² + 1) = ²4 x ³-X² +2× x +-1
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3+4=7 Алисс [1₂] A₂+ 6 = C 3/1/² A3 = Logarithmusfunktion 4 x - x ² + 2x² + x²-1) = (x^² + 1) = ²4 x ³-X² +2× x +-1 5 2 2x-3 Von P₁=l 1.60.1 40 105 55 Bildquelle 1 A₂ =2 А ул A. F B b y = 나 = A-90° X 6x + 3-1 + 2x - (4-2x) + x - ²7 6x+3-1+2x=8x +X-7 Inhaltsverzeichnis Historischer Hintergrund • Logarithmus in der Mathematik • Logarithmusfunktion ● • Arten der Logarithmusfunktion ● Eigenschaften von Logarithmusfunktionen • Graphische Darstellung ● Logarithmusfunktionen außerhalb der Mathematik • Beipiele: Umstellen Produktregel • Quotientenregel ● Potenzregel Komplette Rechnung Bildquelle 2 Historischer Hintergrund • 2. Jh. V. Chr. Indische Mathematiker entwickelten Art der Logarithmen • Entwicklung der Rechenvorgänge -> Logarithmen • John Napier ( 1550 bis 1617) ● Bildquelle 3 Bildquelle 4 • Mit Henry Briggs 1614 ,Mirifici logarithmorum canonis" ● • Von griechischen Begriff logós (Lehre/Verständnis) und arithmós (Zahl) Caspar Peucer Commentarius: „logarithmanteia“ • Schnell in die Wissenschaft und wichtiges Hilfsmittel für Forscher ● Laplace 200 Jahre nach Napier: Logarithmen verdoppeln Leben jedes Astronomen Bildquelle 5 ARITHMETICA LOGARITHMICA SIVE LOGARITHMORVM CHILIADES TRIGINTA, PRO numeris naturali ferie crefcentibus ab vnitate ad 20,000: 90,000 adi00,000. Quonam ope mel perficiunt Arahmetica peobicmara G HOS NVMEROS PRIMVS INVENIT CLARISSIMVS VIR IOHANNES NEPERYS Bang Merchitonij: cos autem ex ciufdem fententia mvit, caror vi avit Haters Barsity ja aldea Academia Oxonimái Grovet SAVALLARY DEVS NOBIS VSVRAM 4TE DEDIT ET INGENUI, TANQVAM PECYNIA, SULLA PRESTITVTA DIE. LONDINI, Excudebat G VLIELMVS 1ONES 1634 Bildquelle 6 Logarithmus in der Mathematik Irgendwas* = Zahl • Logirgendwas (Zahl) • 10² = 100-> log₁0 (100) = 2 • 2³ = 8. ● -> log₂ (8) = 3 Taschenrechner ,,log" = log10 ,,In" = loge „In“ Logarithmusfunktion Basis wird...
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festgelegt • Wird geguckt welche x beliebige Zahl ausgerechnet werden kann Funktion zu Log10(x) ● Y- wert 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1 0,301029996 2 0,477121255 3 0,602059991 x-Wert 0,698970004 5 0,77815125 6 Arten der Logarithmusfunktion Natürlicher Logarithmus Loge = In Basis ist e Ln(x) = y Logarithmus duales Log₂ = Id Basis immer 2 Häufig verwendet Nicht definierter Logarithmus Loga (0) = n.d. Grund: ax #0 Eigenschaften von Logarithmusfunktionen • y = logox Umkehrfunktion = Exponentialfunktion Exponentialfunktion y = ax • Verschiedene Logarithmusfunktionen der Form y = log x mehrere Gemeinsamkeiten ● ● -5 Graphische Darstellung Bildquelle 7 5 et 5 Inx X 10 y f(x) = log₂x h(x) = ln x g(x) = log 10X (110) Bildquelle 8 k(x) = log x 0.5 X Bereiche Logarithmus außerhalb der Mathematik ● ● Schalldruckpegel Helligkeitsempfindlichkeit • pH-Wert • Richterskala Sternhelligkeit Sound Pressure Level (dB SPL) 88888888889° 130 120 110 100 -10 URSO LHZ URSO LHN - URSC LHE 10 100 1000 10k Equatloudness contours (red) (from 150 220 2003 revision) Original ISO standard shown (blue) tor 40-phons Bildquelle 9 83 87 22: 5:56.00 /coin 4/shift (estimate d 100 phon Bildquelle 10 (threshold) Time (min) 100k Absolute amp Dlat 71.14 A 41.05 h 21 km • Wachstums- und Zerfallprozesse ● • Kryptographie • Logarithmische Zeitskalen • Intervalle der Musiktheorie • Logarithmische Spirale ● Intervall 1 Oktave 2 Oktaven 3 Oktaven k Oktaven log₂(q) Oktaven kleine Terz große Terz Quarte Quinte Frequenzverhältnis 2 4 8 y-Achse 2k q 615 51A 4/3 312 Bildquelle 11 Logarithmische Spirale 50 40-30-20 40 30 20 10 20 30 10 0 10 20 30 40 50 60 TO 40 50 1200-k Cent 1200-log₂(q) Cent 1200-log2 (65) Cent = 315,641 Cent 1200-log2 (54) Cent = 386,314 Cent 1200-log2 (4/3) Cent = 498,045 Cent 1200-log₂ (3/2) Cent = 701,955 Cent Bildquelle 12 Größe 1200 Cent 2400 Cent 3600 Cent x-Achse Beispielaufgaben: Umstellen ● • Zur Erinnerung: an = b 1.5³ = = 125 log5 (125) = 3 1 81 logą (-) = 2.3-4 = Log b = n = −4 Beispielaufgaben: Logarithmusgesetze Produktregel 1. log3 (9.81) = X X = log3 (9) + log3 (81) x = 6 Allgemeinformel: logb(PQ) = logħ(P) + logb(Q) Beispielaufgaben: Logarithmusgesetze Quotientenregel 32 2. log2 1024 x = log₂ (32) - log₂ (1024) x = -5 X Allgemeinformel: P logb () = log, (P) – log, (Q) Beispielaufgaben: Logarithmusgesetze Potenzregel 3. log7 7² = = X x = 2.log7 7 x = 2 Allgemeinformel: log, (P") = n · log(P) Beispielaufgaben: Logarithmusfunktion log₁1(x² +40) = 2 ↔ x² + 40 = 11² x² + 40 = = 11² x² + 40 = 121 -40 x² = 81 x₁ = +√81 = 9 x₂ = -√√81 = -9 L = (-9,9) Bildquellen ● https://pixers.de/duschvorhange/mathe-formeln-auf-tafel-hintergrund-87852187 https://www.mystipendium.de/studium/vorwort-bachelorarbeit https://www.thenational.scot/news/17539648.maths-skills-john-napier-added-historic-invention/ https://pin.it/7HUOINO https://www.lightcliffehistory.org.uk/topics/60-henry-briggs-mathematician https://alchetron.com/Henry-Briggs-(mathematician) https://en.wikipedia.org/wiki/Caspar_Peucer https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursmathe/html/1.6.4/xcontent3.html https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Lindos1.svg/260px-Lindos1.svg.png https://www.wissen.de/sites/default/files/wissensserver/styles/small/wissensserver/jadis/incoming/566391.jpeg?itok=9WrTRWpO https://kilchb.de/wp/003.gif http://mathphys-online.de/logarithmische-spirale/ Textquellen ● https://www.studienkreis.de/mathematik/logarithmus-definition-beispiele/ https://www.studienkreis.de/mathematik/logarithmusgesetze-uebersicht/ https://www.mathebibel.de/logarithmusgesetze https://www.studienkreis.de/mathematik/logarithmusfunktion- erklaerung/#:~:text=Die%20Logarithmusfunktion%20hat%20eine%20Asymptote, hat%20somit%20nur%20eine%20Nullstelle. http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Geschichte http://www.matheretter.de/wiki/logarithmus-historisch