Bestimmung ganzrationaler Funktionen und Funktionen mit Parametern

Die dritte Seite behandelt fortgeschrittene Themen der Analysis, insbesondere die Bestimmung ganzrationaler Funktionen und den Umgang mit Funktionen, die Parameter enthalten.

Zunächst wird eine Strategie zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen vorgestellt:

1. Festlegung des Grades der Funktion
2. Aufstellen von Gleichungen aus gegebenen Informationen
3. Lösen des linearen Gleichungssystems
4. Notieren und Kontrollieren der Funktionsgleichung

Beispiel: Für eine quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c mit den Punkten A(-1|0), B(0|-1) und C(1|0) ergibt sich f(x) = x² - 1.

Anschließend werden Funktionen mit Parametern und deren Untersuchung behandelt:

Definition: Eine Funktionsschar entsteht, wenn ein Funktionsterm neben der Variablen x noch einen Parameter a enthält.

Es wird erklärt, wie die Koordinaten charakteristischer Punkte des Graphen einer Funktionsschar vom Parameter abhängen können.

Zuletzt wird das Konzept der Ortskurve eingeführt:

Highlight: Die Ortskurve beschreibt den geometrischen Ort aller Punkte, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.

Diese fortgeschrittenen Konzepte sind oft Teil der Mathe Abitur NRW Aufgaben mit Lösungen PDF und können in Mathe LK Abitur NRW Aufgaben vorkommen.

Gemeinsame Punkte einer Funktionenschar

In diesem Abschnitt wird die Methode zur Bestimmung gemeinsamer Punkte einer Funktionenschar erläutert. Dies ist ein wichtiges Konzept für die Analyse von ganzrationalen Funktionen und deren Beziehungen zueinander.

Für eine Funktionenschar fa(x) = x³ - ax² - x + a gilt:

Wenn zwei Funktionen fa₁(x) und fa₂(x) einen gemeinsamen Punkt haben, dann muss gelten:

fa₁(x) = fa₂(x)

Dies führt zu der Gleichung:

x³ - a₁x² - x + a₁ = x³ - a₂x² - x + a₂

Nach Vereinfachung ergibt sich:

(a₂ - a₁)x² = a₂ - a₁

Daraus folgt:

x² = 1 oder x = ±1

Highlight: Die gemeinsamen Punkte aller Funktionen der Schar sind unabhängig vom Parameter a und liegen bei x = -1 und x = 1.

Diese Methode ist besonders nützlich, um invariante Eigenschaften einer Funktionenschar zu identifizieren und zu verstehen, wie sich verschiedene Funktionen innerhalb einer Schar zueinander verhalten.

Gemeinsame Punkte einer Funktionsschar und Integrale

Die vierte Seite behandelt die Bestimmung gemeinsamer Punkte einer Funktionsschar und führt in das Thema Integrale ein.

Zunächst wird die Methode zur Bestimmung gemeinsamer Punkte einer Funktionsschar erläutert:

1. Gleichsetzen der Funktionen für verschiedene Parameterwerte
2. Lösen der resultierenden Gleichung

Beispiel: Für die Funktionsschar fa(x) = x³ - ax² - x + a ergeben sich die gemeinsamen Punkte S1(-1|0) und S2(1|0).

Highlight: Das Ergebnis darf nicht vom Parameter a abhängen.

Anschließend wird das Konzept des Integrals eingeführt:

Definition: Das Integral ∫f(x)dx ist die Umkehrung der Ableitung und beschreibt die Fläche unter einer Kurve.

Es werden Unter- und Obersummen zur Annäherung des Integrals vorgestellt:

Beispiel: Für f(x) = x² im Intervall [0,1] ergeben sich Näherungswerte durch Unter- und Obersummen.

Zuletzt wird die Beziehung zwischen Integral und Stammfunktion erklärt:

∫f(x)dx = F(b) - F(a), wobei F(x) die Stammfunktion von f(x) ist.

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Funktionen mit Parametern und Ortskurven

Dieser Abschnitt behandelt ganzrationale Funktionen mit Parametern und die Untersuchung von Ortskurven. Diese Konzepte sind wichtig für das Verständnis von Funktionsscharen und deren Eigenschaften.

Eine Funktionsschar entsteht, wenn ein Funktionsterm neben der Variablen x auch einen Parameter a enthält. Zu jedem Wert von a gehört dann eine spezifische Funktion fa.

Beispiel: f(x) = x² + ax + a stellt eine Funktionsschar dar, wobei a der Parameter ist.

Bei der Untersuchung von Funktionsscharen hängen die Koordinaten charakteristischer Punkte (wie Extrempunkte oder Wendepunkte) oft vom Parameter a ab. Für die Berechnung dieser Punkte wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.

Ortskurven beschreiben den geometrischen Ort aller Punkte, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen.

Beispiel: Für die Funktionsschar fa(x) = x² - ax (mit a > 0) haben alle Tiefpunkte die Koordinaten Ta(2a|-1/a²).

Um die Ortskurve zu bestimmen:

1. Die x-Koordinate des Tiefpunktes nach dem Parameter umformen: x = 2a
2. Den resultierenden Term in die y-Koordinate einsetzen: y = -1/(x/2)² = -1/4 * x²

Alle Tiefpunkte liegen somit auf dem Graphen der Funktion g(x) = -1/4 * x².

Diese Konzepte sind fundamental für das tiefere Verständnis von Funktionsfamilien und deren geometrischen Eigenschaften.