Mathe Abi Zusammenfassung (Grundkurs)

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Abhängigkeiten zwischen den Variablen enthalten. 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Var- iablen abhängt. Angaben des Definitionsbereichs der Zielfunk- tion mögliche Wendestelle 4. Untersuchen der Zielfunktion auf Extremwerte unter Beachtung der Ränder des Definitionsbereichs. Auf Randwerke achten! hinreichende Bedingung (F"(x) f" (0) 60 => wendestelle y-Koordinate: f(0) = 2 => W(012) ro g(f" ( x ) * 0); A: Mit der Seitenlänge x=2 erhält man ein maximales Volumen von 144cm³. 15 GR : C 5 2 G JK 7K Jahr 11 (Q1) » Mathe LK 1.6.Ganzrationale Funktionen bestimmen Strategie zur Bestimmung ganzrationalen Funktion 1. Überlegen, welchen Grad n die ganzrationale Funktion haben sollte, und die entsprechende Funktionsgleichung mit n+11 Para- metern notiert. f(x) = ax²+bx+c 2. Aufstellen geeigneter Gleichungen mit f,f' und f" aus den vorliegenden Informationen. Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man min. n+1 Gleichungen. 3. Lösen des linearen Gleichung systems 4. Funktionsgleichung notieren und kontrollieren. S.32 Nr. 1a) Gleich setzen: => a-b-1=0 1 a+b-1=0 A Bedingungen: 1. A(-110) € Gf => F(-₁) = 0 => a. (-1)² + b⋅ (-1) + C =0 2. B(0-1) € GP => f(0) = -1 => 0·0² + b⋅ 0 + C +-1²-1 3. C(110) € G₁ => f(₁) = 0 => a: 1² + 6·1+ C =0 ^ A a-b-1=0 20 -2=0 1-6-1=0 a = 1 einer 6=0 a = 1 => F(x)=x²-1 X-2a M^ªI 1] 1+21:2 1. (-^) <> D 1.7. Funktionen mit Parametern und untersuchung Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen x noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem x den Funktionswest fa(x) zuortnet. Die Funktionen fa bilden eine Funktionsschar E(x)=x²+ax+a Die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen einer Funktionsschar hängen häufig von dem Parameter ab. Für die Berechnung der Punkte werden die Parameter der Funktion wie eine Zahl behandeln. 1.8.Ortskurve Für fa (x)=x²-x² (mit a>0) gilt Ta (2a1-1/a²) Schritt 1: X-Koordinate des Tiefpunktes nach dem Parameter umformen. Schritt 2: Einsetzen das Terms in die y-koordi- nate des Tiefpunktes y--²--²-1 2 Alle Tiefpunkte liegen auf dem Graphen der Funktion mit g(x)=-1x² g rọ Go : C 5 c JK 7K Jahr 11 (Q1) » Mathe LK (=> <=> x²(a2-a₁)= az-a₁ x²=a2-a₁ a₂-an 1.9. Gemeinsame Punkte einer Funktionen Schar mit fa(x)= x³-ax²-x+a Aus fan(x)=fa₂(x) (a₁ + a₂) folgt: x³-a₁x²-x+ a₁ = x³-a₂x²-x+Q₂ -anx²+₁ = -a₂x²+A₂ a₂x²-a₁x²-a₂-a1 FX--1 V X₂1 F(-1)=0 => S₁ (₁10) f(1) = 0 => S₂ (110) => Ergebniss darf nicht von a 2. INTEGRALE 2.1. Das Integral Untersumme F(x)=x 1 U₁=40² +4 ()²¹+4 ()²¹ 4·(Z)² ~0,2188 Das Integral f(x) dx F(x) ↓ F'(x) => für F(X) 2.2. Bestimmung aufgeleitet (f(x) x² f(x)dx= F(b)-F(a) abhängen F(x)= Stammfunktion. Ї Aufleitung Ableitung genauer X 1 F(x) x²x²x 3 2 M^ªI *-**-* Wert <> 1-x³+x 1-a₁ + a₂x² 1: (a₂-an) FS Obersumme ACXX כו 1 4 4 G Ou= · ()*+ (²)² + (2) ¹+ ².1² ≈ 0.4688 von Stammfunktionen Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung x-1 +²2² Sin(x) cos(x) -tv. -cas&x) Sin(x) 15 Jabgeleitet GR : C 5 2 JK 7K 2.3. Integral und Flächeninhalte Flächeninhalte zwischen dem Graph einer Funktion f und der x-Achse: 1. Man bestimmt die Nullstellen von f auf [a,b] 2. Man untersucht welches Vorzeichen f(x) in den Teil- intervallen hat ->liegt die Fläche im negativen Bereich müssen Betragsstriche gesetzt werden! 3. Man bestimmt die Inhalte der Teilflächen und addiert sie. Flächeninhalte zwischen den Graphen zweier Funktionen fund g: wenn f(x) = g(x) b A= (f(x)-g(x))dx ->wenn nicht bekannt ist welche Funktion größer ist müssen Betragsstriche gesetzt werden 2.4. Regeln beim Rechnen mit Integralen Ⓒfare... Score f(x)d F(x) dx F(x) dx+ f(x) dx = - f(x)dx C-f(x) dx = C. обскани босила сбестни off h(x)dx Jahr 11 (Q1) »> Mathe LK m=f(x) dx wenn: exp 3. EXPONENTIAL FUNKTIONEM 3.1. Wiederholung: Exponential funktionen F(x)=ca* (Exponential funktion) <=> e≈2,71828 f(x)=e* (natürliche Expa ↓ -a> liegt eine exponentielle Zunahme vor -a<^ liegt eine exponentielle Abnahme vor f'(x)= ex ↓ F(x)= ex Zum lösen einer Exponentialgleichung ax=b (9,630) nutzt man den Logarithmus ax=b Ilog x = loga (sprich:dogarithmus von 6 eur Basis a) 3.2. Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung ex=6 <=> x=1n (6) Be ableitung Ableitung 3.3. Natürlicher Logarithmus-Ableitung von Exponential funktionen natürliche Logarithmus=In Lowird Regeln des natürlichen Logarithmus: (n(6) A^I "=6 (n(e)=C (+ zum Lösen von natürlichen Exponentialgleichungen genutzt In(a).x ntial funktion) von Exponentialfunktionen: F(x)=a=e" (n(a).x <→ כו 'f'(x)=(n(a) e F(x)=√(a) enca)x= Incas ax s -In(a). a* aufleitung : C 5 2 JK 7K 3.4. Exponential funktionen im Sachkontext -Exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme = ein Bestand nimmt einen gleichen Wachstumsfaktor a zu Oder ab. - Bestand zum Zeitpunkt t: F(t) = f(0) at - Ableitung: Wachstumsgeschwindigkeit 3.5. Beschränktes Wachstum Beschränktes Wachstum liegt vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranks und dem Bestand zum Zeitpunkt & exponentiell litnehmen. f(t)=s.c.at C=S-F(0) Ableitung 3.6.dogarithmusfunktion und Umkehr funktion Eine Funktion f heißt umkehrbar, wenn es zu jedem y aus der Wertemenge von F x aus der Definitionsmenge von f mit f(x)=y gibt. F(x) (Umkehrfunction) f(x)=e* -> 4.2. f(x) = (n(x) ↓ f'(x) = bew. f(t)= S-C.eht k= (n(a) F(x)-In(x) ↓ natürliche Logarithmus function der natürlichen Logarithmusfunktion: u Quotient: V Verketting: 4. ZUSAMMENGESEetzte Funktionen mmengeset 4.2 Produk 4.1. Neue Funktionen aus alten Funktion: Summe, Produkt, Verkeltung u(x)= x² +1; v(x)= x-2 Summe: Utv mit (u+v)(x) = u(x)+v(x)=x²+ X-1 Differenz: U-v mit (u-v)(x)= u(x)-v(x)=x²-x+3 Produlet: U.V mit (u.v)(x)=u(x). v(x)=(x²+1)-(x-2) (~)(x) = u(x) :uov mit (uov)(x) = u(v(x)) = (x-2)²+1 F(x)=(n(x) ↑ f(x)=1/ mit mit U(X)_x²+1 X-2 Potenzgesetze a as arts "a²:a²= ar-s -a²· 6² = (a⋅6)" -(ar)s = ars (v(x) muss=0 sein) genau ein 4.2. Produktregel f(x)= u(x). v(x) F(x)= u(x f'(x) = u(x) · V(x)+ u(x) · v²(x) 4.3. Kettenregel f(x)= u(v(x)) f'(x)=u'(v(x)) v'(x) 4.4. Unter: Für x-> ∞ gilt für ne №: ersuchung von zusammengesetzten Exponential functionen ² = x². e*-> 0 Für X->-∞ gilt für gerade n EN: x^. ex-> 0 und = x^. e* ->∞ Für X->-∞ gilt für ungerade n EN: x^. e*->0 und ein = x^. e-*->-∞ (n(x) 4.5. Untersuchung von zusammengesetzen Logarithmus funktionen Für x->0 gilt für ne N₁ n » 1 : x^. (n(x) => 0 und (CA). • gilt für nEN, n²1: x^. Ln(x)-> ∞ _n(x) Für x→∞ und xe- 0 5.1.Punkte und Vektoren im Raum * X₂ à'= EXA A(x1x₂x3) analytische Gedmetele ден 5. GERADEN => Punkt und X₂ => Vektor X3 ->18 -> 0 Abstand zweier Punkte: AB=√(b₁-an)²+(b2-G₁₂) ²+ (b₂-a3)²² Koordinaten des Veltors AB: b₁-an AB-6₂-0₂ 63- as Betrag (= Länge eines Vektors: Tal-√²+₂²¹ + a₂²¹ eines Vektors) Kollineare Vektoren: 2²= (-²5) und 6 - (-40) 5.2. Geraden x=p+ru p=> Stützveltor/Ortsvektor ữ = Richtungsvektor Spurpunkte: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen X₁: S(01X₂1X3) X₂: S(x101x3) X3: S(x₁1x₂10) ja Die Geraden und h sind identisch 9. 5.3. Gegenseitige Lage von Geraden ja/ der Punkt P mit dem Ortsvektor p auf der Geraden h? Sind kollinear, da 2·à²=b² Werden in die nein Sind die Richtungsvektoren kollinear/parallel zueinander • gleichung eingesetzt Die Geraden gund h sind zueinder parallel nein Hat die Gleichung p+ru='+s eine Lösung? ja/ Die Geraden g und h schneiden sich nein Die Geraden und h sind windschief 18 5.4. Skalar produkt 6₁₁ b₂ 63 - wenn Shalar produkt = 0 => Orthognalitat a²15² wenn Skalarprodukt #0 => Winkel berechnen. 4 a. 181 161 an a.b=a₂ a3 cos (α)= 6.FRENEM benen 4 -1 1 S-31 6.1. Das Gauß-Verfahren 1. Man bringt das lineare Gleichungssystem durch Äquivalenzumforumgen auf der Stufenform schrittweise nach den Variablen Xnj...jX₂jX₁ 2. Man löst die auf. Gleichung (S.208 Nr. 7a) X₁ X₂ X3 -1 7-1 7 -1 5 027-3 5) 1.430 1.570 1 -^ ab₁+ a₂ b2+ a3b3 0 32-4 24 1-17-115 -Matrix form(Normale form auf möglich) 21 1-(-) 027-3 21 10 0-3 1-3, X3-0 X2=11 X3=2 6.2. Lösungsmengen von Gleichungssystemen 1. Das Gleichungssystem hat genow eine Lösung => Die Geraden schneiden sich 2. Das Gleichungssystem hat keine Lösung => Die Geraden sind echt parallel oder windschief 3. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen =>Die Geraden sind identisch. 6.3. Ebenen im Raum- Parameter form x=p+ru+sv Stützvektor: p Richtungsvektoren: v 7.7. Schnitwinkel 1. Gerade - Gerade: α=cos^ 2. Ebene-Ebene α-cos 10². 1 Tul·| ²1 α=sin^ 3. Gerade-Ebene Iñ• n²l √nal n₂1 In • ul Vni lữ t stochastik 8. WAHRSCHEINLICHKELT statistik makesch P(E)= 8.1. Grundlagen La Place-Experimente: Zufallsexperiment, bei dem alle Ereignisse gleichwahrscheinlich sind. Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse Gegenereigniss E: 1-PCE) Mehrstufige Zufallsexperimente: Es handelt sich um Das Baumdiagramm: Ereignisse, die durch mehrmaliges Wiederholen berechnet werden. •B P(ANB) PA) A< 1 PCBP(ANB) PCA) A PBB PCAMB) Jagikl PA (B) →B P(ANB) Zu finden: P(A); P(ANB); PA(B) Vierfelder Tafel: chkeit A A BPCANDY PAB) PCB) BP(ANB) PANE) P(B) PCA) PCA) 1.Pfadregel. Entlang eines Zweigs wird multipliziert 2. Pfadregel: Beim Sprung von Zweig zu Zweig wird addiert Bedingte Wawacheinlichkeit Ganze Wahrscheinlichkeit zu finden: PCA); P(B); PCA (B) Zufallsgröße Be und Erwahrtungswert: Zufallsgröße: Die Zahlenwerte, die den Elementen der Ergebnismenge zugeordnet sind Erwartungswert: Die Zahl, die die Zufallsgröße X im Mittel annimt Bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt zuvor A eingetreten ist. Also unter der Bedingung PA (B) = P(ANB) P(A) Zählstrategien 7!= 7.6·5·4·3·2·1=5040 n! (~)-(²²1-4² - ( 2 )= -² ₁-5: -² 7! > 21 (n-W)!.4! 2!·5! 8.2. Kenngrößen Mittelwert: X = (X₁+ X₂+ X3 +...+Xn) Standartabweichung: s=√(x₁-x)+(x₂-x)+...+(Xn-X) 8.3. Erwartungswert und Standartabweichung von Zufallsgrößen M= X₁² P(x= x^) + X₂· P(x=x₂) + ... + Xn² P(x=xn) 5=√(x₁~µ)²· P(x=x₂) + ... + (x₂ −µμ)² · P(x= x₂ )' 8.4. Bernoulli-Experimente, Binominal ve P(x=r) - Bhjp(r)= oder. alverteilung ·pr. (^-p) ^-^ Bei mehreren Zahlen mit dem Summenzeichen arbeiten. P(x«r ) - Σ Brip(u)= (2).p².(^_-pynu k=0 konstante Werte für n und p Nur ganze Zahlen für X мепр o = √n⋅p. (1-p) Vorausetzungen - Die Ergebnisse müssen unabhängig voneinander sein Es darf entweder ner Treffer oder Niele" vorkommen. A. Zufallsgröße und Erwahrtungswert: Zufallsgröße: Die Zahlenwerte, die den Elementen der Ergebnismenge zugeordnet sind Erwartungswert: Die Zahl, die die Zufallsgröße X im Mittel annimt Bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt zuvor A eingetreten ist. Also unter der Bedingung A. PA (B)= Zählstrategien 717·6·5·4·3·2·1=5040 (~) - (m. ²² (²) n! 8.2. Kenngrößen Mittelwert: P(ANB) P(A) X = (X₁+ X₂+ X3+...+Xn) Standartabweichung: S-√(x₁-x)+(x₂-x)+...+(Xn-X) P(xer)= 8.3. Erwartungswert und Standartabweichung von Zufallsgrößen M= X₁² P(x= x^) + X₂ - P(x=x₂)+...+Xn P(x=xn) o = √(x₁-µ)²· P(x=x₁) + ... + (xn-μ)². P(x= x₁) ² 8.4. Bernoulli-Experimente, Binominaly P(x=r ) - Bajp(r) (2)-p². (^-p)^-r oder. 7! 21-5! 0,09+ 0,08 K-O 0,07 0,06- 0,05 0,04 0,03 0,02- 0,01+ 0- 30 21 Vorausetzungen - Die Ergebnisse müssen unabhängig voneinander sein - Es darf entweder nur „Treffer oder Niele" vorkommen. - konstante Werte für n und p - Nur ganze Zahlen für X Sigma-Regeln: 1. P(u-osxsμ + o) = 68,3% 2. P(u-20sXsμ +20) = 95,4% 3. P(u-30SXsμ +30) = 99,7% 4P(X-k) 95,4% Bei mehreren Zahlen mit dem Summenzeichen arbeiten Brip(u) = (ů). ph. (1-p) Sigma-Regeln Für eine binomial verteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungs- wert μ = np und der Standardabweichung o = √n-p (1-p) erhält man folgende Näherungen: 35 -30 40 -20 nalverteilung 68,3% …………. 45 мепр o-=√n.p.(1-p) -10 4. P(-1,640 X su + 1,640) = 90% 5. P(u-1,960 Xsu+1,960) = 95% 6. P(u-2,58 os X su +2,580) 99% 99,7% 50 10 55 n-100 P-0.5 20 60 30 65 Anzahl k 70 Fig. 2 8.6. Mindestens-Hindestens-Hindestens Aufgaben p=0,04 P(x>^) >0.9 <=> P(x=0) < 0,1 0,96" < 0,1 n.lg (0,96) < (g(0,1) 1:(g(0,98) 49(0,1) n> n> 56,4 (=> (=> n. <=> Yμ₁0 (x) = O√27 →> wenn x>, / => inv Binom N( ) wird wird in dem fall so Ilg a 9. Stetige Zufales großen-normalvektellung постаек 9.1. Analysis der Gauß'schen Glockenfunktion -(x-μ)² H (μl) W (μ²O- |e²²) (ntol e 9.2. Normalverteilung Por P(axx<b) = μ₁0 (x) dx a-0,5 P(arxxb) Pia(x)dx Als Annährung für binominal Verteilung: a+0,5 PCX<400,A |Für n=187: P(XK4)=ŽB497; 0,04 (1) 01, 10.20 Für_n²/98: P(x<4)=ŽB138; 0,04 (6)~0,0996 => =>klappt ner wenn σ×3 geschrieben n> 188 9.3. Gütefunktion und Operationscharakteristik | Gütefunktion Wir bezweifeln eine angeblich vorliegende (größtmögliche) Wahrscheinlichkeit von p = 20%