Alternativer Bildtext:

f(0) = y →nach y auflösen Potenzfunktion: f(x) = ax' ganerationale Funktion: f(x)= anx^+an-x^²-^+ + a₁x^² + ax ° frigonometrische Funktion f(x)= asin (b(x-c))+d 211 }p= g(x) = a cos (b(x-c))+a_{P= (ii) f(x) ist streng monoton steigend ⇒ f'(x) > 0 (iii) f(x) ist monoton fallend f'(x) ≤ 0 (iv) f(x) ist streng monoton fallend ↔ f'(x) < 0 krümmung: (i) f(x) ist rechtsgekrümmt <> f"(x) < 0 (ii) f(x) ist linksgekrümmt ⇒ f"(x) > 0 ·gebrochen-rationale Funktion: f(x) = 4(x) natürliche Exponentialfunktion: f(x)= d.ex+b+c Ortskurve 1. allgemeine Punkte P(xly) mit einer bestimmten Eigenschaft, 2B. Extrempunkte oder Wendepunkte, in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen 2. x-Wert nach dem Parauleter auflösen und einsetzen 3. y-Wert von bspw. dem Hochpunkt ist die Ortskurve aller Hochpunkte der Funktionsschar, d.n. alle Hochpunkte liegen auf dem Graph dieser Funktion ²" (fax) = ga)) dx = √" faldx = [" g²x)dx a a Extremstellen berechnen: (i) f'(x) und f"(x) bestimmen (ii) f'(x)= 0 und noch xoauflösen (iii) f"(xo) >0 ⇒ Tiefpunkt f" (xo) <0⇒ Hochpunkt f'(x)=0 (iv) f(xo)= y berechnen g(x)= -e* (gespiegelt an x-Achse) h(x)= e* (gespiegelt an y-Achse) Hauptsatz der Integralrechnung: (f(x))dx = [F(x)] = F(b)-F(a) Volumen Rotationskörper: V= πTS (f(x))² dx . a Mitternachtsformel: -6± √b²-4ac 2a X1,2= Stammfunktion: 1 h+1 • f(x)= ax^ ⇒ F(x) = A·²+₁ X² • f(x) = g(x) + n(x) • f(x)= g(mx+b) + C · F(x)= G(x) + H(X) → F(x)=G(mx+b). im+C 2. Analytische Geometrie · Vektor, Ortsvektor, Linearkombination • Geraden Ebenen (Parameter-, Koordinaten-, Normalenform) • Geraden- und Ebenenscharen . Lagebeziehungen •Skalarprodukt • Betrag eines Vektors · Spiegelungen, Abstands- und Winkelberechnungen Flächen- und Volumen berechnungen zeichnerische Darstellung von Objekten im Raum Schrägbilder, Spurpunkte, Spurgeraden Anwendung der analytischen Geometrie: Beschreibung von Bewegungen im Raum • Beweise mit Hilfe von Vektoren Vektoren: AB /b₁ - 0₁ b2-a2 b3 - 03/ . · Tāl= √(a₁)² + (a₂)² + (03) ² ↳ Länge des Vektors Einheitsventor: = à . Skalarprodukt: a·ba₁·b₁+ az· bz+ A3-b3 = ab=0a1b Vektorprodukt: a₂b3-b₂a3\ axb=b₁a3-a4b3 a1b₂-b1a₂/ Geraden: · allgemeine Form: x=p+tv aus 2 Punkten X=A++·AB Ebenen: . • Koordinatenform: Parameterform. Ex-p+tu+s-V ·Normalenform: E: (x² - p). n² nè =ū x v E: ax₁ + bx₂ + CX3=d Spurpunute. S₁ (x₁1010), S₂ (01 x₂ 10), S3 (0101X3) gegenseitige Lage von Geraden Linearkombination: · Addition von beliebigigen Vielfachen von mehreren Vektoren Bsp. ta+sb + r.c 1. Richtungsvektoren der Geraden vergleichen identisch oder liegt drauf 2. Punktprobe Vielfache ja liegt nicht E₁ = E₂ // drauf Es gilt: E₁ = E₂ parallel ja Es gilt: E₁ E₂. Punktprobe: Ist z. B. A₁€ E₂? Man bestimmt einen Punkt A₁ von E₁ und überprüft, ob er zu E₂ gehört. Abiturvorbereitung gegenseitige Lage von Ebenen: Sind die Normalenvektoren linear abhängig? nicht vielfache E2 X schneiden sich E₁ Zu prüfen: Sind n und n₂ Vielfache? nein Es gilt: E₁ E₂ = {}. oder lösbar 2. Gleichsetzen 20 nicht lösbar nur in R³ nein windschief Es gilt: E₁ E₂. gs 122 E₁ und E₂ schneiden sich in einer Geraden gs. Die Berechnung einer Glei- chung von gs kann auf unter- schiedliche Arten erfolgen. E₂ Lage von Geraden und Ebenen: ja 8E oder g CE 8CE Punktprobe: AEE? ja E nein 8|E E 8 Prüfe: Mon=0? nein : . 8 WE Schnittpunktberechnung: Abstände: · zwischen 2 Punkte : Långe des Ventors · Zwischen Punkt und Gerade: z.B. durch Einsetzen der Parameterform von g in Koordinatenform von E 8nE={S} E 3. Gerade in Hilfsebene einsetzen 4. Parameter (zB. t) berechnen → Lotfußgerade Winkel: · zwischen 2 Vektoren: cos (4)= · zwischen 2 Geraden: cos (4)=- Ini Mal · Zwischen 2 Ebenen: cos (4)= mil·10₂1 zwischen Ebene & Gerade: sin (4)=√²1.11 Spurgeraden: 1. Hilfsebene aufstellen. Normalenvektor ist Richtungsventor und Punkt ist Aufpunkt 2. Koordinatenform bilden 5. Parameter in Geradengleichung einsetzen →→ Lotfußpunkt 6. Långe zwischen Lotfußpunkt und Punkt berechnen zwischen 2 parallelen Geraden: Abstand Punkt - Gerade zwischen 2 windschiefen Geraden: Spiegelungen Punkt an Punkt Punkt P wird am Punkt 5 gespiegelt •Punkt an Gerade: 1. Hilfsebene aufstellen und in Koordinatenform umwandeln 2. Koordinatenform in Hessesche Normalenform umwandeln 3. Punkt in Hessesche Normalenform einsetzen • der X₁, X₂-Ebene → X3=0 der X₁₁X3-Ebene → ×₂= 0 der X₂X3-Ebene → x₁ = 0 4. Abstand berechnen zwischen Punkt - Ebene: Hessesche Normalenform zwischen Gerade - Ebene: beliebiger Punkt auf der Gerade, dann Punkt -Ebene · zwischen Ebene-Ebene: beliebiger Punkt auf einer der beiden Ebenen, dann Punkt-Ebene la-51 Tal. 161 IVUL 17.11 ·: OB=OP+t· PS 1. Hilfsebene aufstellen: Normalenvektor ist Richtungsvektor, Berechnung von o mit Punkt P 2. Schnittpunkt der Gerade und Hilfsebene berechnen 3. Punkt P am Spiegelpunkt spiegeln → siene oben •Punkt an Ebene: 1. Hilfsgerade aufstellen: Punkt P als Stützvektor und Normalenvektor als Richtungsvektor 2. Gerade in Ebene einsetzen und Lotfußpunkt bestimmen 3. Punkt P am Lotfußpunkt spiegeln → siehe oben 3. Stochastik · mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme, Pfadregeln · diskrete Zufallsgrößen: Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert . Stetige Zufallsgröße: Dichtefunktion Binomial verteilung: Formel von Bernoulli Erwartungswert, standardabweichung Histogramme · Testen von Hypothesen mithilfe der Binomial verteilung ein- und zweiseitiger Test · Fehler 1. und 2. Art · Normalverteilung: · Dichte funktion Erwartungswert, Standardabweichung Glockenkurve Pfadregeln: 1. Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades wird multipliziert 2. Addition der Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade Erwartungswert: ·E(x)= x₁ P(x= x₁)+ X₂· P(X=X₂)+ ... + xn·P(x=xn) ist x binomial verteilt: E(x) = n⋅p= μ Standardabweichung: 6(x)=√n⋅p⋅ (1-P) Zwei Ereignisse sind (stochastisch) unabhängig, wenn gilt: P(ANB)= = P(A). P(B) kumulierte Wahrscheinlichkeiten: · P(x <k)= P(x≤ (k-1)) · P(x > k) = 1 - P(x≤k) · P(x ≥k) = 1- P(x<k) = 1-P(x≤ (k-1)) Fehler 1. und 2. Art: 1. Art Ho wird fälschlicherweise verworfen •2. Art: Ho wird fälschlicherweise angenommen Dichtefunktion: •Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung . · f(x) = 0 Vx € TR; Sof(x) dx = 1 i- P(X= k) = 0 P(x≤k)=f(x) dx : P(x > k) = f(x) dx P (K₁ < x≤ K₂ ) = √"f(x) dx ·lässt sich keine Wahrscheinlichkeit ablesen! weniger als 4 höchstens 4 genau 4 P(X=4) zwischen 4 und 7 P(4<x<7) od. P(5≤x≤6) von 4 bis 7 P(4≤x≤7) mindestens 4 mehr als 4 Abiturvorbereitung '22 Bernoulli-kette: · auf jeder Stufe unterscheidet man nur zwischen zwei möglichen Ereignissen Wahrscheinlichkeit bleibt gleich · P(x=k) = (^).pk . qn-k ↳ n-Länge der Bernoulli-Kette p= Erfolgswahrscheinlichkeit K="Treffer" Maximum P(X<4) od. P(x3) P(x≤4) Hypothesentests: linksseitig: Ho: p²po, P(x≤k) ≤ α · rechtsseitig: Ho: p²po, P(x = k) ≤x ・zweiseitig: Ho: p= Po, P(x ≤ k₁) ≤ Wendepunkte- μl μ-30 μ-20 μ-σ Glockenkurve P(X24) |P(x>4) od. P(x=5) Normalverteilung: Dichtefunktion: 4(x)=√ ·ė (x-μ)² μ+o P(x ≤k-1) = 1-x 2, P(x = k₂) = 2 μ+20 μ+30 68,27% aller Werte im Intervall liegen I[μ-6₁ μ+6], 95,45% im Intervall I[μ-20, μ+20]