Mathe Abitur 2022

Alternativer Bildtext:

f"(x) < 0 (ii) f(x) ist linksgekrümmt ↔ f"(x) > 0 Monotonie: (i) f(x) ist monoton steigend f'(x) = 0 (ii) f(x) ist streng monoton steigend ⇒ f'(x) > 0 (iii) f(x) ist monoton fallend f'(x) ≤ 0 (iv) f(x) ist streng monoton fallend f'(x) < 0 Integrale - Rechenregeln: as" fax) dx + √²f(x) dx = √f(x) dx a [° (f(x) = g(x)) dx = √° f&x) dx = [³ g(x)dx Extremstellen berechnen: (i) f'(x) und f"(x) bestimmen (ii) f'(x)= 0 und nach xo auflösen (iii) F"(xo) >0 Tiefpunkt f" (xo) <0⇒ Hochpunkt n-1. ganzrationale Funktion: f(x)= anx" + an-₁x" frigonometrische Funktion f(x)= asin (b(x-c))+d g(x)= acos (b(x-c))+d _p(x) gebrochen-rationale Funktion: f(x) = natürliche Exponentialfunktion: f(x) = a.ex+b +C 9(x) (iv) f(xo)= y berechnen Ortskurve 1 allgemeine Punkte P(xly) mit einer bestimmten Eigenschaft, 2B. Extrempunkte oder Wendepunkte, in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen 2. X-Wert nach dem Parameter auflösen und einsetzen 3. y-Wert von bspw. dem Hochpunkt ist die Ortskurve aller Hochpunkte der Funktionsschar, d.h. alle Hochpunute liegen auf dem Graph dieser Funktion + a₁x²+Qox° } p= 2 g(x) = -e* (gespiegelt an x-Achse) h(x)- e* (gespiegelt an y-Achse) Hauptsatz der Integralrechnung: √ (f(x)) dx = [F(x)] ₁₂ = F(b)-F(a) Volumen Rotations körper: V- TT-S (fax))²³ dx f(x) = g(x) + n(x) f(x) = g(mx+b) Mitternachtsformel -6± √b²-4ac 2a X1,2 = Stammfunktion: n+1 f(x) = ax → F(x)= a・n²+ ₁x² + C F(x)= G(x)+ H(X) → F(x)= G(mx+b). + C 2. Analytische Geometrie Vektor, Ortsvektor, Linearkombination · Geraden · Ebenen (Parameter-, Koordinaten-, Normalenform) Geraden- und Ebenenscharen Lagebeziehungen Skalarprodukt • Betrag eines Vektors · Spiegelungen, Abstands- und Winkelberechnungen Flächen- und Volumen berechnungen zeichnerische Darstellung von Objekten im Raum Schrägbilder, Spurpunkte, Spurgeraden Anwendung der analytischen Geometrie: Beschreibung von Bewegungen im Raum Beweise mit Hilfe von Vektoren Vektoren: AB= /b₁-a₁ b₂-a₂ b3 - 03/ ·lay = √(a₁)² + (0₂)² + (03) ² ↳ Känge des Vektors Einheitsventor: Tai à = Skalarprodukt: a.b= = a₁.b₁ + a₂ b2+ A3 b3 ab=016 Vektorprodukt: /a2b3-b₂a3) axbb₁a3-a4b3 a1b₂-b1a₂/ Geraden: · allgemeine Form: x=p+t⋅v aus 2 Punkten X=A++ AB nux V = Ebenen: Parameterform: Ex-p+tu+sv · Normalenform: E: (-p) ME • Koordinatenform: E. ax₁ + bx₂ + CX3=d Spurpunkte S. (x₁1010), S₂ (01 x₂ 10), S3 (0101x3) Linearkombination: Addition von beliebigigen Vielfachen von mehreren Vektoren Bsp. Vta+sb + r.c gegenseitige Lage von Geraden: 1. Richtungsvektoren der Geraden vergleichen identisch oder 2. Punktprobe liegt drauf Vielfache drauf liegt nicht ja E₁=E₂ parallel Es gilt: E₁ E₂ Es gilt: E₁ E₂ Punktprobe: Ist z. B. A₁€ E₂? Man bestimmt einen Punkt A₁ von E, und überprüft, ob er zu E₂ gehört. Abiturvorbereitung 122 gegenseitige Lage von Ebenen. Sind die Normalenvektoren linear abhängig? nicht vielfache schneiden sich E₂ Es gilt: E₁E₂=(). E₁ Zu prüfen: Sind n und n₂ Vielfache? nein oder / 2. Gleichsetzen lösbar nicht lösbar windschief nur in R³ nein Es gilt: E₁ E₂ E und E₂ schneiden sich in iner Geraden gs. 8s Die Berechnung einer Glei- chung von gs kann auf unter- schiedliche Arten erfolgen. Lage von Geraden und Ebenen: Prüfe: Mon=0? ja 8E oder g CE 8CE Punktprobe: A€E? nein 8E nein . & VE Schnittpunktberechnung: z.B. durch Einsetzen der Parameterform von g in Koordinatenform von E Abstände: zwischen 2 Punkte Länge des Vektors Zwischen Punkt und Gerade. gne = {S} Winkel: zwischen 2 Vektoren: cos (4) = zwischen 2 Geraden: cos (4)=- Ini №₂ Zwischen 2 Ebenen: cas (4)= mil · In₂1 zwischen Ebene & Gerade: sin (4)=√ √1 'In||| Spurgeraden: 5. Parameter in Geradengleichung einsetzen → • Lotfußpunkt 6. Länge zwischen Lotfußpunkt und Punkt berechnen · zwischen 2 parallelen Geraden: Abstand Punkt-Gerade zwischen 2 windschiefen Geraden: 1. Hilfsebene aufstellen und in Koordinatenform umwandeln 2. Koordinatenform in Hessesche Normalenform umwandeln 3. Punkt in Hessesche Normalenform einsetzen der X₁, X₂-Ebene → X3 = 0 1. Hilfsebene aufstellen: ·Normalenvektor ist Richtungsventor und Punkt ist Aufpunkt 2. Koordinatenform bilden 3. Gerade in Hilfsebene einsetzen 4. Parameter (zB. t) berechnen → • Lotfußgerade der X₁₁X3-Ebene → X₂=0 · der X₂, X3-Ebene → x₁=0 3. Punkt P am Spiegelpunkt spiegeln → siene oben •Punkt an Ebene: 4. Abstand berechnen · zwischen Punkt - Ebene: Hessesche Normalenform · zwischen Gerade - Ebene: beliebiger Punkt auf der Gerade, dann Punkt -Ebene · zwischen Ebene - Ebene: beliebiger Punkt auf einer der beiden Ebenen, dann Punkt -Ebene Spiegelungen Punkt an Punkt Punkt P wird am Punkt 5 gespiegelt: OB = OP + t · PS •Punkt an Gerade: la-b1 lal. 161 IV.UL 1 Hilfsebene aufstellen: Normalenvektor ist Richtungsvektor, Berechnung von d mit Punkt P 2. Schnittpunkt der Gerade und Hilfsebene berechnen 1. Hilfsgerade aufstellen: Punkt P als Stützvektor und Normalenvektor als Richtungsvektor 2. Gerade in Ebene einsetzen und Lotfußpunkt bestimmen 3 Punkt P am Lotfußpunkt spiegeln → siehe oben 3. Stochastik mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme, Pfadregeln diskrete Zufallsgrößen: Wahrscheinlichkeitsverteilung . •Erwartungswert Stetige Zufallsgröße: Dichtefunktion Binomial verteilung: • Formel von Bernoulli • Erwartungswert, Standardabweichung Histogramme · Testen von Hypothesen mithilfe der Binomialverteilung · ein- und zweiseitiger Test · Fehler 1. und 2. Art · Normalverteilung: · Dichte funktion Erwartungswert, Standardabweichung Glockenkurve Pfadregeln 1. Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades wird multipliziert 2. Addition der Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade Erwartungswert: ·E(x)= x₁ P(x= x₁) + X₂· P(X=X₂)+...+ Xn-P(x=xn) ist x binomial verteilt: E(x) = n. p= μ Standardabweichung: 6(x) = √n⋅p⋅ (1-p) Zwei Ereignisse sind (stochastisch) unabhängig, wenn gilt: P(ANB)=P(A). P(B) kumulierte Wahrscheinlichkeiten: · P(x <k)= P(x≤ (k-1)) P(X>k) = 1- P(x≤k) · P(x = k) = 1- P(x<k) = 1- P(x≤ (k-1)) Fehler 1. und 2. Art: 1. Art Ho wird fälschlicherweise verworfen 2. Art: Ho wird fälschlicherweise angenommen Dichte funktion: Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung • f(x) = 0 V x € TR ; √√ ² f(x) dx = 1 · P(x= k) = 0, k P(x ≤k) = f(x) dx P(x >k)=f(x) dx P (K₁ < x≤ K₂) = f(x) dx ka ·lässt sich keine Wahrscheinlichkeit ablesen! weniger als 4 höchstens 4 genau 4 P(X=4) zwischen 4 und 7 P(4<x<7) od. P(5≤x≤6) von 4 bis 7 P(4≤x≤7) mindestens 4 P(X24) mehr als 4 P(x>4) od. P(x=5) Abiturvorbereitung 22 Bernoulli-kette. auf jeder Stufe unterscheidet man nur zwischen zwei möglichen Ereignissen Wahrscheinlichkeit bleibt gleich · P(x=k)=() .pk . qn-k ↳n-Länge der Bernoulli-kette p= Erfolgswahrscheinlichkeit K= 1 Treffer" Hypothesentests: ·linksseitig: Ho: p²po, P(x≤k) ≤ α • rechtsseitig: Ho: p²po, P(x = k) ≤α = P(x ≤k-1) = 1-x ・zweiseitig: Ho: p= Po, P(x ≤ k₁) ≤ 2, P(x² k₂) = a ² H-20 μ-o P(X<4) od. P(x≤3) P(x≤4) Normal verteilung Dichtefunktion: 4(x)=√·¯¯¯μ)² e Wendepunkte - A μ+O +201 Glockenkurve 68,27% aller Werte 6, liegen im Intervall I[μ-6₁ μ+6], 95,45% im Intervall I[μ-20, μ+20]