H-Methode: Schritt für Schritt Anleitung

Die H-Methode wird anhand eines Beispiels erklärt: f(x) = 5x² mit dem Ziel, die Ableitung an der Stelle x₀ = 3 zu bestimmen.

Definition: Die H-Methode ist ein Verfahren zur Berechnung des Differentialquotienten einer Funktion an einer bestimmten Stelle.

Der Prozess wird in mehrere Schritte unterteilt:

1. Einsetzen von x₀ in die Grundformel: lim(h→0) [f(3+h) - f(3)] / h

2. Bilden von f(x₀+h) und f(x₀): f(3+h) = 5(3+h)² und f(3) = 5·3²

3. Einsetzen der gebildeten Terme: lim(h→0) [5(3+h)² - 5·3²] / h

4. Vereinfachen des Ausdrucks: lim(h→0) [45 + 30h + 5h² - 45] / h

Highlight: Bei der Vereinfachung werden oft binomische Formeln verwendet, wie (a+b)² = a² + 2ab + b².

5. Ausklammern von h im Zähler: lim(h→0) h(30 + 5h) / h

6. Kürzen von h: lim(h→0) (30 + 5h)

7. Einsetzen von h = 0 und Berechnen des Grenzwerts: 30 + 5·0 = 30

Beispiel: Die Steigung der Funktion f(x) = 5x² an der Stelle x₀ = 3 beträgt 30.

Die H-Methode ist ein mächtiges Werkzeug in der Differentialrechnung und ermöglicht die Berechnung von Ableitungen auch für komplexe Funktionen. Sie ist besonders nützlich, wenn die direkte Anwendung von Ableitungsregeln schwierig ist.

Vocabulary: Grenzwert (lim) - Ein fundamentales Konzept in der Analysis, das beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion annähert, wenn sich die Variable einem bestimmten Wert nähert.

Die Beherrschung der H-Methode ist essentiell für das Verständnis der Differenzierbarkeit von Funktionen und bildet eine wichtige Grundlage für weiterführende Konzepte in der höheren Mathematik.