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Mathe Abitur Stochastik

13.5.2022

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1. ZUFALLSEXPERIMENTE
1.1 Einstufige und mehrstufige Zufallsexperimente
Definition
Zufallsexperiment = Experiment mit mehreren Ausgängen und
1. ZUFALLSEXPERIMENTE
1.1 Einstufige und mehrstufige Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment = Experiment mit mehreren Ausgängen und
1. ZUFALLSEXPERIMENTE
1.1 Einstufige und mehrstufige Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment = Experiment mit mehreren Ausgängen und
1. ZUFALLSEXPERIMENTE
1.1 Einstufige und mehrstufige Zufallsexperimente
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1. ZUFALLSEXPERIMENTE
1.1 Einstufige und mehrstufige Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment = Experiment mit mehreren Ausgängen und

1. ZUFALLSEXPERIMENTE 1.1 Einstufige und mehrstufige Zufallsexperimente Definition Zufallsexperiment = Experiment mit mehreren Ausgängen und nicht vorausgesetzt werden kann Ausgang eines zufausexperiments : Ergebnis Menge auer möglichen Ausgänge: Ergebnisse Ergebnismenge Anzahl der Elemente in : Mächtigkeit der Ergebnis menge. Beispiele 1. werfen einer Münze 2. werfen eines würfels 3. werfen einer Kugel in RouleHescheibe Mathe Abitur: Stochastik 1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfungen Definition Ereignis: Teilmenge A der Ergebnismenge eines Zufausexperiments Tritt ein, wenn bei Durchführung des Experiments ein Ergebnis aus Menge A auftrit alle möglichen Ereignisse von 2: Ereignisraum Machtigkeit: 2152 Sicheres Ereignis: 2 trix immer ein! un mögliches Ereignis: {} leere Menge nicht A A = A A A {Bild; zahl 1-521=2 [1,2,3,4,5,63 -1-221= 6 (0,1,2,3,... 3631_-21=37 Ereignis A und. B. An B B 8 A 14 А Ā AB Ereignis A oder B AUB B B A A A Ā nicht A. v. nicht BAB B B AB A A A DI: 1 ● 1 A 121= 6 Imehrstufige Zufallsexperimente : • mehrere zufausexperimente, die nacheinander durchgeführt werden A A BSP: mit Baumdiagramm 2 2 3 A, aber nicht B B B -= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 Inicht beide Ereignisse AV B B B 1-21=6 ● 1 2 3 12 3 AB An B (AB) entweder A oder B. (An B)ULAN B) в в 1. Stufe 2. Stufe Ergebnisse B Ereignisse A und B sind unvereinbar AnB = {} 2. WAHRSCHEINLICHKEITSBERECHNUNGEN 2.1 Absolute und Relative Häufigkeit Definition n: zahl der würfe 20 40 6.0 k: Anzahl der 8 21 23 0.400 0,525 0,383 B B 2.2 Veranschaulichung durch Vierfeldertafeln ·K n 0₁2 A Ā PLA 0 B) PLĀNB) P(ANB) PLAB.) PLA) 0₁6 (PLA) 0,8 0175 014 PLB) T 0,1 PLB) Doping 0,25 Doping 2.3 Veranschaulichung durch Baumdiagramme =A Erfolg 4% 39% 2.4 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 43% Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit P(-2) = 1 .P({}) = 0 PLA) = A PLA) PLAUB) = PLA) + PLB) PLAN B) 0 PLA) ≤ 1 S 116 45 116 50 446 absolute Häufigkeit: k...

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des Ereignisses A relative Häufigkeit: .K n Doping Doping Relative Häufigkeiten Erfolg Er folg S 1. Pfadregel Produktregel Additionssatz 45 57% 50 1 1%. M6 65 56% A16 014 0,25 = 011 wahrscheinlichkeiten entang des Pfades 66 446 Absolute Häufigkeiten 95% Erfolg 100% 1 6 5% AA6 65 66 absolute H. Anzahl d. versuche AAO M6 440 A46 2. Pfadregel Summenregel PLL) = 016 0₁2 + 014⋅ 0,75 = 0142 Summe der Pfadwahrschein- lichkeiten Bsp: Spielzeug weist beide Fehler auf PLF₁)= 011 P(F₂) = 0,2 PL FA U F₂) = 0,25 ges: PLF₁ F₂) Additionssate PLF₁0 F₂) = 0,05 2.5 Laplace-Experimente, Laplace-Wahrscheinlichkeit Definition Laplace-Experiment = zufalsexperiment, bei dem aue Ergebnisse aus gleich wahr- Scheinlich sind PLA) = Bedingte Wahrscheinlichkeit PALB) = Anzahl günstiger Fälle Anzahl möglicher Falle wahrscheinlichkeit, dass B eintritt unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist W W 2.6 Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit BSP: wie groß ist die wahrschein-. Lichkeit eines Mädchens unter der Bedingung, dass sie Brille trägt? PLAN B) PLA) A B 28% PBrille (W) = 24 3 36% 64% Permutation 21- maliges ziehen 2 B 29% 7% 36%. PLW Brille) PL Brille) 57% 43% = 100% IAI 1-21 ohne zurücklegen Reihenfolge wichtig 1 24 1 3. KOMBINATORIK A ... 2A Beispiel 6 S 2 4 (A)= gerade Zahl PLA) = IAI 1-21 Ziehen von 3 Kugeln Laplace-Experiment, da que sektoren gieich groß sind _2= {1, 2, 3, 4, 5, 6) 121=6 Baumdiagramm bl 4 Stochastische Unabhängigkeit BSP: PLF₁ F₂) = 0₁5 Tupel 3- maliges werfen eines würfels => L= {112, 113,..., 445... 666} = PLAN B) = P(A) · PLB) n! 24 Schüler belegen 21 Plätze im zimmer => _2= {4, 18, 12, 13, 24,...; 9, 10, 7,... } PLEA). PLF2) = 012 kein Laplace- Experiment, da die Sektoren nicht gleich groß sind Stochastisch abhängig mit zurücklegen. Reihenfolge wichtig I. nk A = {2₁4,6} 1A1 = 3 A = 2... zāhuprinzip 6. 6 ↑ I. T. verhältnisse bleiben gleich [ 10. 10. 10... ] 2 III. 4. Baumdiagramm zählprinzip 24 20 19 1. ↑ II Verhältnisse unterscheiden sich [10 9 8 7 6... A] 6 ↑ 个 XXI. III. = 24! Fakultat Teilpermutation 5 Fahrzeuge auf 8 Garagen aufteilen ziehen von S kugeln ^ 2 3.4 7 8 6 ohne zurücklegen •Reihenfolge wichtig. ^ 8 Baumdiagramm ^ zānuprinzip 8 7 6. 5.4 711 23-21 3 2321 PL genau K Schwarze kugeln) = Binomialkoeffizient Abfrage von 3 Schülern, ohne Reihenfolge Baumdiagramm ... 24 3.2.1 3.2 A verhältnisse unterscheiden sich 8! 3! n! (n-k)! gleichartige Pfade 123, 243, 312, 324,.... BSP: N= So Dioden darunter K = 4 . also (N-K) = 46 n = 6 Dioden ausgewanit und überprüft Bsp: A: Genau bei 3 würfeln fällt die Augenzani 2 es wird 5x geworfen. zāhlprinzip 3 2 4 = 6 4. BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN / URNENMODELLE 4.1 Ziehen ohne Zurücklegen (n) = zient man aus einer urne mit N kugeln, von denen K schwarz sind, n kugeln ohne Zurücklegen, so gilt for die wahrscheinlichkeit, genau K Schwarze kugeln zu zienen (k). (N=K) (~) n! k! (n-k)! PL genau 2 defente Dioden) (2) - (50=4) (50) ≈6,2% 4.2 Ziehen mit Zurücklegen zieht man aus einer urne mit einem bestimmten Anteil p schwarzer kugeln n kugeln mit Zurücklegen, so gilt für die wahrscheinlichkeit, genau K schwarze kugeln zu ziehen Pl genau K schwarze kugel) = (k): pk. (^- pjn-k PLA) = PL genave 3 Zweier) (3) ·-· (4) ³ · (²) 5 - ³ 8,79% 5. ZUFALLSGRÖBEN 5.1 Zufallsgröße und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung Zufallsgrösse Funktion [Ergebnisraum * IR ] 3- maliger Münzwurf PLZZZ) = 8 PLX = 3) = PL X = 2 ) = rishant" S2 X ROUleHe Setzen von einem Euro X = Reingewinn risikolos" PLX) ELX) = X PLX) 7 35 11.37 بر 8 = 3 2 2 2 ^ 0 222, 22k, ZKZ, ZKK, KzZ, MZK, KKZ, KHK X = Anzani der z black / red XA PA setzen auf zahl 7 7 5.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung S X PLx) | 48 1 37 X₂ P₂ - 1 361 37. Erwartungswert X₁ P₁ + X₂ P₂ + x3 P3 + x4 · P4 black 1 red. / green - 1 X3 X4 P3 P4 M muss nicht unbedingt eine gültige Zufallsgröße sein! => FLX) = 1.0,5 + 2 · 0₁ 33 + 3·0₁17 = 1₁67 191 37 Standardabweichung o = √var Lx)' Wahrscheinlichkeitsverteilung Xi X3 PLX = x;) 24/02/X² PA P₂ P3 1. werte auflisten, die die Zufausgröße X annehmen kann 2. wahrscheinlichkeiten berechnen 3. Diagramm erstellen BSP: Würfel Augenzahl 6 mit 0,3 wahrscheinlich keit Ermikel die wahrscheinlichkeits- verteilung, die die Anzahl der Sechser beim 2x worteln angibt Zufallsgröße: x₁ = 0 x ₂ = A x ₂ = 2 = (²₁) · 0₁3₁ · 0,7^ = 0,42 . PLX = A) = Varianz X PLX) ELX)] 0 ^ 0142 Die varianz beziffert das Risiko" einer zufallsgröße. - 2 [Abstand von Def: varianz x LXA-μ)². PA + LX₂-μ)² P₂ + (x3 - μ)². P3 + ... => var (X₁) = (1-2)² 0₁33 + (2-2)².. = 0,66 0133+ (3-2)² 0,33 5.3 Binomialverteilte Zufallsgrößen Voraussetzungen es existieren nur Treffer und Niete Treffer und Niete sind in jeder Stufe unabhängig voneinander Treffer und Nietenwahrscheinlichkeit bleiben konstant Benutzung des Tafelwerks n К n = 3x mindestens Aufgaben Bln, P, K) Bl⋅nip, X.≤k) genau gleich In (1-P) in l^- p) P P= Sicherheits wahrscheinlichkeit p= Trefferwahrscheinlichkeit Standard abweichung & ovar Lx) Bsp: M = 1 höchstens 60 ho -- Intervall [1-0,894 + 0,89] [0,11; 1,89] nur Zufallsgröße 1 0=1018 6. GRAPHISCHE DARSTELLUNG 1) Säulen / stabdiagramm Hone a. Saule wahrscheinlichkeit Binomialverteilte zufausgröße Bsp.: = Zufausgröße X, die der Anzahl der Treffer eines Bernoulli - experiment entspricht 60 50 wahrscheinlichkeit für Erwartungswert: Elx) = n.p.. varianz var(x) = n⋅p・q (1) Histogramm 40 30 20 höchstens k Treffer Bln, p, x ≤k) weniger als K Treffer BLn, P, X ≤ K-1) mindestens K Treffer 1- B L n₁ p, x = K-^) Gegenteil von höchstens 6 mehr als K Treffer 1- Bln, p, x ≥ K) zwischen einschließlich a und b Treffer BLn, p, x ≤ b) - B ( n, p, x ≤ a-^) 10 n = s P = 20% Flache d. saule Bernoulli formel wahrscheinlich- keit neu 2 B ( n, p, k) = (2): pk X 0 P 33% 1 0,8 PLX ==1) (11) verteilungsfunktion 120 100 80 60- 6 40 20 A 41% 20% 5% 2 3 4 A% PLX=3), PLX=2f• PLX = A) 2 3 5 6