Alternativer Bildtext:

An B) 43% S 116 45 116 50 ^^6 absolute Häufigkeit: k. des Ereignisses. A relative Häufigkeit: Doping poping. Erfolg Erfolg 5 Relative Häufigkeiten 1. Pfadregel Produktregel 1%. Additionssatz 45 50 0₁1 014 0,25 = wahrscheinlichkeiten entang des Pfades 1 M^6 65 56% A16 66 57% 1161 Absolute Häufigkeiten n 95% 100% Erfolg 1 6 5% AA6 65 66 absolute H. Anzahl d. versuche 110 M6 6 110 146 2. Pfadregel summenregel P(L) = 0₁6 0₁2 + 014. 0,75 = 0142 Summe der Pfadwahrschein- lichkeiten Bsp: Spielzeug weist beide Fehler auf PLF₁) = 011. P(F₂) = 0₁2 PLF₁ U F₂ ) = 0,25 ges: PLF₁ F₂). Additionssatz PLF₁n F₂) = 0,05 2.5 Laplace - Experimente, Laplace - Wahrscheinlichkeit Definition Laplace- Experiment = zufalsexperiment, bei dem aue Ergebnisse aus gleich wahr. Scheinuch sind PLA) = Anzahı günstiger Falle Anzahl möglicher Falle Bedingte Wahrscheinlichkeit PALB).= wahrscheinlichkeit, dass B eintritt · unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist 13 PLAN B) PLA) BSP: wie groß ist die wahrschein-. Lichkeit eines Mädchens unter der Bedingung, dass sie ・Brille trägt? B W 29% 36% PBrille (W). 24 64% = Permutation 2.6 Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit 21- maliges ziehen B 29% 7% 36%. PLW Brille) PL Brille) 57% 43% => 8 100% IAI 1521 ohne zurücklegen Reihenfolge wichtig 2 24 N> 1 1 3 24 3. KOMBINATORIK 5 3 4 6 4 Beispiel S Baumdiagramm 1 1 2 3 (A) = gerade Zahl IAI PLA) = 1-521 2 ziehen von 3 Kugeln 5 6 4 ... 24 Tupel 3- maliges werfen eines würfels => R= {112, 113,..., 445,.. 666} n! 24 Schüler belegen 21 Plätze im zimmer _2 = {4, 18, 12, 13, 21,...; 9, 10, 7,... } 6 Laplace-Experiment, da que Sektoren gieich groß sind 22= {1, 2, 3, 4, 5, 6) 1221=6 Stochastische Unabhängigkeit BSP: PLF₁ F₂) = 0₁5 PLAN B) = P(A) · P(B) PLF₁). PLF₂) = 0₁2 kein Laplace-Experiment, da die Sektoren nicht gleich groß sind Stochastisch abhängig. mit zurücklegen. Reihenfolge wichtig I. nk zahlprinzip 21 20 ^ /|\ 12 ← I A = = {2₁4₁6} 1A1 = 3 = 2 19 verhältnisse bleiben gleich [.10. 10. 10...]. 2 III. Baumaiagramm 1 2 //\ zāhuprinzip 6 6 ↑ I. 12 verhältnisse unterscheiden sich [10.9.8 7 6... 1] A = 6 3 XXT 11 = 21! Fakultat 63 Teilpermutation 5 Fahrzeuge auf 8 Garagen aufteilen ziehen von S kugeln ^ 2 3.4 5 8 7 ohne zurücklegen · Reihenfolge wichtig. Baumdiagramm 1 3 BSP: N = 50 Dioden n = 2 ZIN 13.. zānuprinzip 8 7 PL genau K Schwarze kugeln). 1—1 71\ 2 321 /1\ 23.21. 6. S Binomialkoeffizient Abfrage von 3 Schülern ohne Reihenfolge Baumdiagramm I L 6 Dioden ausgewan't und überprüft 4 ... 24 3. 3.21 • 2.1 verhältnisse unterscheiden sich darunter K = 4 also (N-K) = 46 A: Genau bei 3 würfeln fällt die Augenzani 2 es wird 5x geworfen = gleichartige Pfade 123, 213, 312, 321, n! (n-k)! 8 zāhiprinzip 3. 2 4. BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN / URNENMODELLE 4.1 Ziehen ohne Zurücklegen zient man aus einer urne mit N kugeln, von denen K schwarz sind, n kugeln ohne Zurücklegen, so gilt for die wahrscheinlichkeit, genau K Schwarze kugeln zu ziehen n- (k). (N=K). (~) A = 6 (^) n! k! (n-k)! PL genau 2 defente Dioden). (2). (50-4 :-) (50) ≈6,2% 4.2 Ziehen mit Zurücklegen zieht man aus einer urne mit einem bestimmten Anteil p schwarzer kugeln n kugeln mit Zurücklegen, so gilt für die wahrscheinlichkeit, genau k schwarze kugeln zu ziehen Pl genau K schwarze kugel) = (k) pk. (^- pjn-k Bsp: PLA) = Plgenave 3 Zweier) 3 ( ³ ) · · (4) ³· · ( ³ ) ³ -³ · ≈8,79% 5. ZUFALLSGRÖBEN 5.1 Zufallsgröße und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung Zufallsgrösse Funktion [Ergebnisraum X, IR ] 3- maliger Münzwurf " 11 P ( ???) = PLX = 3) = PL X = 2) = ROUleHe, Setzen von einem Euro X = Reingewinn risikolos" rishant" X PLX) ELX) = X PLX) 5100 μ 7 35 11.37. X₁ PA 2 2 2 ^ ^ 1 ?а?, ?ак, ак?, žик, наа, пак, кка, кик X = Anzahl der z black / red setzen auf zahl 7 7 - 1 5.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung X 2 P2 361 37. Erwartungswert black 1 PUx)| 487 37 X₁ P₁ + x₂ X X4 teat red / green - 1 P2 + x3 P3 + x4 · P4 X3 P3 P4 191 37 Standardabweichung o = √var Lx)' M muss nicht unbedingt eine gültige Zufallsgröße sein! => ELX)= 1· 0,5 + 2 · 0₁ 33 + 3-0, 17 = 1, 67. Wahrscheinlichkeitsverteilung xi PLX = x;) kann = 1. werte auflisten, die die Zufausgröße X annehmen X₁ 2. wahrscheinlichkeiten berechnen 3. Diagramm erstellen Varianz Bsp: würfel. -Augenzahl 6 РА => var (X₁) (2-2)² 0,66 Ermikel die wahrscheinlichkeits- verteilung, die die Anzahl der Sechser beim 2x worteln angibt X mit 0,3 wahrscheinlich keit Zufallsgröße: x₁= 0 x ₂ = A x ₂ = 2 PLX = A) = (2) 03.0,7 = 0,42 t PLX) X 2 P₂ 0 X3 P3 *** ^ 0142 Die varianz beziffert das Risiko" einer zufallsgröße. 2 [Abstand von ELX)]² pef: varianz x LX₁-μ)². PA + LX₂-μ)² P₂ + (x3 - μ)². P3 + . (1-2)² 0₁33 + 0₁33 + (3-2)² 0,33 . 5.3 Binomialverteilte Zufallsgrößen Voraussetzungen es existieren nur Treffer und Niete Treffer und Niete sind in jeder Stufe unabhängig voneinander Treffer und Nietenwahrscheinlichkeit bleiben konstant Benutzung des Tafelwerks n K 3x mindestens Aufgaben n = P: Sicherheits wahrscheinlichkeit p= Trefferwahrscheinlichkeit Standardabweichung o Bln, P, k) Bl.n₁p, x ≤k) hoch stens genau gleich 0 = var Lx) Bsp: M = 1. In (1-P) in (^- p). o- - Intervall [1-0,89; 4+ 0,89] = [0, 11; 1,89] → nur Zufallsgröße 1 - 60 6. GRAPHISCHE DARSTELLUNG 50 1) Säulen / Stab diagramm 30 0 = √018 20 ho Hone a. Saule wahrscheinlichkeit 2 3 Binomialverteilte zu fausgröße Bsp.: 60 50 wahrscheinlichkeit für = Zufausgröße X, die der Anzahl der Treffer eines Bernoulli · experiment entspricht Erwartungswert: Elx) = n.p. varianz: var(x) = n⋅p.9 1) Histogramm 40 30 20 10 höchstens K Treffer Bln, p, x ≤ k) weniger als K Treffer BLn, P, X ≤ K-1) mindestens K Treffer 1- B L n, p, x = k-1) Gegenteil von höchstens 6 mehr als K Treffer 1- Bln, p, x ≥ K) zwischen einschließlich a und b Treffer BLn, p, x ≤ b) - B ( n, p, x ≤ a-^) n = s P = 20% Flache d. saule wahrscheinlich- keit neu 2 Bernoulli formel 3 -3 B ( n, p, k) = X *| P 33% PLX = -1) -2 0 0,8 120 (11) verteilungsfunktion 100 k) = (^): pk. gn- 80 60 40 20 A 41% PLX = 2) 2 3 4 20% 5% PLX= 3) PLX = A) K ^%