Mathematische Optimierung und Regression im Abitur
Die Differentialrechnung und Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen bilden die Grundlage für die Lösung von Regressions- und Extremwertaufgaben. Bei der Regression geht es darum, eine Funktionsgleichung zu finden, die bestimmte Punkte optimal beschreibt.
Definition: Die Regression ist ein mathematisches Verfahren zur Bestimmung einer Funktion, die vorgegebene Datenpunkte möglichst gut approximiert.
Am Beispiel einer ganzrationalen Funktion dritten Grades wird der systematische Lösungsweg deutlich: Zunächst werden die Koordinaten der gegebenen Punkte A1∣0, B−1∣3, C4∣3 und D0∣5 in den allgemeinen Funktionsterm fx = ax³ + bx² + cx + d eingesetzt. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten.
Die Lösung dieses Gleichungssystems erfolgt effizient mit dem EQUA-Menü des Taschenrechners und liefert die Parameter a=1, b=-3,5, c=-2,5 und d=5. Damit ergibt sich die gesuchte Funktionsgleichung fx = x³ - 3,5x² - 2,5x + 5.
Merke: Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist eine strukturierte Vorgehensweise entscheidend:
- Analyse der Aufgabenstellung
- Aufstellen der Zielfunktion ZF
- Formulierung der Nebenbedingungen NB
- Einsetzen der Nebenbedingungen
- Bestimmung der Extremstellen durch Ableitung
- Überprüfung der Randfälle
- Interpretation der Ergebnisse