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Mathe

29. Nov. 2025

1.597

5 Seiten

Mathematik: Grundlagen der Analysis

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Jule @jule_caro

Integralrechnung ist das Gegenteil vom Ableiten und hilft dir, Flächeninhalte zu berechnen und Bestände aus Änderungsraten zu rekonstruieren.... Mehr anzeigen

# Matheklausur Nr. 4

Rekonstruktion der Bestandsfunktion aus der Änderungsratenfunktion

Berechnung des Bestandes
für konstante Änderungsra

Rekonstruktion von Bestandsfunktionen

Stell dir vor, du kennst nur die Geschwindigkeit eines Autos zu jedem Zeitpunkt - kannst du daraus berechnen, wie weit es gefahren ist? Genau das machst du bei der Rekonstruktion von Bestandsfunktionen aus Änderungsratenfunktionen.

Positive Änderungsrate bedeutet Zunahme des Bestands, negative Änderungsrate bedeutet Abnahme. Die Fläche unter dem Graphen der Änderungsratenfunktion gibt dir den aktuellen Bestand an.

Bei orientierten Flächeninhalten zählen Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ. Das Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens - aus f'(x) machst du wieder f(x).

Merke Eine Stammfunktion F(x) zu f(x) erfüllt F'(x) = f(x). Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante C.

# Matheklausur Nr. 4

Rekonstruktion der Bestandsfunktion aus der Änderungsratenfunktion

Berechnung des Bestandes
für konstante Änderungsra

Stammfunktionen und Integralfunktionen

Die wichtigsten Stammfunktionsregeln sind super einfach Bei der Potenzregel erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten. Aus x² wird also ⅓x³.

Faktorregel und Summenregel funktionieren genauso wie beim Ableiten - konstante Faktoren bleiben stehen, Summen integrierst du einzeln.

Die Integralfunktion I_a(x) ordnet jedem x-Wert den orientierten Flächeninhalt zwischen a und x zu. Sie startet immer bei null I_a(a) = 0.

Wichtig Der Hauptsatz der Integralrechnung besagt Die Ableitung einer Integralfunktion ist die ursprüngliche Funktion. Integralfunktionen sind also Stammfunktionen!

# Matheklausur Nr. 4

Rekonstruktion der Bestandsfunktion aus der Änderungsratenfunktion

Berechnung des Bestandes
für konstante Änderungsra

Der Hauptsatz und bestimmte Integrale

Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnest du bestimmte Integrale durch ∫abisba bis b f(x)dx = F(b) - F(a). Du setzt die Grenzen in die Stammfunktion ein und subtrahierst.

Verschiedene Integrationsvariablen können verwirrend sein. Das dx, dt oder du zeigt dir, nach welcher Variable integriert wird. Wenn x sowohl in der Funktion als auch als Grenze vorkommt, verwende besser t für die Funktion.

Dein GTR kann Integrale numerisch berechnen - die Ergebnisse sind meist Näherungswerte, aber sehr genau.

Tipp Bei Verwechslungsgefahr schreibst du die Funktion als f(t) und integrierst ∫f(t)dt, wenn x als Grenze auftritt.

# Matheklausur Nr. 4

Rekonstruktion der Bestandsfunktion aus der Änderungsratenfunktion

Berechnung des Bestandes
für konstante Änderungsra

Flächenberechnung zwischen Graphen

Flächenberechnung mit Integralen hat eine goldene Regel Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Beträge addieren! Sonst heben sich positive und negative Bereiche auf.

Liegt der Graph komplett über oder unter der x-Achse, rechnest du einfach A = ∫abisba bis b f(x)dx. Hat er Nullstellen, teilst du das Intervall auf und nimmst Beträge.

Für Flächen zwischen zwei Graphen bildest du die Differenzfunktion f(x) - g(x). Auch hier gilt An Schnittstellen aufteilen und Beträge verwenden.

Faustregel Immer von Schnittpunkt zu Schnittpunkt rechnen und die Beträge aller Teilflächen addieren - so gehst du auf Nummer sicher!

# Matheklausur Nr. 4

Rekonstruktion der Bestandsfunktion aus der Änderungsratenfunktion

Berechnung des Bestandes
für konstante Änderungsra

Integrale richtig aufschreiben und rechnen

Die Integrationsvariable bestimmt, wonach du integrierst. Bei ∫t·x²dx behandelst du t wie eine Zahl, bei ∫t·x²dt ist x die Konstante. Das macht einen riesigen Unterschied im Ergebnis!

Der allgemeine Aufschriebabisba bis b f(x)dx = F(x)F(x)ᵇₐ = F(b) - F(a) ist deine Standard-Formel. Die eckigen Klammern zeigen Stammfunktion gefunden, jetzt Grenzen einsetzen.

Die Integrationskonstante C verschwindet bei bestimmten Integralen automatisch durch die Subtraktion F(b) - F(a). Deshalb brauchst du sie bei der Flächenberechnung nicht.

Praktisch Dein GTR gibt dir das Ergebnis in Flächeneinheiten (FE) aus - perfekt für Klausuren und zur Kontrolle deiner Rechnungen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Integralrechnung ist das Gegenteil vom Ableiten und hilft dir, Flächeninhalte zu berechnen und Bestände aus Änderungsraten zu rekonstruieren. Du lernst hier, wie du aus einer Änderungsratenfunktion die ursprüngliche Funktion zurückgewinnst und Flächen zwischen Graphen berechnest.

# Matheklausur Nr. 4

Rekonstruktion der Bestandsfunktion aus der Änderungsratenfunktion

Berechnung des Bestandes
für konstante Änderungsra

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Rekonstruktion von Bestandsfunktionen

Stell dir vor, du kennst nur die Geschwindigkeit eines Autos zu jedem Zeitpunkt - kannst du daraus berechnen, wie weit es gefahren ist? Genau das machst du bei der Rekonstruktion von Bestandsfunktionen aus Änderungsratenfunktionen.

Positive Änderungsrate bedeutet Zunahme des Bestands, negative Änderungsrate bedeutet Abnahme. Die Fläche unter dem Graphen der Änderungsratenfunktion gibt dir den aktuellen Bestand an.

Bei orientierten Flächeninhalten zählen Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ. Das Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens - aus f'(x) machst du wieder f(x).

Merke: Eine Stammfunktion F(x) zu f(x) erfüllt: F'(x) = f(x). Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante C.

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Stammfunktionen und Integralfunktionen

Die wichtigsten Stammfunktionsregeln sind super einfach: Bei der Potenzregel erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten. Aus x² wird also ⅓x³.

Faktorregel und Summenregel funktionieren genauso wie beim Ableiten - konstante Faktoren bleiben stehen, Summen integrierst du einzeln.

Die Integralfunktion I_a(x) ordnet jedem x-Wert den orientierten Flächeninhalt zwischen a und x zu. Sie startet immer bei null: I_a(a) = 0.

Wichtig: Der Hauptsatz der Integralrechnung besagt: Die Ableitung einer Integralfunktion ist die ursprüngliche Funktion. Integralfunktionen sind also Stammfunktionen!

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Der Hauptsatz und bestimmte Integrale

Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnest du bestimmte Integrale durch: ∫abisba bis b f(x)dx = F(b) - F(a). Du setzt die Grenzen in die Stammfunktion ein und subtrahierst.

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Dein GTR kann Integrale numerisch berechnen - die Ergebnisse sind meist Näherungswerte, aber sehr genau.

Tipp: Bei Verwechslungsgefahr schreibst du die Funktion als f(t) und integrierst ∫f(t)dt, wenn x als Grenze auftritt.

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Flächenberechnung zwischen Graphen

Flächenberechnung mit Integralen hat eine goldene Regel: Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Beträge addieren! Sonst heben sich positive und negative Bereiche auf.

Liegt der Graph komplett über oder unter der x-Achse, rechnest du einfach A = ∫abisba bis b f(x)dx. Hat er Nullstellen, teilst du das Intervall auf und nimmst Beträge.

Für Flächen zwischen zwei Graphen bildest du die Differenzfunktion f(x) - g(x). Auch hier gilt: An Schnittstellen aufteilen und Beträge verwenden.

Faustregel: Immer von Schnittpunkt zu Schnittpunkt rechnen und die Beträge aller Teilflächen addieren - so gehst du auf Nummer sicher!

# Matheklausur Nr. 4

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Integrale richtig aufschreiben und rechnen

Die Integrationsvariable bestimmt, wonach du integrierst. Bei ∫t·x²dx behandelst du t wie eine Zahl, bei ∫t·x²dt ist x die Konstante. Das macht einen riesigen Unterschied im Ergebnis!

Der allgemeine Aufschriebabisba bis b f(x)dx = F(x)F(x)ᵇₐ = F(b) - F(a) ist deine Standard-Formel. Die eckigen Klammern zeigen: Stammfunktion gefunden, jetzt Grenzen einsetzen.

Die Integrationskonstante C verschwindet bei bestimmten Integralen automatisch durch die Subtraktion F(b) - F(a). Deshalb brauchst du sie bei der Flächenberechnung nicht.

Praktisch: Dein GTR gibt dir das Ergebnis in Flächeneinheiten (FE) aus - perfekt für Klausuren und zur Kontrolle deiner Rechnungen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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MatheMathe
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Integralrechnung verstehen

Erfahre alles über die Integralrechnung, einschließlich orientierter und absoluter Flächeninhalte, Stammfunktionen und die Anwendung der Integrationsregeln. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Konzepte und deren Berechnung, ideal für Studierende der Mathematik.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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