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Aktualisiert Mar 18, 2026
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Mathematik: Grundlagen der Analysis
Jule
@jule_caro
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Rekonstruktion von Bestandsfunktionen
Stell dir vor, du kennst nur die Geschwindigkeit eines Autos zu jedem Zeitpunkt - kannst du daraus berechnen, wie weit es gefahren ist? Genau das machst du bei der Rekonstruktion von Bestandsfunktionen aus Änderungsratenfunktionen.
Positive Änderungsrate bedeutet Zunahme des Bestands, negative Änderungsrate bedeutet Abnahme. Die Fläche unter dem Graphen der Änderungsratenfunktion gibt dir den aktuellen Bestand an.
Bei orientierten Flächeninhalten zählen Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ. Das Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens - aus f'(x) machst du wieder f(x).
Merke: Eine Stammfunktion F(x) zu f(x) erfüllt: F'(x) = f(x). Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante C.
Stammfunktionen und Integralfunktionen
Die wichtigsten Stammfunktionsregeln sind super einfach: Bei der Potenzregel erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten. Aus x² wird also ⅓x³.
Faktorregel und Summenregel funktionieren genauso wie beim Ableiten - konstante Faktoren bleiben stehen, Summen integrierst du einzeln.
Die Integralfunktion I_a(x) ordnet jedem x-Wert den orientierten Flächeninhalt zwischen a und x zu. Sie startet immer bei null: I_a(a) = 0.
Wichtig: Der Hauptsatz der Integralrechnung besagt: Die Ableitung einer Integralfunktion ist die ursprüngliche Funktion. Integralfunktionen sind also Stammfunktionen!
Der Hauptsatz und bestimmte Integrale
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnest du bestimmte Integrale durch: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Du setzt die Grenzen in die Stammfunktion ein und subtrahierst.
Verschiedene Integrationsvariablen können verwirrend sein. Das dx, dt oder du zeigt dir, nach welcher Variable integriert wird. Wenn x sowohl in der Funktion als auch als Grenze vorkommt, verwende besser t für die Funktion.
Dein GTR kann Integrale numerisch berechnen - die Ergebnisse sind meist Näherungswerte, aber sehr genau.
Tipp: Bei Verwechslungsgefahr schreibst du die Funktion als f(t) und integrierst ∫f(t)dt, wenn x als Grenze auftritt.
Flächenberechnung zwischen Graphen
Flächenberechnung mit Integralen hat eine goldene Regel: Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Beträge addieren! Sonst heben sich positive und negative Bereiche auf.
Liegt der Graph komplett über oder unter der x-Achse, rechnest du einfach A = ∫[a bis b] f(x)dx. Hat er Nullstellen, teilst du das Intervall auf und nimmst Beträge.
Für Flächen zwischen zwei Graphen bildest du die Differenzfunktion f(x) - g(x). Auch hier gilt: An Schnittstellen aufteilen und Beträge verwenden.
Faustregel: Immer von Schnittpunkt zu Schnittpunkt rechnen und die Beträge aller Teilflächen addieren - so gehst du auf Nummer sicher!
Integrale richtig aufschreiben und rechnen
Die Integrationsvariable bestimmt, wonach du integrierst. Bei ∫t·x²dx behandelst du t wie eine Zahl, bei ∫t·x²dt ist x die Konstante. Das macht einen riesigen Unterschied im Ergebnis!
Der allgemeine Aufschrieb ∫[a bis b] f(x)dx = [F(x)]ᵇₐ = F(b) - F(a) ist deine Standard-Formel. Die eckigen Klammern zeigen: Stammfunktion gefunden, jetzt Grenzen einsetzen.
Die Integrationskonstante C verschwindet bei bestimmten Integralen automatisch durch die Subtraktion F(b) - F(a). Deshalb brauchst du sie bei der Flächenberechnung nicht.
Praktisch: Dein GTR gibt dir das Ergebnis in Flächeneinheiten (FE) aus - perfekt für Klausuren und zur Kontrolle deiner Rechnungen!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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4.6/5
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Mathematik: Grundlagen der Analysis
Jule
@jule_caro
Integralrechnung ist das Gegenteil vom Ableiten und hilft dir, Flächeninhalte zu berechnen und Bestände aus Änderungsraten zu rekonstruieren. Du lernst hier, wie du aus einer Änderungsratenfunktion die ursprüngliche Funktion zurückgewinnst und Flächen zwischen Graphen berechnest.
Rekonstruktion von Bestandsfunktionen
Stell dir vor, du kennst nur die Geschwindigkeit eines Autos zu jedem Zeitpunkt - kannst du daraus berechnen, wie weit es gefahren ist? Genau das machst du bei der Rekonstruktion von Bestandsfunktionen aus Änderungsratenfunktionen.
Positive Änderungsrate bedeutet Zunahme des Bestands, negative Änderungsrate bedeutet Abnahme. Die Fläche unter dem Graphen der Änderungsratenfunktion gibt dir den aktuellen Bestand an.
Bei orientierten Flächeninhalten zählen Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ. Das Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens - aus f'(x) machst du wieder f(x).
Merke: Eine Stammfunktion F(x) zu f(x) erfüllt: F'(x) = f(x). Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante C.
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Stammfunktionen und Integralfunktionen
Die wichtigsten Stammfunktionsregeln sind super einfach: Bei der Potenzregel erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten. Aus x² wird also ⅓x³.
Faktorregel und Summenregel funktionieren genauso wie beim Ableiten - konstante Faktoren bleiben stehen, Summen integrierst du einzeln.
Die Integralfunktion I_a(x) ordnet jedem x-Wert den orientierten Flächeninhalt zwischen a und x zu. Sie startet immer bei null: I_a(a) = 0.
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Der Hauptsatz und bestimmte Integrale
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnest du bestimmte Integrale durch: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Du setzt die Grenzen in die Stammfunktion ein und subtrahierst.
Verschiedene Integrationsvariablen können verwirrend sein. Das dx, dt oder du zeigt dir, nach welcher Variable integriert wird. Wenn x sowohl in der Funktion als auch als Grenze vorkommt, verwende besser t für die Funktion.
Dein GTR kann Integrale numerisch berechnen - die Ergebnisse sind meist Näherungswerte, aber sehr genau.
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Flächenberechnung zwischen Graphen
Flächenberechnung mit Integralen hat eine goldene Regel: Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Beträge addieren! Sonst heben sich positive und negative Bereiche auf.
Liegt der Graph komplett über oder unter der x-Achse, rechnest du einfach A = ∫[a bis b] f(x)dx. Hat er Nullstellen, teilst du das Intervall auf und nimmst Beträge.
Für Flächen zwischen zwei Graphen bildest du die Differenzfunktion f(x) - g(x). Auch hier gilt: An Schnittstellen aufteilen und Beträge verwenden.
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Die Integrationsvariable bestimmt, wonach du integrierst. Bei ∫t·x²dx behandelst du t wie eine Zahl, bei ∫t·x²dt ist x die Konstante. Das macht einen riesigen Unterschied im Ergebnis!
Der allgemeine Aufschrieb ∫[a bis b] f(x)dx = [F(x)]ᵇₐ = F(b) - F(a) ist deine Standard-Formel. Die eckigen Klammern zeigen: Stammfunktion gefunden, jetzt Grenzen einsetzen.
Die Integrationskonstante C verschwindet bei bestimmten Integralen automatisch durch die Subtraktion F(b) - F(a). Deshalb brauchst du sie bei der Flächenberechnung nicht.
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Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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