Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein fundamentales Theorem, das die Beziehung zwischen Differenziation und Integration beschreibt.
Highlight: Der erste Teil des Hauptsatzes besagt, dass für eine Stammfunktion F einer Funktion f im Intervall a;b gilt: ∫ᵃᵇ fx dx = Fb - Fa
Diese Formel ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale durch die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an den Intervallgrenzen.
Weitere wichtige Eigenschaften des bestimmten Integrals werden vorgestellt:
- ∫ᵃᵃ fx dx = 0
- ∫ᵃᵇ fx dx + ∫ᵇᶜ fx dx = ∫ᵃᶜ fx dx
- ∫ᵃᵇ kfx dx = k ∫ᵃᵇ fx dx Faktorregel
- ∫ᵃᵇ f(x + gx) dx = ∫ᵃᵇ fx dx + ∫ᵃᵇ gx dx Summenregel
Example: Berechnung eines bestimmten Integrals: ∫₁³ 2x−x3 dx = (2/3)x3−(1/4)x4₁³ = 3,15 - 14,0625 = -10,9125
Diese Eigenschaften und Regeln sind fundamental für die Anwendung der Integralrechnung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik, insbesondere bei der Rekonstruktion von Funktionen und der Berechnung von Flächeninhalten.