Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein fundamentales Theorem, das die Beziehung zwischen Differenziation und Integration beschreibt.
Highlight: Der erste Teil des Hauptsatzes besagt, dass für eine Stammfunktion F einer Funktion f im Intervall [a;b] gilt: ∫ᵃᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)
Diese Formel ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale durch die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an den Intervallgrenzen.
Weitere wichtige Eigenschaften des bestimmten Integrals werden vorgestellt:
- ∫ᵃᵃ f(x) dx = 0
- ∫ᵃᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx = ∫ᵃᶜ f(x) dx
- ∫ᵃᵇ kf(x) dx = k ∫ᵃᵇ f(x) dx (Faktorregel)
- ∫ᵃᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ᵃᵇ f(x) dx + ∫ᵃᵇ g(x) dx (Summenregel)
Example: Berechnung eines bestimmten Integrals: ∫₁³ (2x - x³) dx = [(2/3)x³ - (1/4)x⁴]₁³ = 3,15 - 14,0625 = -10,9125
Diese Eigenschaften und Regeln sind fundamental für die Anwendung der Integralrechnung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik, insbesondere bei der Rekonstruktion von Funktionen und der Berechnung von Flächeninhalten.