Einfach erklärt: Rekonstruktion von Funktionen und Aufgaben mit Lösungen

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sara

5.12.2022

Mathe

Integralrechnung

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Integralrechnung

Stammfunktion bilden

Einfach erklärt: Rekonstruktion von Funktionen und Aufgaben mit Lösungen

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bildet die Grundlage für die Rekonstruktion von Beständen und die Berechnung bestimmter Integrale. Er verbindet Differenzial- und Integralrechnung und ermöglicht die Berechnung von Flächeninhalten unter Funktionsgraphen.

Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen und stellt eine Verbindung zwischen Stammfunktionen und bestimmten Integralen her
Er ermöglicht die Berechnung von Flächeninhalten und die Rekonstruktion von Funktionen aus ihren Ableitungen
Wichtige Konzepte sind Stammfunktionen, unbestimmte und bestimmte Integrale, sowie Integrationsregeln

5.12.2022

Sll Nr1
1. Einführung in die Intergralrechnung
11 Rekonstruktion von Beständen
Wasse fluss
3 Mio
2 Mio
IMIO
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400.000
Intervall
[a;x]
[x₁x₂]

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Stammfunktion und bestimmtes Integral

Dieses Kapitel führt zentrale Konzepte der Integralrechnung ein: Stammfunktionen und bestimmte Integrale.

Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn f die Ableitung von F ist: F' $x$ = f $x$ .

Die Beziehung zwischen Ableiten und Aufleiten $Integrieren$ wird erläutert, wobei das Integrieren als Umkehrung des Ableitens verstanden werden kann.

Vocabulary: Das unbestimmte Integral ∫f $x$ dx stellt die allgemeine Form einer Stammfunktion dar.

Wichtige Integrationsregeln werden vorgestellt:

Potenzregel: ∫xⁿ dx = $1/(n+1$ )xⁿ⁺¹ + C $für n ≠ -1$
Faktorregel: Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden
Summenregel: Eine Summe von Funktionen kann gliedweise integriert werden

Example: ∫x² dx = $1/3$ x³ + C

Diese Regeln bilden die Grundlage für die Berechnung von Stammfunktionen und sind essentiell für die Anwendung der Integralrechnung.

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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein fundamentales Theorem, das die Beziehung zwischen Differenziation und Integration beschreibt.

Highlight: Der erste Teil des Hauptsatzes besagt, dass für eine Stammfunktion F einer Funktion f im Intervall $a;b$ gilt: ∫ᵃᵇ f $x$ dx = F $b$ - F $a$

Diese Formel ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale durch die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an den Intervallgrenzen.

Weitere wichtige Eigenschaften des bestimmten Integrals werden vorgestellt:

∫ᵃᵃ f $x$ dx = 0
∫ᵃᵇ f $x$ dx + ∫ᵇᶜ f $x$ dx = ∫ᵃᶜ f $x$ dx
∫ᵃᵇ kf $x$ dx = k ∫ᵃᵇ f $x$ dx $Faktorregel$
∫ᵃᵇ $f(x$ + g $x$ ) dx = ∫ᵃᵇ f $x$ dx + ∫ᵃᵇ g $x$ dx $Summenregel$

Example: Berechnung eines bestimmten Integrals: ∫₁³ $2x - x³$ dx = $(2/3)x³ - (1/4)x⁴$ ₁³ = 3,15 - 14,0625 = -10,9125

Diese Eigenschaften und Regeln sind fundamental für die Anwendung der Integralrechnung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik, insbesondere bei der Rekonstruktion von Funktionen und der Berechnung von Flächeninhalten.

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Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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5. Dez. 2022

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Einfach erklärt: Rekonstruktion von Funktionen und Aufgaben mit Lösungen

sara

@saraxsxs

Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen und... Mehr anzeigen

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Stammfunktion und bestimmtes Integral

Dieses Kapitel führt zentrale Konzepte der Integralrechnung ein: Stammfunktionen und bestimmte Integrale.

Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn f die Ableitung von F ist: F' $x$ = f $x$ .

Die Beziehung zwischen Ableiten und Aufleiten $Integrieren$ wird erläutert, wobei das Integrieren als Umkehrung des Ableitens verstanden werden kann.

Vocabulary: Das unbestimmte Integral ∫f $x$ dx stellt die allgemeine Form einer Stammfunktion dar.

Wichtige Integrationsregeln werden vorgestellt:

Potenzregel: ∫xⁿ dx = $1/(n+1$ )xⁿ⁺¹ + C $für n ≠ -1$
Faktorregel: Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden
Summenregel: Eine Summe von Funktionen kann gliedweise integriert werden

Example: ∫x² dx = $1/3$ x³ + C

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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein fundamentales Theorem, das die Beziehung zwischen Differenziation und Integration beschreibt.

Highlight: Der erste Teil des Hauptsatzes besagt, dass für eine Stammfunktion F einer Funktion f im Intervall $a;b$ gilt: ∫ᵃᵇ f $x$ dx = F $b$ - F $a$

Diese Formel ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale durch die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an den Intervallgrenzen.

Weitere wichtige Eigenschaften des bestimmten Integrals werden vorgestellt:

∫ᵃᵃ f $x$ dx = 0
∫ᵃᵇ f $x$ dx + ∫ᵇᶜ f $x$ dx = ∫ᵃᶜ f $x$ dx
∫ᵃᵇ kf $x$ dx = k ∫ᵃᵇ f $x$ dx $Faktorregel$
∫ᵃᵇ $f(x$ + g $x$ ) dx = ∫ᵃᵇ f $x$ dx + ∫ᵃᵇ g $x$ dx $Summenregel$

Example: Berechnung eines bestimmten Integrals: ∫₁³ $2x - x³$ dx = $(2/3)x³ - (1/4)x⁴$ ₁³ = 3,15 - 14,0625 = -10,9125

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Einführung in die Integralrechnung

Die Einführung in die Integralrechnung befasst sich mit der Rekonstruktion von Beständen anhand von Änderungsraten. Am Beispiel eines Wasserflusses wird gezeigt, wie sich der Wasserbestand über die Zeit verändert.

Example: Ein Wasserbecken hat ein Startvolumen von 500.000 m³. Der Zufluss variiert über 24 Stunden zwischen -200.000 m³/h und 400.000 m³/h.

Die Änderung des Bestands wird durch Rechtecke dargestellt, deren Flächen den Zu- oder Abfluss in bestimmten Zeitintervallen repräsentieren.

Highlight: Die Änderung der Größe F über ein Intervall entspricht geometrisch dem Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks zwischen dem Graphen von f und der x-Achse.

Negative Flächen unterhalb der x-Achse stellen einen Abfluss dar. Diese geometrische Interpretation führt zum Konzept des orientierten Flächeninhalts.

Definition: Der orientierte Flächeninhalt berücksichtigt sowohl positive als auch negative Flächen und ist grundlegend für das Verständnis von Integralen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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