Einführung in die Integralrechnung

Die Einführung in die Integralrechnung befasst sich mit der Rekonstruktion von Beständen anhand von Änderungsraten. Am Beispiel eines Wasserflusses wird gezeigt, wie sich der Wasserbestand über die Zeit verändert.

Example: Ein Wasserbecken hat ein Startvolumen von 500.000 m³. Der Zufluss variiert über 24 Stunden zwischen -200.000 m³/h und 400.000 m³/h.

Die Änderung des Bestands wird durch Rechtecke dargestellt, deren Flächen den Zu- oder Abfluss in bestimmten Zeitintervallen repräsentieren.

Highlight: Die Änderung der Größe F über ein Intervall entspricht geometrisch dem Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks zwischen dem Graphen von f und der x-Achse.

Negative Flächen unterhalb der x-Achse stellen einen Abfluss dar. Diese geometrische Interpretation führt zum Konzept des orientierten Flächeninhalts.

Definition: Der orientierte Flächeninhalt berücksichtigt sowohl positive als auch negative Flächen und ist grundlegend für das Verständnis von Integralen.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein fundamentales Theorem, das die Beziehung zwischen Differenziation und Integration beschreibt.

Highlight: Der erste Teil des Hauptsatzes besagt, dass für eine Stammfunktion F einer Funktion f im Intervall [a;b] gilt: ∫ᵃᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

Diese Formel ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale durch die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an den Intervallgrenzen.

Weitere wichtige Eigenschaften des bestimmten Integrals werden vorgestellt:

1. ∫ᵃᵃ f(x) dx = 0
2. ∫ᵃᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx = ∫ᵃᶜ f(x) dx
3. ∫ᵃᵇ kf(x) dx = k ∫ᵃᵇ f(x) dx (Faktorregel)
4. ∫ᵃᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ᵃᵇ f(x) dx + ∫ᵃᵇ g(x) dx (Summenregel)

Example: Berechnung eines bestimmten Integrals: ∫₁³ (2x - x³) dx = [(2/3)x³ - (1/4)x⁴]₁³ = 3,15 - 14,0625 = -10,9125

Diese Eigenschaften und Regeln sind fundamental für die Anwendung der Integralrechnung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik, insbesondere bei der Rekonstruktion von Funktionen und der Berechnung von Flächeninhalten.