Analysis

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Verdopplungszeit ty = ln (1) tvo ln(2) K Verschiebung nach oben, in positiver y-Richtung Verschiebung nach unten, in negativer y-Richtung eº=1 ->e^=e →ex. ey sexy Gegenspieler zu e* _ en (.) Logarithmengesetze: en (ab) = ln (a) + en (b) ln (2) = ln (a)- In (b) In (a) b. in (a) Stauchung und Streckung: Funktion muss mit c multipliziert werden C> 1 = Streckung (schmaler) 0< c < 1 = Stauchung (breiter) ·Spiegelung: Umkehr funktion: Sekante x-Achse, wenn ·an y-Achse, wenn f(-x) an Tangente y = m. x +b -> nach x ! nicht jede Funktion hat eine Umkehr funktion! Normale _fp = jeder y-wert Sekante, Tangente Sekantengleichung aufstellen: geg: fal = 3x² +1 P₁ (-11 f(-1)) P₂ (21f (2)) y²-y₁ x₂ - x^ Für b: mu. Vorgehen Allgemeine Geraden gleichung: y=m₁x+b => Für m: Steigung durch zwei Punkte (2) m= Schneidet fa) in zwei Punkten Sekantensteigung beschreibt Änderung von fal im Bereich zwischen den Schnittpunkten P₁ und P₂ -nach b einen Punkt p auflösen · Tangentengleichung aufstellen: = (-1) jeder x-Wert (-1) 3 für auflösen geg · Schneidet fax) in einem Punkt Po Tangentensteigung m tan in einem beliebigen Punkt Po (5) für b: m und y in -> nach einsetzen in f(x) beschreibt die Steigung 6 auflösen Vorgehen Allgemeine Geraden gleichung: y = mx +b => ges: m.b Ableitung bestimmen f'll, hier f'm = m = 6x fel = 3x² +1 x-West: P11 ful) und Normale = Steigung der momentanen Anderung Y x-Wert in fal einsetzen: fal = 8.1² +1 = 4 (4) für m: x-Wert in fil einsetzen: fal = 6.1 > m= 6 fal einsetzen ges: m.b othonogal zur Tangente Normalensteigung ist negativer Kehrwert der Tangentensteigung Mnorm=-=-F'(x) Normal engleichung aufstellen: geg fal = 3x² +1 x-West: P11 ful) 3 für m - - 승 (4) für b: m und P (114) in fiel einsetzen -> nach 6 auflösen Vorgehen Allgemeine Geraden gleichung: y=m₁x+b => 2 Ableitung bestimmen f'lll, hier f'll = m = 6 ges: m.b P₁ K₂ X₂-%₂ T Sehante fors Ja Tangente Normale Tangente ABLEITUNGSREGELN GRUNDLAGE ableiten JM Regel für konstante Summanden: fix) = g(x) + C => f' x₁ = g'(x) • 1. Ableitung: • 2. Ableitung. • Funktion definieren: f(x):. GRAFISCHES ableiten aufleiten LUND KETTENREGEL PRODUKTREGEL Faktorregel f = FORMEL Potenzregel: f(x) = x² menu => Analysis => Ableitung d (fxi) Ableitungstipps Summenregel: f = gm tha) → f'm - g'as + hat Geometrisch Ableitung von FAI = liegt xo dem liegt dem Xo f₁ (x):= f₁ M = f₂ (x1=(f₁) f₂x:= in einem Bereich, in in einem Bereich, in Funktion f 1. Ableitung f = 2. Ableitung f = Ableitungen 1 Kochpunkt. 1 Tiefpunkt. 1 Wendepunkt a gk) -> Ganzrationale Funktion dritten Gracks: тура Typ I = = -> x = = X₁X₂ = - = √²-9² Fertig Fertig Fertig Verkettete Funktionen f'(x) = nx 4 → 2e* = 2e* f'ox = a. g'm J4f kein lokaler Extrempunkt, 1 Sattelpunkt n-1 fal=0x²+bx² + cx+d, a>0 Typ III f(x) = y hen Cohaler Extrempuntet 1 werdepant fix=> f'xl = 6x5 fx) = x + 10 -> →=-(-)" -> x°-^ -> e²x=2e²x f(x1= 2.5x² Tangentensteigung die Kurve steigt, gilt f'AI >O die Kurve fällt, gilt f'AI CO f(x) = x² + x² Solve (f) = 0₁ x) = x= ... f auflösen (før = g(h(x)) Wir schreiben kurz (Y)` _ u'v-~ v' V2 Wenn die Funktionen u und v die Ableitung u' und v' haben, so hat die f'M = UK) VA) + u(x) · v'(x) Funktion f mit. FAI - UNI UX) die Ableitung Wir schreiben kurz (u.v)' = u'.vtu.v². ->x - xm = Quolienensegel - Wenn die Funktionen u und u die Ableitung u' und v' haben, dann hat die Funktion f mit fpl = VAI mit VA 0 die Ableitung f'Al= U'M. J'AI - UK). VAL VO² Nullstelle der f"M = Extrempunkt in f(x) f'xx) = 6 x 7x7 fa-2.5-2x = Sx →> fx = 2x + 6 x 5 = xm-n By -> (en (F₂))" f)(x²-2) 2 ww your ent => fiv=u²v+u.v² = 2x e-2x + (x².2)-(-2²) 1 = f(x) f(x)' → √√√ry" = -√ Wendepunkt in পথিম f(x) Nullstellen Extremstellen: f'(x) = 0 = x₁ f" O = xi f(x) = 0 URVENDIS →x in f (x) einsetzen →> <O x in Krümmung: Linkskurve x in (Vorzeichen wechselt. f "(x) einsetzen →>>O (Vorzeichen wechselt von - einsetzen >= 0 f" w * 0). f "(x) (SP in Wendestellen f"(x) = O=x; -> x in f" einsetzen -> #0 f" (x) 0 -> -> x; in f" einsetzen. -> x in f" einsetzen -> -> x; in f" einsetzen -> = O < 0 >O = = fällt 1 f (x) >0 USSION Rechtskurve f"x1 <0 Vorgehen: x-Wet rechts I links vom WP in f" einsetzen ausrechnen. positiv steigt = linksgeknimmt rechtsgehnimmt negativ I für links ausrechnen -> rechts ist Gegenteil links ist Gegenteil für rechts ausrechnen -> Grenzuerhalten: Verhalten im Unendlichen: Vorgehen: f'(x) = 0 = x₁, x2 fal=x²-8x² +8; g(x)=x² Furxo läuft f(x) => +∞o, für x +∞o läuft f(x) →→→ +00 Monotonie (Steigungsverhalten): f'(x) = 0 => fax) ist fx = 0 x , f' streng monoton steigend 1 Der Graph jeder ganzrationalen Funktion f mit fix = anth + an. 1+n-1 +...+9₁x +ão Verhält sich im Unendlichen wie der Graph von g = ant" Beispiel: fl f'(x) > 0 f HX) - O => fal ist streng L> streng monoton bedeutet hierbei, dass den Wet O annimmt! an keiner Stelle = Wendepunkt (x; | foxl) < -> Vorzeichenwechsel bei x; links-rechts-Wendestelle rechts-links-Wende stelle ·X-Wert Links/rechts von Nullstelle in f' einsetzen ausrechnen. positiv = steigt negativ = fällt streng monoton fallend an > O anco monoton wachsend / steigend fallend monoton => fal ist => f(x) ist streng monoton wachsend / steigend fallend n gerade ✓ V monoton f'(x) von + nach - ) nungerade 1 nacht +). in f" ? Hochpunkt = Tiefpunkt Sattelpunkt = Ja Symmetrie Punktsymmetrie: . f (x) Intervalls Achsen symmetrie: Warte bereich: -> x=0 Definitions bereich Achsenabschnitt: Achsen abschnitte mit der y-Achse -> f(0) = -> Sy = (01...) Achsen abschnitt mit der [a,b) (9.63 (a,b) bestent Lineare -> -fax) = symmetrisch zum Ursprung Potenz ungerade in fox) (minus bleibt vorhanden, 2 haben sich auf) f(-x)3 =(-x). (x).(-x) lineare Gleichung lineares Gleichungssystem f(-x) = fx Potenz gemeinsame Schnitt punkte Schreibweise Mengenschreibweise [a,b] {XER la ≤x≤ b} {x ER la ≤ x <b} {XER/a < x≤ b} {x €R[a< x <b} = ·besteht aus Zahlen, die eingesetzt, werden dürfen (x-Werte) aus Was sind LSG ? Zusammenhang zwischen zwei Geraden parallel -> identisch gerade in faxl quadratisches Gleichungssystem m =n unbestimmtes Gleichungssystem Gleichungssystem M≤n überstimmtes 3 Folle für Lösungen -> eindeutige Lösung : x₁ = 5₁ x2=2 -> keine Lösung 3=4 -> unendlich viele Lösungen: 0=0 symmetrisch zur y-Achse (Gegenteil oben) m> x-Achse = Nullstelle! Typ geschlossen halb- offen halb-offen offen authoor Gleichgesysteme zwei Gleichungen, eine Unbekannte -> mehrere Gleichungen, mehrere Unbekannte => 3 Gleichungen & 3 Unbekannte => 2 Gleichungen & 3 Unbekannte => 3 Gleichungen & 2 Unbekannte Zahlen, die man beim einsetzen erhält (y-werte) LL EX ₁=5₁x² = 23 LLE 3 L EXER} über Lösungsverfahren: Additionsverfahren: Entscheiden, welche Unbekannte eleminieren Wie fällt unbekannte weg? Berechne Unbekannte Einsetzungsverfahren: Auflösen einer Gleichung nach Variablen Einsetzen des für diese Variablen berechneten. Terms in andere Glichungen 3 Auflösen der so entstandenen Gleichungen Einsetzen der Lösung in die Gleichung, die im 1. Schritt berechnet wurde, mit anschließender Berechnung der Variablen Gleichsetzungsverfahren: Auflösen beider Gleichungen nach der gleichen Variablen Gleichsetzen der anderen Seiten der Gleichung Auflösen der so entstandenen Gleichung nach der GTR Beispiel: enthaltenen Variablen 4 Einsetzen der Lösung in eine der umgeformten Gleichung aus Schritt 1 mit anschließender Berechnung der Variablen. 4a + b = 8 - 2a + b = -11. (-1) damit bund b sich aufheben Чать=8 2a - b= 1 | 4/₁ + b = 8 | 116 9 6a Beispiel: 4a +b =8 -2a+b= -1 + 2a 4a +b = 8 b= -1 +2a 4a+ (1+20) = 8 b= -1 +2a ба-1 b= -1 +2a Beispiel: 4a+b = 8/1-49 |-2a+b=-1| + 2a 8-4a 8 9 =8 1+1 b= 8-4a b = -1+2a =-1+2a 1+49 = −1+6a 1+ i 6a menu 13: Algebra, 7: Gleichungssystem lösen, 2: System linearer Gleichungen lösen..., 1: Gleichungssystem lösen Integrabalrechnung a oben einsetzen b ausrechnen ва = 9 b= -1 +2a a unten einsetzen b ausrechnen a unten einsetzen b ausrechnen 1:6 + Mathe lernzettel 12. Sem. 1 • Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand (rekonstruieren. -f beschreibt Änderungsrate über Intervall [a,b] F(b) - F(a) = A₁ + A₂ + A3 + A4 F(b) = F (@) + A₁ + A₂ - A3 +A4 ↑v 14 A 14 F(a) Az +An X₂ -A3 AH addieren -A3 V- X3 +Ay einer = Große F • = definiert o=undefiniert Anderungsrate + Aufgabe an Anderungsrate - man liest benötigten Intervall breiten u. Funktionswerte aus Graphen Flachen unterhalb +-Achse Teil flächen eues rechnen (a.b) Teil flächen BS 46 M Bestandsrate negatives (-) Vorzeichen 27.11.19 Ⓒ ● Das Integral als Grenzwert von beschreiben - f ist über (1) Intervall [a, b] in n° der Breite 4x auf Ax= b-a n My 9911 (3) Streben der die So für Die Man Intervall [ab] definiert. gleichbreite (2) Bestimmung zugehöriger Produktsumme [a; b] S₁ = 4x fal + Ax. f(x₁) f (xn_^) Bahl dann Produktsumme gegen eine Zahl, der Produktsumme Definition Gegeben ist eine Funktion f, die über einem Intervall [a; b] definiert ist. Das Integral von f von a bis b ist eine Zahl, die man wie folgt erhält: (1) Man teilt das Intervall [a; b] in n gleich- breite Teilintervalle der Breite Ax auf: Ax=b-a n S so ed Grenzwert Grenzwerte nennt man Integral von f von abiso b Schreibt dafür: lim Sn = S fix dx a (3) Man untersucht, wie sich diese Produkt- summen für immer größere n verhalten, also zum Beispiel S100, S500, S1000 S500000... Streben diese Produktsummen gegen eine Zahl, so ist diese Zahl der Grenzwert der Produktsummen S, für n→→∞o. Diesen Grenzwert nennt man das Integral von f von a bis b. Man schreibt dafür: lim S₁ = =f(x) dx Produntsummen. ne Anzahl y X (2) Man bestimmt die zugehörige Produktsumme: S = Ax-f(a) +Ax-f(x₁) + Ax-f(x₂) + Ax-f(x3)+...+Ax-f(x-1) = Ax-(f(a) + f(x₁) + f(x₂) + f(x3)+...+ f(x-1)) y Teilintervalle a X1 X2 X3... Ax Ax Ax S Geometrische Interpretation des Integrals Das Integral [f(x) dx ergibt sich aus den Flächeninhalten aller Flächen zwischen dem Graphen von f und der x-Achse von a bis b. Flächeninhalte von Flächen, die oberhalb der x-Achse liegen, werden addiert, Flächeninhalte von Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen werden subtrahiert: f(x) dx = A₁ - A₂ + Az t: ]f(x) dx = A + A₁ -A₂ +A31 b X ▬▬▬▬▬▬▬▬ 0 C | | | | | Mathelernzettel 12 Sem. 1 Summenzeichen: S10 Intervall [27] 7-2 10 Ax= 9 0.$. Σ € (2+0.Sk) h=0 = 0.5 • Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung geometrisch- anschaulich begninden -Stamm funktion = F(x) = f(x) ↳ Fine Funktion F heißt Stammfunktion eine f. wenn f die Ableitung von Erster Teil des Hauptsatzes der Diff. -und Integralrechnungs Fub) - F(a) ↳> [FA] = Flb) - Fer Stamm funktion einer Funktion f im Intervall [a,b] gilt: b S far dr a f(x) Zweiter Teil des Hauptsatzes der Diff.- und Integralrechnung: Für Integralfunktion la (stetige Function) gilt: la = S fit) dt von f: la ps) = fuj la von f = f ↳ Ableitung von Ls jede Integral function la von f = Stammfunktion von f 3 - zu einer Integral funktion beliebig viele Stamm- kitonen L> +C F mx $.52 f kann beliebig geändert werden. -Stammfunktionen F zu bekannten Funktionen f X EX Fist ² तल Funktion 1 +4 x" a.x"Sin costo Da 1 +4 Ints X -Cos) Sint Weiter > 28.11.19 (0) 4 Cos < • Bestimmte Integrale berechnen 1. Stamm funktion bestimmen: fixi → Feri 2. S fel dx 3. L> F(b) F(x) erst abere, dann untere Integrations grenze einsetzen Bei Sin -Sin 45 F(b) Fa Oben - Unten" = Obere integrationsgrenze von Unterer abziehen 1 Flache zwischen Fra) • Bestimmte Integrale auch im Sach zusammenhang denten, als (re-) konstruierter insbesondere Bestand Anderungsrate auf Aufmerksam lesen. Extrema beachten Cos 2. Flächen b ↳ Ş fai da - auflenen • Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind, bestimmen. durch - Achse begrentzt: 1. Stamm funktion bilden: for - FAX) bestimmen 2. Nullstellen (fon = 0) 3. Teil machen bestimmen (A₁, A2, A3.... 3.1 (mit: Bestimmte Integrale berechnen [1.4.]) 3.2 für negative Teilintervalle Betrage bilden Les gibt keinen negativen Flächeninhalt 4. Ages = A + A ₂ + A3.... zwei Mo Nullstellen achten Graphen! 1. F durch + - Achse begrentat) für beide Graphen machen von einander gan dx = 3 fas - gai dir a abziehen (im Betrag) = A ges 9 。 Matheleinzettel 12. Sem. 1. Integral- und Stammfunktion unt unterscheiden Jede Integralfunktion ist auch eine Stammfunktion ↳ umgekehrt nicht! -> Konstante Ya C ist ausschlaggebend 1 Je →x 28.11.19 6 • F₁ u. F₂ an jeder stellex gleiche Steigung •FF = f(x) Stamm funktion Stamm funktion = Fal FAI Ableiten = Beispid Fα₁ = 3x² ||| Integralrechaung + Aufleiten" M/N x fai D 3x -4 3x1-4° 2 1 Ableiten "Aufleiten" for Au fleitung fly fix = 6 x = x kann sowohl x ²₁ x ² + 3 oder x²+ k E für Steigung Jalso für Auf-und Ableitung frelevant Stamm Gun Hition bilden: Hochzah erhöhen - durch Hochzahl teilen - Winter +k 23 Probe: wieder Ableiting bilder libung H S 115 f₁(x₁ = 6 4x²-3x tk 2x²-3x +k f(x) = $√√x² = Sx FEI 715 X +k 1015 • fal. F&x1 = 3.-1 of X 1+ 04 11 19 +k +k eine Funktion mit einem Buchstaben statt unendlich viele Kurvenuntersuchungen auf einmal allgemeingültiger Beim Ableiten und Integrieren mit Parametern: aufleiten • X x= € 10 fa(x) 2a a² Höhe a a² a-1 2ax 9a²² ar4-4ax +q³ 4ar³ - 4a a²x (a - 1)x ar² 3a²³ 30 ableiten ax x Koordinate der Extremen 1 : Wendepunkite etc. bestimmen in fa einsetzen 31.a =a=3x Lincares Wachstum -Som /*se 1+se Ortslinie einer Funktionsschar Vorgehen zum bestimmen einer Ortslinie DIE KOORDINATEN FÜR DIE BETRACHTENTEN PUNKTE WERDEN IN ABHÄNGIGKEIT VON PARAMETER BESTIMMT Die Gleichung für die *- Koordinate wird nach dem Parameter auf gelöst Damit wird der Linearer Zerfall z.B. monatliches Taschengeld f(x) 0 Parameter in der Gleichung für die y-Koordinate Die entstandene Gleichung beschreibt die Ortlinie Beispiel BS 371+ 2 c) fax)= x²(x-a) geg: z.B. abbrennende Kerze 0 -5cm Zeit t lineare Wachstumsprozease: 10 exponentielle Wachstumsprozesse. I 10 €+5%-105 in y Exponentielles Wachstum Scharfunktion Atom-5--095 fa(x) :fa (3) = = = ².9²³ +5% z.B. Geld auf Konto (Zinses-Zins) -5% ,aer Exponentieller Zerfall a a² ax a²r ar² a(r³-a) oder ar³ - a² a²x¹ax + a³ ²5-r²+a³r a(x¹ - ax) z.B. radioaktiver Zerfall von Atomen F₂(x) einsetzen = ax f₁" x = 0 -> x= a²x : einer -> WP ( 12/21 - 12/2³) 27 (8x)³ = -2x3 ACHSTUMSPROZESSE = 3 Zahl • Bestand mit einer gleichmäßigen Entwicklung in jeder Zeitspanne immer gleiche Menge + /- beschrieben mit y=m₁x+b o. B(t) = m.t + b (Geraden) ersetzt · Zunahme oder Abnahme immer proportional zum Bestand L> beim Bestand kommt immer. der gleiche protentuale Anteil dazu Startwert. Basis * mit e>1 als Wachstums faktor e< 1 als Zer fall faktor Funktionsgleichung: Endwert = f(x)=s.b* / fit) = a. et f(t) = f(o) .ekt logistische Wachstum sprozesse: begrenzte Wachstumsprozesse: f(t) = f(t) (1 = f(o). S fo) + (S-fo))-3.k.t Stae -kt } erst exponentielles, dann begrenztes Wachtsun