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Rechengesetze und Binomische Formeln: Mathe PDF für dich!

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Emily

26.9.2021

Mathe

Mathe GK Zusammenfassung

Rechengesetze und Binomische Formeln: Mathe PDF für dich!

Die mathematischen Grundregeln und Gesetze bilden das Fundament für fortgeschrittene Berechnungen.

Die wichtigsten Rechengesetze in der Mathematik umfassen das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz. Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge bei der Addition und Multiplikation beliebig ist (a + b = b + a). Das Assoziativgesetz erlaubt es, die Klammersetzung bei mehreren Summanden oder Faktoren zu ändern ((a + b) + c = a + (b + c)). Das Distributivgesetz beschreibt die Verteilung der Multiplikation über eine Summe (a · (b + c) = a · b + a · c). Diese Gesetze sind besonders wichtig für das Vereinfachen von algebraischen Ausdrücken.

Die Binomischen Formeln sind spezielle algebraische Ausdrücke, die häufig beim Quadrieren von Summen und Differenzen verwendet werden. Die erste binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² und die zweite binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² sind grundlegend für viele mathematische Berechnungen. Die dritte binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b² wird oft zur Faktorisierung verwendet. Bei der Differentialrechnung spielen die Ableitungsregeln eine zentrale Rolle. Die Potenzregel (x^n)' = n · x^(n-1) ist dabei eine der wichtigsten Regeln. Bei der Ableitung von Exponentialfunktionen und komplexeren Funktionen kommt oft die Kettenregel zum Einsatz. Der Differenzenquotient bildet die Grundlage für das Verständnis der Ableitung und wird als Grenzwert für die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt verwendet.

Diese mathematischen Konzepte bauen aufeinander auf und sind essentiell für das Verständnis höherer Mathematik. Die Rechengesetze bilden die Basis für algebraische Manipulationen, während die binomischen Formeln spezielle Anwendungen dieser Gesetze darstellen. Die Ableitungsregeln erweitern diese Konzepte in die Differentialrechnung und ermöglichen die Analyse von Funktionen und deren Verhalten.

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26.9.2021

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Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
Klammern auflösen
Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
Bsp

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Grundlegende Rechengesetze und Binomische Formeln

Die wichtigsten mathematischen Gesetze, die Rechengesetze, bilden das Fundament des algebraischen Rechnens. Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge bei der Addition und Multiplikation beliebig ist (a+b=b+a und a·b=b·a). Das Assoziativgesetz erlaubt es, die Gruppierung von Zahlen bei Addition und Multiplikation zu ändern, ohne das Ergebnis zu beeinflussen.

Das Distributivgesetz ist besonders wichtig beim Auflösen von Klammern. Es beschreibt, wie man einen Faktor über eine Summe oder Differenz verteilt: (a+b)·c = a·c + b·c. Bei der Anwendung des Distributivgesetzes muss man besonders auf die Vorzeichen achten.

Merke: Bei einer Minusklammer kehren sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um, wenn man sie auflöst.

Die binomischen Formeln sind spezielle Anwendungen dieser Rechengesetze. Die erste binomische Formel (a+b)² = a² + 2ab + b² wird häufig beim Quadrieren von Summen verwendet. Die zweite binomische Formel (a-b)² = a² - 2ab + b² beschreibt das Quadrat einer Differenz. Die dritte binomische Formel (a+b)(a-b) = a² - b² ist die Differenz von Quadraten.

Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
Klammern auflösen
Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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Differentialrechnung und Ableitungen

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Ableitung von Potenzfunktionen und deren Anwendungen. Der Differenzenquotient ist dabei der zentrale Begriff und beschreibt die mittlere Änderungsrate einer Funktion.

Definition: Der Differenzenquotient wird berechnet durch [f(x₀+h)-f(x₀)]/h und beschreibt die Steigung einer Sekante.

Die Ableitung Potenzfunktion erfolgt nach der Potenzregel: Bei f(x)=xⁿ ist die Ableitung f'(x)=n·xⁿ⁻¹. Diese Regel gilt für alle rationalen Exponenten. Bei der Ableitung Exponentialfunktion kommen zusätzliche Regeln wie die Kettenregel zum Einsatz.

Die momentane Änderungsrate wird durch den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt. Sie gibt die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt an.

Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
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Prozent- und Zinsrechnung

Die Prozentrechnung basiert auf drei Grundgrößen: Grundwert (G), Prozentwert (W) und Prozentsatz (p%). Diese stehen in der Beziehung W = (G·p)/100.

Beispiel: Bei einem Grundwert von 500€ und einem Prozentsatz von 15% beträgt der Prozentwert 75€.

Die Zinsrechnung erweitert diese Konzepte um die zeitliche Komponente. Die Grundformel für die Zinsen (Z) lautet: Z = (K·p·t)/100, wobei K das Kapital, p der Zinssatz und t die Zeit in Jahren ist.

Bei der Zinseszinsrechnung wird das neue Kapital jeweils Grundlage für die weitere Verzinsung. Die Formel lautet: Kn = K₀·(1+p/100)ⁿ, wobei Kn das Endkapital nach n Jahren ist.

Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
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Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form f(x) = anxⁿ + an₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, wobei n der Grad der Funktion ist und die Koeffizienten an reelle Zahlen sind.

Eigenschaft: Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist immer ℝ.

Das Grenzverhalten dieser Funktionen wird durch den höchsten Exponenten und den zugehörigen Koeffizienten bestimmt. Bei geradem Grad streben beide Seiten in die gleiche Richtung, bei ungeradem in entgegengesetzte.

Die Symmetrie kann durch Einsetzen von (-x) überprüft werden. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) gilt, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) gilt.

Rechengesetze
Kommutativgesetz
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Funktionsverschiebungen und Ableitungsregeln

Die Verschiebung von Funktionsgraphen ist ein grundlegendes Konzept der Mathe Regeln. Bei der Verschiebung in y-Richtung wird der Term f(x) + d verwendet. Ein positives d bewirkt eine Verschiebung nach oben, ein negatives d nach unten.

Definition: Die Verschiebung in x-Richtung erfolgt durch f(x + c). Ein positives c verschiebt den Graphen nach links, ein negatives c nach rechts.

Bei der Streckung und Stauchung unterscheiden wir zwischen y-Richtung (a·f(x)) und x-Richtung (f(b·x)). Für a>1 erfolgt eine Streckung, für 0<a<1 eine Stauchung. Bei negativem Vorzeichen kommt eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.

Die Rechengesetze für Ableitungen umfassen wichtige Grundregeln:

  • Faktorregel: (a·f(x))' = a·f'(x)
  • Summenregel: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
  • Produktregel: (f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
  • Kettenregel: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

Beispiel: Die Ableitung Potenzfunktion x³ nach der Potenzregel: f(x) = x³ → f'(x) = 3x²

Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
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Extremwerte und Wendepunkte

Das Monotonieverhalten einer Funktion wird durch die erste Ableitung bestimmt. Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion streng monoton, bei f'(x) < 0 fällt sie streng monoton.

Merksatz: Extrempunkte treten auf, wenn f'(x) = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Ein Vorzeichenwechsel von + nach - kennzeichnet einen Hochpunkt, von - nach + einen Tiefpunkt.

Die Krümmung wird durch die zweite Ableitung beschrieben:

  • f''(x) > 0: linksgekrümmt
  • f''(x) < 0: rechtsgekrümmt
  • f''(x) = 0: möglicher Wendepunkt

Highlight: Für einen Wendepunkt muss f''(x) = 0 sein und die zweite Ableitung einen Vorzeichenwechsel aufweisen.

Die Wendetangente berechnet sich durch:

  1. Bestimmung des Wendepunkts
  2. Einsetzen in f'(x) für die Steigung
  3. Aufstellen der Tangentengleichung t(x) = mx + b
Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
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Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Bei Binomischen Formeln Übungen und Extremwertaufgaben ist eine systematische Vorgehensweise wichtig:

  1. Zielgröße durch Formel beschreiben
  2. Nebenbedingungen identifizieren
  3. Nebenbedingungen umformen
  4. Zielfunktion aufstellen
  5. Extrema berechnen
  6. Randwerte prüfen

Vokabular: Nebenbedingungen sind zusätzliche Einschränkungen, die bei der Optimierung berücksichtigt werden müssen.

Wichtige Formeln für Flächeninhalte:

  • Rechteck: A = a·b
  • Dreieck: A = (g·h)/2
  • Trapez: A = (a+c)·h/2

Die Extremstellen können auch am Rand des Definitionsbereichs liegen. Eine vollständige Lösung erfordert daher immer auch eine Randwertbetrachtung.

Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
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Steckbriefaufgaben und Modellierung

Bei der Modellierung von Funktionen durch Rechengesetze Klasse 7 werden verschiedene Eigenschaften vorgegeben:

  • Durchgangspunkte (z.B. f(2) = 3)
  • Steigungen an bestimmten Stellen (f'(1) = 2)
  • Extrempunkte
  • Wendepunkte
  • Achsenschnittpunkte

Definition: Eine Steckbriefaufgabe verlangt das Aufstellen einer Funktion, die alle gegebenen Eigenschaften erfüllt.

Praktische Anwendungen finden sich in vielen Bereichen:

  • Wachstumsprozesse
  • Wirtschaftliche Entwicklungen
  • Naturwissenschaftliche Vorgänge

Die Modellierung erfolgt schrittweise durch:

  1. Aufstellen der beschreibenden Gleichungen
  2. Systematisches Lösen des Gleichungssystems
  3. Überprüfen aller Bedingungen
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a+b=b+a
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Bestimmung ganzrationaler Funktionen und ihre praktische Anwendung

Die Bestimmung einer ganzrationalen Funktion ist ein fundamentaler Prozess in der höheren Mathematik, der systematisch durchgeführt werden kann. Diese Funktionen, auch Polynomfunktionen genannt, spielen eine zentrale Rolle bei der mathematischen Modellierung realer Prozesse.

Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0, wobei n eine natürliche Zahl ist und die Koeffizienten ai reelle Zahlen sind.

Der Prozess zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion folgt einem strukturierten Ablauf. Zunächst wird der Grad der Funktion festgelegt, was die Form der Funktionsgleichung bestimmt. Dabei müssen die gegebenen Informationen wie Hochpunkte, Tiefpunkte oder Nullstellen berücksichtigt werden. Diese Punkte führen zu einem linearen Gleichungssystem, dessen Lösung die gesuchten Koeffizienten liefert.

Beispiel: Bei einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c mit den Punkten A(-1,0), B(0,-1) und C(1,0) erhalten wir ein Gleichungssystem:

  • a(-1)² - b + c = 0
  • c = -1
  • a + b + c = 0

Die praktische Umsetzung kann sowohl mit als auch ohne GTR (Grafikfähiger Taschenrechner) erfolgen. Bei der Verwendung des GTRs können komplexere Gleichungssysteme effizient gelöst werden. Die händische Berechnung hingegen fördert das tiefere Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und ist besonders bei einfacheren Funktionen sinnvoll.

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Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

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26. Sept. 2021

27 Seiten

Rechengesetze und Binomische Formeln: Mathe PDF für dich!

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Emily

@emilywnt

Die mathematischen Grundregeln und Gesetze bilden das Fundament für fortgeschrittene Berechnungen.

Die wichtigsten Rechengesetze in der Mathematik umfassen das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz. Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge bei der Addition und Multiplikation beliebig ist (a +... Mehr anzeigen

Rechengesetze
Kommutativgesetz
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Grundlegende Rechengesetze und Binomische Formeln

Die wichtigsten mathematischen Gesetze, die Rechengesetze, bilden das Fundament des algebraischen Rechnens. Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge bei der Addition und Multiplikation beliebig ist (a+b=b+a und a·b=b·a). Das Assoziativgesetz erlaubt es, die Gruppierung von Zahlen bei Addition und Multiplikation zu ändern, ohne das Ergebnis zu beeinflussen.

Das Distributivgesetz ist besonders wichtig beim Auflösen von Klammern. Es beschreibt, wie man einen Faktor über eine Summe oder Differenz verteilt: (a+b)·c = a·c + b·c. Bei der Anwendung des Distributivgesetzes muss man besonders auf die Vorzeichen achten.

Merke: Bei einer Minusklammer kehren sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um, wenn man sie auflöst.

Die binomischen Formeln sind spezielle Anwendungen dieser Rechengesetze. Die erste binomische Formel (a+b)² = a² + 2ab + b² wird häufig beim Quadrieren von Summen verwendet. Die zweite binomische Formel (a-b)² = a² - 2ab + b² beschreibt das Quadrat einer Differenz. Die dritte binomische Formel (a+b)(a-b) = a² - b² ist die Differenz von Quadraten.

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Differentialrechnung und Ableitungen

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Ableitung von Potenzfunktionen und deren Anwendungen. Der Differenzenquotient ist dabei der zentrale Begriff und beschreibt die mittlere Änderungsrate einer Funktion.

Definition: Der Differenzenquotient wird berechnet durch [f(x₀+h)-f(x₀)]/h und beschreibt die Steigung einer Sekante.

Die Ableitung Potenzfunktion erfolgt nach der Potenzregel: Bei f(x)=xⁿ ist die Ableitung f'(x)=n·xⁿ⁻¹. Diese Regel gilt für alle rationalen Exponenten. Bei der Ableitung Exponentialfunktion kommen zusätzliche Regeln wie die Kettenregel zum Einsatz.

Die momentane Änderungsrate wird durch den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt. Sie gibt die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt an.

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Prozent- und Zinsrechnung

Die Prozentrechnung basiert auf drei Grundgrößen: Grundwert (G), Prozentwert (W) und Prozentsatz (p%). Diese stehen in der Beziehung W = (G·p)/100.

Beispiel: Bei einem Grundwert von 500€ und einem Prozentsatz von 15% beträgt der Prozentwert 75€.

Die Zinsrechnung erweitert diese Konzepte um die zeitliche Komponente. Die Grundformel für die Zinsen (Z) lautet: Z = (K·p·t)/100, wobei K das Kapital, p der Zinssatz und t die Zeit in Jahren ist.

Bei der Zinseszinsrechnung wird das neue Kapital jeweils Grundlage für die weitere Verzinsung. Die Formel lautet: Kn = K₀·(1+p/100)ⁿ, wobei Kn das Endkapital nach n Jahren ist.

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Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form f(x) = anxⁿ + an₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, wobei n der Grad der Funktion ist und die Koeffizienten an reelle Zahlen sind.

Eigenschaft: Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist immer ℝ.

Das Grenzverhalten dieser Funktionen wird durch den höchsten Exponenten und den zugehörigen Koeffizienten bestimmt. Bei geradem Grad streben beide Seiten in die gleiche Richtung, bei ungeradem in entgegengesetzte.

Die Symmetrie kann durch Einsetzen von (-x) überprüft werden. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) gilt, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) gilt.

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Funktionsverschiebungen und Ableitungsregeln

Die Verschiebung von Funktionsgraphen ist ein grundlegendes Konzept der Mathe Regeln. Bei der Verschiebung in y-Richtung wird der Term f(x) + d verwendet. Ein positives d bewirkt eine Verschiebung nach oben, ein negatives d nach unten.

Definition: Die Verschiebung in x-Richtung erfolgt durch f(x + c). Ein positives c verschiebt den Graphen nach links, ein negatives c nach rechts.

Bei der Streckung und Stauchung unterscheiden wir zwischen y-Richtung (a·f(x)) und x-Richtung (f(b·x)). Für a>1 erfolgt eine Streckung, für 0<a<1 eine Stauchung. Bei negativem Vorzeichen kommt eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.

Die Rechengesetze für Ableitungen umfassen wichtige Grundregeln:

  • Faktorregel: (a·f(x))' = a·f'(x)
  • Summenregel: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
  • Produktregel: (f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
  • Kettenregel: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

Beispiel: Die Ableitung Potenzfunktion x³ nach der Potenzregel: f(x) = x³ → f'(x) = 3x²

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Extremwerte und Wendepunkte

Das Monotonieverhalten einer Funktion wird durch die erste Ableitung bestimmt. Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion streng monoton, bei f'(x) < 0 fällt sie streng monoton.

Merksatz: Extrempunkte treten auf, wenn f'(x) = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Ein Vorzeichenwechsel von + nach - kennzeichnet einen Hochpunkt, von - nach + einen Tiefpunkt.

Die Krümmung wird durch die zweite Ableitung beschrieben:

  • f''(x) > 0: linksgekrümmt
  • f''(x) < 0: rechtsgekrümmt
  • f''(x) = 0: möglicher Wendepunkt

Highlight: Für einen Wendepunkt muss f''(x) = 0 sein und die zweite Ableitung einen Vorzeichenwechsel aufweisen.

Die Wendetangente berechnet sich durch:

  1. Bestimmung des Wendepunkts
  2. Einsetzen in f'(x) für die Steigung
  3. Aufstellen der Tangentengleichung t(x) = mx + b
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Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Bei Binomischen Formeln Übungen und Extremwertaufgaben ist eine systematische Vorgehensweise wichtig:

  1. Zielgröße durch Formel beschreiben
  2. Nebenbedingungen identifizieren
  3. Nebenbedingungen umformen
  4. Zielfunktion aufstellen
  5. Extrema berechnen
  6. Randwerte prüfen

Vokabular: Nebenbedingungen sind zusätzliche Einschränkungen, die bei der Optimierung berücksichtigt werden müssen.

Wichtige Formeln für Flächeninhalte:

  • Rechteck: A = a·b
  • Dreieck: A = (g·h)/2
  • Trapez: A = (a+c)·h/2

Die Extremstellen können auch am Rand des Definitionsbereichs liegen. Eine vollständige Lösung erfordert daher immer auch eine Randwertbetrachtung.

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Steckbriefaufgaben und Modellierung

Bei der Modellierung von Funktionen durch Rechengesetze Klasse 7 werden verschiedene Eigenschaften vorgegeben:

  • Durchgangspunkte (z.B. f(2) = 3)
  • Steigungen an bestimmten Stellen (f'(1) = 2)
  • Extrempunkte
  • Wendepunkte
  • Achsenschnittpunkte

Definition: Eine Steckbriefaufgabe verlangt das Aufstellen einer Funktion, die alle gegebenen Eigenschaften erfüllt.

Praktische Anwendungen finden sich in vielen Bereichen:

  • Wachstumsprozesse
  • Wirtschaftliche Entwicklungen
  • Naturwissenschaftliche Vorgänge

Die Modellierung erfolgt schrittweise durch:

  1. Aufstellen der beschreibenden Gleichungen
  2. Systematisches Lösen des Gleichungssystems
  3. Überprüfen aller Bedingungen
Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
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Bestimmung ganzrationaler Funktionen und ihre praktische Anwendung

Die Bestimmung einer ganzrationalen Funktion ist ein fundamentaler Prozess in der höheren Mathematik, der systematisch durchgeführt werden kann. Diese Funktionen, auch Polynomfunktionen genannt, spielen eine zentrale Rolle bei der mathematischen Modellierung realer Prozesse.

Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0, wobei n eine natürliche Zahl ist und die Koeffizienten ai reelle Zahlen sind.

Der Prozess zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion folgt einem strukturierten Ablauf. Zunächst wird der Grad der Funktion festgelegt, was die Form der Funktionsgleichung bestimmt. Dabei müssen die gegebenen Informationen wie Hochpunkte, Tiefpunkte oder Nullstellen berücksichtigt werden. Diese Punkte führen zu einem linearen Gleichungssystem, dessen Lösung die gesuchten Koeffizienten liefert.

Beispiel: Bei einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c mit den Punkten A(-1,0), B(0,-1) und C(1,0) erhalten wir ein Gleichungssystem:

  • a(-1)² - b + c = 0
  • c = -1
  • a + b + c = 0

Die praktische Umsetzung kann sowohl mit als auch ohne GTR (Grafikfähiger Taschenrechner) erfolgen. Bei der Verwendung des GTRs können komplexere Gleichungssysteme effizient gelöst werden. Die händische Berechnung hingegen fördert das tiefere Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und ist besonders bei einfacheren Funktionen sinnvoll.

Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
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Anwendung des Gauß-Verfahrens bei ganzrationalen Funktionen

Das Gauß-Verfahren ist eine systematische Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die bei der Bestimmung ganzrationaler Funktionen häufig zum Einsatz kommt. Diese Methode ist besonders effektiv bei der Bearbeitung von Systemen mit mehreren Unbekannten.

Highlight: Das Gauß-Verfahren transformiert das Gleichungssystem durch elementare Umformungen in eine Stufenform, aus der die Lösungen schrittweise ermittelt werden können.

Bei der praktischen Anwendung werden die Gleichungen zunächst in eine Matrix-Form gebracht. Durch systematische Elimination der Variablen wird das System vereinfacht, bis eine eindeutige Lösung gefunden ist. Dieser Prozess erfordert präzises Arbeiten und ein gutes Verständnis der algebraischen Grundoperationen.

Die Kontrolle der gefundenen Lösung ist ein wichtiger abschließender Schritt. Dabei werden die ermittelten Koeffizienten in die ursprüngliche Funktionsgleichung eingesetzt und alle gegebenen Bedingungen überprüft. Dies gewährleistet die Korrektheit der Lösung und hilft, mögliche Rechenfehler zu identifizieren.

Beispiel: Bei einer Funktion dritten Grades mit den Punkten A(1,4), B(2,3) und C(3,7) führt das Gauß-Verfahren zu einem System:

  • a + b + c = 4
  • 4a + 2b + c = 3
  • 9a + 3b + c = 7

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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