Mathe Klausuren EF zu den Themen Ganzrationale Funktionen und ihre Anwendung (Analysis)

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Mathe Klausuren EF zu den Themen Ganzrationale Funktionen und ihre Anwendung (Analysis)

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Klausur Nr.2 | 18/19
Thema:
Hilfsmittelfreier Teil (30 Min)
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Bei der Darstellung der Lösungen ist auf die
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Drei Mathe Klausuren aus der EF Themen: Ganzrationale Funktionen (Anwendungen, Analysis) Alle Noten im 2er Bereich Erwartungshorizont ist bei allen dabei :)

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Mathematik Klausur Nr.2 | 18/19 Thema: Hilfsmittelfreier Teil (30 Min) Hilfsmittelfreier Teil Bei der Darstellung der Lösungen ist auf die formal korrekte Schreibweise zu achten. Aufgabe 1 Definitionen (4 Punkte) Erläutern Sie kurz, wie man den Graphen einer Funktion f verschieben kann und wie man diese Transformation mathematisch beschreibt. Aufgabe 2 Nullstellen (6 Punkte) Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion. f(x) = x³ + x² - 6x Aufgabe 3 Polynomdivision (13 Punkte) Führen Sie die Polynomdivision durch und bestimme Sie alle Nullstellen f(x) = 2x³10x² + 4x + 16; -3 -2 -1.5 Name: Aufgabe 4 Transformation (5 + 5 Punkte) Die Funktionen g und h sind aus der Funktion f(x) = x³ - x durch Transformation entstanden. -0.5 Datum: 17.12.18 0.5 0 0.5 1.5 -2.5 -2 x1 = -1 -1.5 A Klasse: EF M G2 -0.5 0.5 0 0.6 1.6 Bestimmen Sie, wie die Funktionen g und h aus f hervorgegangen sind und geben Sie die Funktionsterme an (Potenzen müssen nicht ausgerechnet werden, der Term sollte dennoch ver- einfacht/zusammengefasst werden). Hilfsmittelfreier Teil: Nr.1 Mathe-Klausur N1.2 Verschieben Den Graphen der Funktion g (xt Dg) mit g(x) = f(x-c) +d erhält man, indem man den Graphen der Funktion f (xt Df) in Richtung der x-Achse oder y-Achse verschiebt. Nr. 2 Verschiebung in Richtung der X-Achse: g(x) = f(x-c) Verschiebung in Richtung der y-Achse: m(x) = f(x) to f(x)= x³ + x² - 6x Bed: f(x) = 0 0 = X ²³ + x² - 6x O= x (x²+x-6) X₁ = O V V ✓ X2,3 = X²+x-6=0 P=1:9=-6 V - { * √ √ (...

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² ) ² - q -4² √ (1) ²¹ +6 24 -0,5 √0125+6 EF 17.12.18 ✓ = -0,51 √√6,25 X₂ = -015 + √√6₁25 V X 3 = -015-√6,25 ✓ | Aurech t N1.3 f(x) = 2x³ - 10x² + 4x +16; X₁²-1 V → (2X³-10x² + 4x+16): (x+1) = 2x² - 12x +16 - (2x³ + 2x¹) Nr.4 -12X² +7X -(-12x-12x) → f(x) = (2x²-12x+16)· (x+1) Bedi: f(x)=√ O = (2x²-12x+16)-(x+1) V 16x +16 ✔ -(-16x +16) O X=-1 V f(x) = x²³ - X h(x) = 2x²-12x +16=01:2 x² - 6x + 8 = 0 P=-6; 9=8 P + AL13= 04 0 2 40 13 = 3+ ± x₂ = 4 V 315. f (x-1) +014 f = 315 · (X-1) ² - (x-1) +014. 1 (²) ²-q g(x) = f(x+215) + 1,4 in → Um -2.5 Einheiten nach X-Richtung und Um 1,4 Einheiten in y-Richtung verschoben V X3 = 2 * = (x+25)²³ - (x +215) +1,4 D Um 3,5 Einheiten ge- streckt, um A in Richtig der - Ache und un 014 in Richtung der Y-Achse verschoben. Mathematik Klausur Nr.2 | 18/19 Thema: Ganzrationale Funktionen (60 Min.) Name: Datum: 17.12.18 Hilfsmittel Teil: Achten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben auf die Formal korrekte Darstellung! Aufgabe 5 Kurvendiskussion (13 + 5 + 3 Punkte) Die Funktion f lautet Klasse: EF M G2 f(x) = -0,5x4 + 2, 6x² + 1,75. a) Untersuchen Sie die Funktion auf das Randverhalten, das Verhalten nahe Null, das Sym- metrieverhalten und die Nullstellen. b) Skizzieren Sie den Graphen mit Hilfe der gewonnen Informationen und markieren Sie die Informationen farbig. c) Bestimmen Sie rechnerisch den Differenzenquotienten für das Intervall I = [1; 1, 5]. Aufgabe 6 Anwendungskontext (3+ 4+ 5+ 6 + 6 + 4 Punkte) Wir betrachten den Wasserzufluss in einen Stausee. Die Funktion f(x) = 0,05x5 - 0, 55x² + x³ - 0,8x² + 157 beschreibt den Wasserzufluss in den Stausee in Millionen Litern pro Tag, x ist die Zeit in Tagen. f beschreibt den Zulauf im Zeitraum der ersten neun Tage (Df = [0; 9]). Ein negativer Zulauf beschreibt das Abfließen des Wassers aus dem Stausee. 10 sowie Ymin Hinweis: Zur Darstellung, wählen Sie: Emin = -2, xmax a) Bestimmen Sie die Zuflussmenge am dritten Tag. b) Geben Sie an, zu welchen Zeitpunkten der Zulauf 55 Millionen Liter pro Tag beträgt. c) Bestimmen Sie den Zeitraum, indem Wasser aus dem Stausee hinausfließt. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die größte Wassermenge aus dem See fließt. Geben Sie an, wie viel Wasser aus dem See hinausfließt. - = -30 und Ymax = 180. e) Interpretieren Sie den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang und gehen Sie auf besondere Zeitpunkte ein. Eine Gruppe von Wassertechnikern untersucht den mittleren Wasserzulauf zwischen dem dritten und sechsten Tag. f) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate des Wasserzulaufes. Aufgabe 7 Ein bisschen schwieriger... (3 + 5 Punkte) Gegeben sei die Funktionsgleichung f(x) = x - 2x² mit z E R. Wir betrachten den Differen- zenquotienten und wählen xo = -1. Die zweite Intervallgrenze bezeichnen wir als z = xo +h a) Wählen Sie z so, dass der Differenzenquotient null wird. = 1 wollen Mit der Funktion f und der ersten Intervallgrenze des Differenzenquotienten bei xo wir weiter arbeiten. b) Bestimmen Sie z rechnerisch so, dass der Differenzenquotient den Wert 1, 5 annimmt. Viel Erfolg!!! Mathe-Klausur Nr.2 +lifsmittel Tell: N₁.1 f(x) = - 0₁5X² +2,6x² +1175 a) Randverhalten limf(x) = (im-0,5x² + 2,6x²+1,75 -00, da limg(x)= lim-0,5x4--00 Symmetrie Umf(x)=lim-05x² +2,6x² +1,75-00 } de lim g(x) = lim-0,5x² →∞ gent. f(x) = -0,₁5 x4 + 2,6ײ + 1175 -∞ geht. = -0,5(-x)" +2,61-x)² +1,75 = -0₁5×4 +2,6 x² +1,75 ✓ ✓ geht. ✓ Verhalten nahe Null: Das Verhalten nahe Nuil wird beschrieben durch h(x) = 2,6x² +1,75. ✓ ✓ ✓ f(x) = -f(x) ⇒ Es ist achsensymmetrisch zum Ursprung, da alle Exponenten gerade sind. V 17.12.18 1 Zwr y-Achse Mathematik Klausur Nr.3 | 18/19 Thema: Hilfsmittelfreier Teil (30 Min) Name: Datum: 03.04.19 Hilfsmittelfreier Teil Bei der Darstellung der Lösungen ist auf die formal korrekte Schreibweise zu achten. Klasse: EF M G2 Aufgabe 1 h-Methode (7 Punkte) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f(x) = x³ + x mit der h-Methode. Aufgabe 2 Nullstellen (6 Punkte) Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion. f(x) = 2x² - 4x³ + 2x² Aufgabe 3 Ableitungen (8 Punkte) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktionen mit den Ableitungsregeln. a) f(x) = 2x³ — 10x² + 4x + 16 b) f(x) = 1 Aufgabe 4 Extremstellen (6 + 3 Punkte) a) Bestimmen Sie rechnerisch die Extremstellenkandidaten der Funktion f(x) = x³ – 9x. b) Entscheiden Sie mit Hilfe der Nullstellen und dem Randverhalten, um welche Art von Ex- tremstellen es sich handelt. Mathe - Klausur Nr.3 Hilfsmittelfreier Teil: N1.1 f(x) = x³+x Bestimme f'(x) : f(x +h)-f(x) h : Nr.2 f'(x) = 3x²+1 a f'(x)= lim f(x+h)-f(x) = lim 3x²th ²+1 = h70 b h30 Beel: f(x) = 0 3x¹h+h³th = (3x²+²+1) h b Berechne die Nullstellen. f(x) = 2x² - 4x³ + 2x² 3 (x+h)² + (x+h) = (x³+x) = x²+3x²h/th² +*+h-*** IT 3xh² h h O = 2x4-4x²+2x² 0 = x²(2x² - 4x +2) x² = 0 V X120 ✓ 2x² - 4x+2= 01:2 X² - 2x + 1 = 0 P= -2;9=1 X2₁3 = - = ± √ ( ² ) ² - 9 = 3x² +1 X₁ = 1 V X3 = 1 V ✓ 03.04A9 LEF 3x²+h²+1 J Nr.3 a) * Berechne die erste Ableitung: f(x) = 2x³-10x² + 4x +16 f'(x) = 6x² - 20x +4 ✓ = x + √ X ✓ f'(x) = - = x ² ² ✓ f"(x) = 12x - 20 b) Berechne die erste und zweite Ableitung. f(x) = = = = |_ fªix) = 4x = { Nr.y a) f(x) = x ³-9x und zweite O= 3x -9 1:3 ✓ Berechnie die erste Ableitung ✓ f'(x) = 3x²-9 not. Bed.: f'(x) = 0 O=x²-3 +3 ✓ 3=x² X₁ = √√3 V X₂ = - -√3 X=O X₁ = 0 b.).. Nullstellen berechnen: f(x)= x ³-9x Bed.: f(x) = 0 0 = x ³-9x 0= x(x²-9) ✓ v x²-9-01 +9 x² =9 X₂ = 3 V X3 = -3 Randverhalten: lim f(x) = lim x ³-9x →→→→∞, da limg(x) - lim x³ +∞ gent. → 1 lim f(x) = lim x³-9x →∞, da um g(x) = limx²³ →-00 gent. X3-0 X→∞ 84-8 → Es handelt sich bei den Extremstellen um ein globales Maximum, da die Extremstellen- kandidaten der höchsten Punkte sind. | Nein! 3. Mathematik Klausur Nr.3 | 18/19 Thema: Funktionen und Anwendungen (60 Min.) Name: Datum: 03.04.19 Hilfsmittel Teil: Achten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben auf die Formal korrekte Darstellung! Aufgabe 5 Funktionsuntersuchung (12 + 10 + 5 Punkte) Die Funktion f lautet f(x) ) = 1 / 2 ³ 3 -x³. 4 Klasse: EF M G2 a) Untersuchen Sie die Funktion auf das Randverhalten, das Verhalten nahe Null, das Sym- metrieverhalten und die Nullstellen. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Extrem- bzw. Sattelpunkte. c) Skizzieren Sie den Graphen mit Hilfe der gewonnen Informationen und markieren Sie die Informationen farbig. Aufgabe 6 Anwendungskontext (2 + 3 + 5 + 6 + 3 + 6 + 3 Punkte) Ein Radsportler zeichnet seine Herzfrequenz während eines 23-minütigen Trainingsabschnitts auf, diese erstellte Herzfrequenzkurve kann annähernd durch den Graphen der Funktion ƒ înit ƒ(t) = 0,03t³ — 1,5t² + 21t + 80 und t € [0; 23], dargestellt werden. Dabei wird die Zeit t in Minuten (min) seit dem Start t 0 und die Herzfrequenz f(t) in Schlägen pro Minute (S/min) angegeben. = a) Geben Sie die Herzfrequenz nach 4min an. b) Ermitteln Sie, wann die Herzfrequenz 100 Schläge pro Minute erreicht. c) Bestimmen Sie die größte Herzfrequenz und wann diese erreicht wird. d) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen und interpretieren Sie diesen im Sachzusam- menhang. e) Berechnen Sie, wie groß die mittlere Änderungsrate der Herzfrequenz zwischen 2 und 4 Minuten ist. Im Zeitraum ab 23 Minuten kann die Herzfrequenz durch eine Tangente an die Funktion f in diesem Punkt annähernd beschrieben werden. f) Zeigen Sie, dass für die Tangentengleichung gilt: h(t) = −0, 39t + 143, 48. g) Bestimmen Sie die Herzfrequenz nach weiteren 7 Minuten. Aufgabe 7 Ein bisschen schwieriger... (5 Punkte) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Graphen von f(x) x¹ - x² und g(x) = x² − sich nicht schneiden. Hinweis: Betrachten Sie dazu die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x). Viel Erfolg!!! Mathematik Klausur Nr.1 | 18/19 Thema: Hilfsmittelfreier Teil (45 Min) Hilfsmittelfreier Teil Name: Datum: 12.11.18 Aufgabe 1 Definitionen (8 Punkte) a) Geben Sie die allgemeine Definition einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades an. b) Erläuter Sie kurz, was man unter der Nullstelle einer Funktion f versteht: im Graphen und algebraisch. Aufgabe 2 Oldies (10 Punkte) a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte A(012) und B(1|2) die Gleichung y = x + besitzt. b) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen: (2a - b)² − (a + 3b)² a) f(x) = 3x² + 2,5x² − 6 - Klasse: EF M G2 Aufgabe 3 Symmetrie (10 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen rechnerisch auf ihr Symmetrieverhalten. b) f(x) = 0,5x³ – 3x a) f(x) = 31² +6x4 T Aufgabe 4 Nullstellen (22 Punkte) Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen. b) f(x) = (x−4)(x² +4x−5) 312 c) f(x) = 3x5–6x³ – 24x Mathematik Klausur EF GK Nr.1 Hilfsmittelfreier Teil Erwartungshorizont und Bewertungsbogen 12.11.18 Name: MEF G2 Aufgabe 1 414 Die Schülerinnen/ der Schüler hat in der Aufgabe die folgenden Punkte bearbeitet Punkte |a) |Definition ganzrationale Funktion: siehe Aufzeichnungen 314 b) Bedeutung von Nullstellen: Graphisch = Stelle (x-Wert) des Schnittpunktes des Graphen mit der x-Achse, algebraisch = Lösungsmenge der Gleichung f(x)=0 Aufgabe 2 Die Schülerinnen / der Schüler hat in der Aufgabe die folgenden Punkte bearbeitet Punkte a) Lineare Funktion: siehe Aufzeichnungen / Test 616 10 b) Vereinfachen: (2a-b)²-(a+3b)² = 4a² -4ab + b² − (a² + 6ab + 9b²) = 3a² -10ab - 8b² /4 Aufgabe 3 Die Schülerinnen/ der Schüler hat in der Aufgabe die folgenden Punkte bearbeitet Punkte a) Symmetrie f(x)=3x²+2,5x+-6: f(-x)=3(-x)²+2,5 (-x)* -6 = 3x²+2,5x¹-6 = f(x) => 5/5 achsensymmetrisch zur y-Achse -0,5x³ + 3x -f(x) => 5/5 b) Symmetrie f(x)=0,5x³-3x: f(-x)=0,5(-x)³-3 (-x) punktsymmetrisch zum Ursprung Aufgabe 4 Die Schülerinnen/ der Schüler hat in der Aufgabe die folgenden Punkte bearbeitet Punkte - a) Nullstelle f(x)=3x² + 6x¹: f(x)=0 − 0=3x² + 6x¹ 1:6 - 0=0,5 x² + x+ − x² (0,5 + |x²2)=0-x₁=0 v 0,5+x²=0 - x²=-0,5 - nicht weiter auflösbar 6 = 16 b) Nullstelle f(x)=(x-4)(x²+4x-5); f(x)=0 - 0=(x-4)(x²+4x-5) — x₁=0 v x²+4x-5-06 17 -p-q-Formel - x₁=0 V X₂=5 V X3=-1 c) Nullstelle f(x)=3x5 + 6x³ - 24x: f(x)=0 - 0=3x³ + 6x³ − 24x 0=3x (x + 2x². |8)=0_x₁=0 vx+ + 2x² - 8-0 - Substitution x²-z-p-q-Formel- z₁4 v z2=-2 Resubstitution - x₁=0 V x₂=2 v X3=-2 9 19 MATHE EF 0 Klausur Nr.1 Tilly'smittelfrar Tal 1.1 a @ Funktionen & mit x€. De, deren Funktions- gleichung die Form f(x) = anx" tan_ex"¹+...+₁x ±ão ✓ hat, wobei ant ik Fant 0 sowie ne IN stammt, mennt man ganzrationale funktion n'ten Grooks. b) Die Nullstelle gibt an, wo der Graph die X-Achse schneidet. Die Bedingby ist das flad immer O ist. Nr. 2 a) I.A (01²/²) ₁B (1/2) I. Setze den Punkt ACO1³, in ✓ die Gleichung ein: 12/26 132 12/20 - 0 + 1/2/20 ²/ 3 دانه ? 2=1.14 ²2/ 서를 I. Seize den Punkt B(112) in die Gleichung ein? 2 2 = ✓ A: Die Gerade gehen durch die Punkte & A (01²) und B(112) de beide Seiten übereinstimmen. T| Lising de ✓ 12.11.18 gleichy b) (2a-b)² - (a + 3b)² #=2a² - 2ab + b² - (a² + 3ab +6²) Nr.3 a) f(x) = 3x² + 2,5x 4-6 f(-x) = 3(-x)² + 2₁ 5 (-X) 4-6 ✓ +(²x) = 3x² + ²₁,5x²-6 = f(-x) = f(x) ✓ ✓ Die funktion ist achsensymmetrisch zubo y-Achse, { da alle Exponenten gerade sind. b) f(x) = 0,5x²³ - 3x f(-x) = 0,₁5(-x) ³ - 3 (-X) f(-x) = -√√5x³ + 3x f(-x) = -f(x) ✓ Die Funktion ist puiktsymmetrisch zum Orspring, da 5 Chée Exponenton gerade sind. Clie Nr.4 a) f(x) = 3x² + 6 x ² Bedi: +(x=0 0=3x² + 6 x ²¹ 12²=X 0=32 +62² P = 6; 9 = 0 ² આ = - - (૬)‘-૧ 6 KE 9 24₁4 = -3 3₁=6 22= -19121 X₁= + √6 x₂ = -√6 > x = =√ √ ² X3 = 4 X = 9 f(x) = 3x² + 6x4 Bed:: f(x) = 0 0 = 3x² +6x² ✓ O=x² (346x²) A ✓ ^₂=0 V3 +6x²-01-3 6x²=-31²6 b) f(x) = (x-4) (x²+4X-5) Bed.: f(x)=0 0= (X-4) (X² +YX-S) Xx₂=4 V X₂-4 V X²+4X-S=O X₁₂₁=0 p=4 9=-5 X₁,3 = - { * √ (5) ² - 9 J2 2X₂,3 = -2± √ 4+5 X2,3 = -2 3 ✓ x₂ = -5 X3 c) f(x)= 3x²³ -6x²³ -24x Bed: f(x) = 0 0 = 3x³-6x²³-24x 0 = x(3x² - 6x²-24) V ✓ ²₂₁3= 1 = 3 22= 4 23 = -2 f +5 2 3x² - 6x² -24 = 0 1 2 ³²=X 4 32²-62-24 = 01:3 2²-22-8=0✓ P= -2; 9=-8 3²₂₁3 = - = ²^²√ √ (²) ² - 9 22,3 = = ² 2 ² = √(-²)² + 8 2₁₁3= 1 ± √√1+8 + X₂ = 2 ✓ X4 X₂=-2 Xs ✓ x= ± √ 2 t V >

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

Drei Mathe Klausuren aus der EF Themen: Ganzrationale Funktionen (Anwendungen, Analysis) Alle Noten im 2er Bereich Erwartungshorizont ist bei allen dabei :)

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² ) ² - q -4² √ (1) ²¹ +6 24 -0,5 √0125+6 EF 17.12.18 ✓ = -0,51 √√6,25 X₂ = -015 + √√6₁25 V X 3 = -015-√6,25 ✓ | Aurech t N1.3 f(x) = 2x³ - 10x² + 4x +16; X₁²-1 V → (2X³-10x² + 4x+16): (x+1) = 2x² - 12x +16 - (2x³ + 2x¹) Nr.4 -12X² +7X -(-12x-12x) → f(x) = (2x²-12x+16)· (x+1) Bedi: f(x)=√ O = (2x²-12x+16)-(x+1) V 16x +16 ✔ -(-16x +16) O X=-1 V f(x) = x²³ - X h(x) = 2x²-12x +16=01:2 x² - 6x + 8 = 0 P=-6; 9=8 P + AL13= 04 0 2 40 13 = 3+ ± x₂ = 4 V 315. f (x-1) +014 f = 315 · (X-1) ² - (x-1) +014. 1 (²) ²-q g(x) = f(x+215) + 1,4 in → Um -2.5 Einheiten nach X-Richtung und Um 1,4 Einheiten in y-Richtung verschoben V X3 = 2 * = (x+25)²³ - (x +215) +1,4 D Um 3,5 Einheiten ge- streckt, um A in Richtig der - Ache und un 014 in Richtung der Y-Achse verschoben. Mathematik Klausur Nr.2 | 18/19 Thema: Ganzrationale Funktionen (60 Min.) Name: Datum: 17.12.18 Hilfsmittel Teil: Achten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben auf die Formal korrekte Darstellung! Aufgabe 5 Kurvendiskussion (13 + 5 + 3 Punkte) Die Funktion f lautet Klasse: EF M G2 f(x) = -0,5x4 + 2, 6x² + 1,75. a) Untersuchen Sie die Funktion auf das Randverhalten, das Verhalten nahe Null, das Sym- metrieverhalten und die Nullstellen. b) Skizzieren Sie den Graphen mit Hilfe der gewonnen Informationen und markieren Sie die Informationen farbig. c) Bestimmen Sie rechnerisch den Differenzenquotienten für das Intervall I = [1; 1, 5]. Aufgabe 6 Anwendungskontext (3+ 4+ 5+ 6 + 6 + 4 Punkte) Wir betrachten den Wasserzufluss in einen Stausee. Die Funktion f(x) = 0,05x5 - 0, 55x² + x³ - 0,8x² + 157 beschreibt den Wasserzufluss in den Stausee in Millionen Litern pro Tag, x ist die Zeit in Tagen. f beschreibt den Zulauf im Zeitraum der ersten neun Tage (Df = [0; 9]). Ein negativer Zulauf beschreibt das Abfließen des Wassers aus dem Stausee. 10 sowie Ymin Hinweis: Zur Darstellung, wählen Sie: Emin = -2, xmax a) Bestimmen Sie die Zuflussmenge am dritten Tag. b) Geben Sie an, zu welchen Zeitpunkten der Zulauf 55 Millionen Liter pro Tag beträgt. c) Bestimmen Sie den Zeitraum, indem Wasser aus dem Stausee hinausfließt. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die größte Wassermenge aus dem See fließt. Geben Sie an, wie viel Wasser aus dem See hinausfließt. - = -30 und Ymax = 180. e) Interpretieren Sie den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang und gehen Sie auf besondere Zeitpunkte ein. Eine Gruppe von Wassertechnikern untersucht den mittleren Wasserzulauf zwischen dem dritten und sechsten Tag. f) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate des Wasserzulaufes. Aufgabe 7 Ein bisschen schwieriger... (3 + 5 Punkte) Gegeben sei die Funktionsgleichung f(x) = x - 2x² mit z E R. Wir betrachten den Differen- zenquotienten und wählen xo = -1. Die zweite Intervallgrenze bezeichnen wir als z = xo +h a) Wählen Sie z so, dass der Differenzenquotient null wird. = 1 wollen Mit der Funktion f und der ersten Intervallgrenze des Differenzenquotienten bei xo wir weiter arbeiten. b) Bestimmen Sie z rechnerisch so, dass der Differenzenquotient den Wert 1, 5 annimmt. Viel Erfolg!!! Mathe-Klausur Nr.2 +lifsmittel Tell: N₁.1 f(x) = - 0₁5X² +2,6x² +1175 a) Randverhalten limf(x) = (im-0,5x² + 2,6x²+1,75 -00, da limg(x)= lim-0,5x4--00 Symmetrie Umf(x)=lim-05x² +2,6x² +1,75-00 } de lim g(x) = lim-0,5x² →∞ gent. f(x) = -0,₁5 x4 + 2,6ײ + 1175 -∞ geht. = -0,5(-x)" +2,61-x)² +1,75 = -0₁5×4 +2,6 x² +1,75 ✓ ✓ geht. ✓ Verhalten nahe Null: Das Verhalten nahe Nuil wird beschrieben durch h(x) = 2,6x² +1,75. ✓ ✓ ✓ f(x) = -f(x) ⇒ Es ist achsensymmetrisch zum Ursprung, da alle Exponenten gerade sind. V 17.12.18 1 Zwr y-Achse Mathematik Klausur Nr.3 | 18/19 Thema: Hilfsmittelfreier Teil (30 Min) Name: Datum: 03.04.19 Hilfsmittelfreier Teil Bei der Darstellung der Lösungen ist auf die formal korrekte Schreibweise zu achten. Klasse: EF M G2 Aufgabe 1 h-Methode (7 Punkte) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f(x) = x³ + x mit der h-Methode. Aufgabe 2 Nullstellen (6 Punkte) Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion. f(x) = 2x² - 4x³ + 2x² Aufgabe 3 Ableitungen (8 Punkte) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktionen mit den Ableitungsregeln. a) f(x) = 2x³ — 10x² + 4x + 16 b) f(x) = 1 Aufgabe 4 Extremstellen (6 + 3 Punkte) a) Bestimmen Sie rechnerisch die Extremstellenkandidaten der Funktion f(x) = x³ – 9x. b) Entscheiden Sie mit Hilfe der Nullstellen und dem Randverhalten, um welche Art von Ex- tremstellen es sich handelt. Mathe - Klausur Nr.3 Hilfsmittelfreier Teil: N1.1 f(x) = x³+x Bestimme f'(x) : f(x +h)-f(x) h : Nr.2 f'(x) = 3x²+1 a f'(x)= lim f(x+h)-f(x) = lim 3x²th ²+1 = h70 b h30 Beel: f(x) = 0 3x¹h+h³th = (3x²+²+1) h b Berechne die Nullstellen. f(x) = 2x² - 4x³ + 2x² 3 (x+h)² + (x+h) = (x³+x) = x²+3x²h/th² +*+h-*** IT 3xh² h h O = 2x4-4x²+2x² 0 = x²(2x² - 4x +2) x² = 0 V X120 ✓ 2x² - 4x+2= 01:2 X² - 2x + 1 = 0 P= -2;9=1 X2₁3 = - = ± √ ( ² ) ² - 9 = 3x² +1 X₁ = 1 V X3 = 1 V ✓ 03.04A9 LEF 3x²+h²+1 J Nr.3 a) * Berechne die erste Ableitung: f(x) = 2x³-10x² + 4x +16 f'(x) = 6x² - 20x +4 ✓ = x + √ X ✓ f'(x) = - = x ² ² ✓ f"(x) = 12x - 20 b) Berechne die erste und zweite Ableitung. f(x) = = = = |_ fªix) = 4x = { Nr.y a) f(x) = x ³-9x und zweite O= 3x -9 1:3 ✓ Berechnie die erste Ableitung ✓ f'(x) = 3x²-9 not. Bed.: f'(x) = 0 O=x²-3 +3 ✓ 3=x² X₁ = √√3 V X₂ = - -√3 X=O X₁ = 0 b.).. Nullstellen berechnen: f(x)= x ³-9x Bed.: f(x) = 0 0 = x ³-9x 0= x(x²-9) ✓ v x²-9-01 +9 x² =9 X₂ = 3 V X3 = -3 Randverhalten: lim f(x) = lim x ³-9x →→→→∞, da limg(x) - lim x³ +∞ gent. → 1 lim f(x) = lim x³-9x →∞, da um g(x) = limx²³ →-00 gent. X3-0 X→∞ 84-8 → Es handelt sich bei den Extremstellen um ein globales Maximum, da die Extremstellen- kandidaten der höchsten Punkte sind. | Nein! 3. Mathematik Klausur Nr.3 | 18/19 Thema: Funktionen und Anwendungen (60 Min.) Name: Datum: 03.04.19 Hilfsmittel Teil: Achten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben auf die Formal korrekte Darstellung! Aufgabe 5 Funktionsuntersuchung (12 + 10 + 5 Punkte) Die Funktion f lautet f(x) ) = 1 / 2 ³ 3 -x³. 4 Klasse: EF M G2 a) Untersuchen Sie die Funktion auf das Randverhalten, das Verhalten nahe Null, das Sym- metrieverhalten und die Nullstellen. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Extrem- bzw. Sattelpunkte. c) Skizzieren Sie den Graphen mit Hilfe der gewonnen Informationen und markieren Sie die Informationen farbig. Aufgabe 6 Anwendungskontext (2 + 3 + 5 + 6 + 3 + 6 + 3 Punkte) Ein Radsportler zeichnet seine Herzfrequenz während eines 23-minütigen Trainingsabschnitts auf, diese erstellte Herzfrequenzkurve kann annähernd durch den Graphen der Funktion ƒ înit ƒ(t) = 0,03t³ — 1,5t² + 21t + 80 und t € [0; 23], dargestellt werden. Dabei wird die Zeit t in Minuten (min) seit dem Start t 0 und die Herzfrequenz f(t) in Schlägen pro Minute (S/min) angegeben. = a) Geben Sie die Herzfrequenz nach 4min an. b) Ermitteln Sie, wann die Herzfrequenz 100 Schläge pro Minute erreicht. c) Bestimmen Sie die größte Herzfrequenz und wann diese erreicht wird. d) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen und interpretieren Sie diesen im Sachzusam- menhang. e) Berechnen Sie, wie groß die mittlere Änderungsrate der Herzfrequenz zwischen 2 und 4 Minuten ist. Im Zeitraum ab 23 Minuten kann die Herzfrequenz durch eine Tangente an die Funktion f in diesem Punkt annähernd beschrieben werden. f) Zeigen Sie, dass für die Tangentengleichung gilt: h(t) = −0, 39t + 143, 48. g) Bestimmen Sie die Herzfrequenz nach weiteren 7 Minuten. Aufgabe 7 Ein bisschen schwieriger... (5 Punkte) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Graphen von f(x) x¹ - x² und g(x) = x² − sich nicht schneiden. Hinweis: Betrachten Sie dazu die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x). Viel Erfolg!!! Mathematik Klausur Nr.1 | 18/19 Thema: Hilfsmittelfreier Teil (45 Min) Hilfsmittelfreier Teil Name: Datum: 12.11.18 Aufgabe 1 Definitionen (8 Punkte) a) Geben Sie die allgemeine Definition einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades an. b) Erläuter Sie kurz, was man unter der Nullstelle einer Funktion f versteht: im Graphen und algebraisch. Aufgabe 2 Oldies (10 Punkte) a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte A(012) und B(1|2) die Gleichung y = x + besitzt. b) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen: (2a - b)² − (a + 3b)² a) f(x) = 3x² + 2,5x² − 6 - Klasse: EF M G2 Aufgabe 3 Symmetrie (10 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen rechnerisch auf ihr Symmetrieverhalten. b) f(x) = 0,5x³ – 3x a) f(x) = 31² +6x4 T Aufgabe 4 Nullstellen (22 Punkte) Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen. b) f(x) = (x−4)(x² +4x−5) 312 c) f(x) = 3x5–6x³ – 24x Mathematik Klausur EF GK Nr.1 Hilfsmittelfreier Teil Erwartungshorizont und Bewertungsbogen 12.11.18 Name: MEF G2 Aufgabe 1 414 Die Schülerinnen/ der Schüler hat in der Aufgabe die folgenden Punkte bearbeitet Punkte |a) |Definition ganzrationale Funktion: siehe Aufzeichnungen 314 b) Bedeutung von Nullstellen: Graphisch = Stelle (x-Wert) des Schnittpunktes des Graphen mit der x-Achse, algebraisch = Lösungsmenge der Gleichung f(x)=0 Aufgabe 2 Die Schülerinnen / der Schüler hat in der Aufgabe die folgenden Punkte bearbeitet Punkte a) Lineare Funktion: siehe Aufzeichnungen / Test 616 10 b) Vereinfachen: (2a-b)²-(a+3b)² = 4a² -4ab + b² − (a² + 6ab + 9b²) = 3a² -10ab - 8b² /4 Aufgabe 3 Die Schülerinnen/ der Schüler hat in der Aufgabe die folgenden Punkte bearbeitet Punkte a) Symmetrie f(x)=3x²+2,5x+-6: f(-x)=3(-x)²+2,5 (-x)* -6 = 3x²+2,5x¹-6 = f(x) => 5/5 achsensymmetrisch zur y-Achse -0,5x³ + 3x -f(x) => 5/5 b) Symmetrie f(x)=0,5x³-3x: f(-x)=0,5(-x)³-3 (-x) punktsymmetrisch zum Ursprung Aufgabe 4 Die Schülerinnen/ der Schüler hat in der Aufgabe die folgenden Punkte bearbeitet Punkte - a) Nullstelle f(x)=3x² + 6x¹: f(x)=0 − 0=3x² + 6x¹ 1:6 - 0=0,5 x² + x+ − x² (0,5 + |x²2)=0-x₁=0 v 0,5+x²=0 - x²=-0,5 - nicht weiter auflösbar 6 = 16 b) Nullstelle f(x)=(x-4)(x²+4x-5); f(x)=0 - 0=(x-4)(x²+4x-5) — x₁=0 v x²+4x-5-06 17 -p-q-Formel - x₁=0 V X₂=5 V X3=-1 c) Nullstelle f(x)=3x5 + 6x³ - 24x: f(x)=0 - 0=3x³ + 6x³ − 24x 0=3x (x + 2x². |8)=0_x₁=0 vx+ + 2x² - 8-0 - Substitution x²-z-p-q-Formel- z₁4 v z2=-2 Resubstitution - x₁=0 V x₂=2 v X3=-2 9 19 MATHE EF 0 Klausur Nr.1 Tilly'smittelfrar Tal 1.1 a @ Funktionen & mit x€. De, deren Funktions- gleichung die Form f(x) = anx" tan_ex"¹+...+₁x ±ão ✓ hat, wobei ant ik Fant 0 sowie ne IN stammt, mennt man ganzrationale funktion n'ten Grooks. b) Die Nullstelle gibt an, wo der Graph die X-Achse schneidet. Die Bedingby ist das flad immer O ist. Nr. 2 a) I.A (01²/²) ₁B (1/2) I. Setze den Punkt ACO1³, in ✓ die Gleichung ein: 12/26 132 12/20 - 0 + 1/2/20 ²/ 3 دانه ? 2=1.14 ²2/ 서를 I. Seize den Punkt B(112) in die Gleichung ein? 2 2 = ✓ A: Die Gerade gehen durch die Punkte & A (01²) und B(112) de beide Seiten übereinstimmen. T| Lising de ✓ 12.11.18 gleichy b) (2a-b)² - (a + 3b)² #=2a² - 2ab + b² - (a² + 3ab +6²) Nr.3 a) f(x) = 3x² + 2,5x 4-6 f(-x) = 3(-x)² + 2₁ 5 (-X) 4-6 ✓ +(²x) = 3x² + ²₁,5x²-6 = f(-x) = f(x) ✓ ✓ Die funktion ist achsensymmetrisch zubo y-Achse, { da alle Exponenten gerade sind. b) f(x) = 0,5x²³ - 3x f(-x) = 0,₁5(-x) ³ - 3 (-X) f(-x) = -√√5x³ + 3x f(-x) = -f(x) ✓ Die Funktion ist puiktsymmetrisch zum Orspring, da 5 Chée Exponenton gerade sind. Clie Nr.4 a) f(x) = 3x² + 6 x ² Bedi: +(x=0 0=3x² + 6 x ²¹ 12²=X 0=32 +62² P = 6; 9 = 0 ² આ = - - (૬)‘-૧ 6 KE 9 24₁4 = -3 3₁=6 22= -19121 X₁= + √6 x₂ = -√6 > x = =√ √ ² X3 = 4 X = 9 f(x) = 3x² + 6x4 Bed:: f(x) = 0 0 = 3x² +6x² ✓ O=x² (346x²) A ✓ ^₂=0 V3 +6x²-01-3 6x²=-31²6 b) f(x) = (x-4) (x²+4X-5) Bed.: f(x)=0 0= (X-4) (X² +YX-S) Xx₂=4 V X₂-4 V X²+4X-S=O X₁₂₁=0 p=4 9=-5 X₁,3 = - { * √ (5) ² - 9 J2 2X₂,3 = -2± √ 4+5 X2,3 = -2 3 ✓ x₂ = -5 X3 c) f(x)= 3x²³ -6x²³ -24x Bed: f(x) = 0 0 = 3x³-6x²³-24x 0 = x(3x² - 6x²-24) V ✓ ²₂₁3= 1 = 3 22= 4 23 = -2 f +5 2 3x² - 6x² -24 = 0 1 2 ³²=X 4 32²-62-24 = 01:3 2²-22-8=0✓ P= -2; 9=-8 3²₂₁3 = - = ²^²√ √ (²) ² - 9 22,3 = = ² 2 ² = √(-²)² + 8 2₁₁3= 1 ± √√1+8 + X₂ = 2 ✓ X4 X₂=-2 Xs ✓ x= ± √ 2 t V >