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Mathe
24. Nov. 2025
3.756
16 Seiten
Johanna Marie @johannamarie_uhtn
Analysis und vektorielle Geometrie bilden die Grundlagen für die Oberstufen-Mathematik. Hier lernst du, wie du Funktionen ableitest und... Mehr anzeigen
Ableiten funktioniert nach der einfachen Regel f(x) = n·x^. Bei x³ wird daraus 3x². Integrieren ist das Gegenteil F(x) = 1/·x^, also aus x² wird 1/3·x³.
Die Stammfunktion F(x), die ursprüngliche Funktion f(x) und ihre Ableitung f'(x) hängen eng zusammen. Die Steigung von f(x) an einem Punkt entspricht dem y-Wert von f'(x) an dieser Stelle.
Bei Integralen musst du aufpassen Hat die Funktion eine Nullstelle im Intervall, rechnest du die Teilflächen getrennt und addierst ihre Beträge für den echten Flächeninhalt. Ohne getrennte Rechnung können sich positive und negative Bereiche aufheben.
Merktipp Beim Integrieren fällt der y-Achsenabschnitt weg - deshalb brauchst du die Konstante C!
Extrempunkte findest du in zwei Schritten Erst die notwendige Bedingung f'(x) = 0 lösen, dann die hinreichende Bedingung f''(x) ≠ 0 prüfen. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt; ist f''(x) < 0, einen Hochpunkt.
Die Krümmung erkennst du an der zweiten Ableitung Hochpunkte sind rechtsgekrümmt (konkav) mit f''(x) < 0, Tiefpunkte linksgekrümmt (konvex) mit f''(x) > 0.
Uneigentliche Integrale verwendest du bei unbegrenzten Flächen. Du bildest den Grenzwert und lässt eine Variable gegen unendlich laufen. Manchmal ist die Fläche trotz unbegrenzter Ausdehnung endlich!
Wichtig Bei Extrempunkten immer beide Bedingungen prüfen - sonst übersehst du Wendepunkte!
Rotationskörper entstehen, wenn du eine Funktion um die x-Achse rotieren lässt. Das Volumen berechnest du mit V = π∫(f(x))²dx. Kenne die Grundformeln Zylinder V = πr²h, Kegel V = 1/3πr²h, Kugel V = 4/3πr³.
Die Exponentialfunktion mit der Basis e ≈ 2,72 hat besondere Eigenschaften Sie ist immer positiv und berührt nie die x-Achse. Das nennt man asymptotisches Verhalten.
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion. Um Gleichungen wie 16 = e^ zu lösen, wendest du ln() auf beide Seiten an ln(16) = x²+2x+3.
Merktipp ln "nimmt das e weg", da ln(e) = 1 ist!
Beim Ableiten der e-Funktion brauchst du oft die Kettenregel f'(x) = u'(v(x)) · v'(x). Bei f(x) = e^ wird f'(x) = e^ · . Die Produktregel hilft bei f(x) = · e^x.
Beim Integrieren bleibt die e-Funktion meist unverändert ∫2e^x dx = 2e^x. Komplizierte Fälle erfordern partielle Integration oder Substitution.
Tangenten haben dieselbe Steigung wie die Funktion am Berührungspunkt. Du berechnest m = f', setzt in y = mx + b ein und bestimmst b. Die Normale steht senkrecht zur Tangente m_n = -1/m_t.
Praxistipp E-Funktionen ableiten ist meist einfacher als andere Funktionen - die Struktur bleibt erhalten!
Funktionscharen enthalten einen Parameter (hier t), der verschiedene Werte annehmen kann. Bei f_t(x) = tx² + t²x entstehen unendlich viele Funktionen je nach t-Wert.
Die Ortskurve verbindet besondere Punkte aller Funktionen der Schar - zum Beispiel alle Extrempunkte. Du berechnest zuerst die allgemeine Bedingung , löst nach x auf und eliminierst dann den Parameter t.
Im Beispiel ergibt sich x = -1/2·t, also t = -2x. Einsetzen in den y-Wert liefert die Ortskurve als normale Funktion ohne Parameter.
Merktipp Parameter nur "stehen lassen", wenn er von x abhängig ist!
Lagebeziehungen zwischen Geraden erkennst du systematisch Sind die Richtungsvektoren parallel? Liegt ein Punkt der einen Gerade auf der anderen? So unterscheidest du identische, parallele, sich schneidende und windschiefe Geraden.
Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras im Raum |AB⃗| = √. Den Abstand zwischen Punkten und Geraden findest du durch Minimierung der Abstandsfunktion.
Das Skalarprodukt a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist null, wenn die Vektoren senkrecht stehen (a⃗ ⊥ b⃗). Das nutzt du für Rechtwinkligkeitsprüfungen.
Systematik hilft Arbeite die Lagebeziehungen immer nach dem gleichen Schema ab!
Das allgemeine Skalarprodukt cos(α) = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|) berechnet Winkel zwischen Vektoren. Ist das Skalarprodukt positiv, ist der Winkel spitz; ist es negativ, stumpf.
Ebenen stellst du in drei Formen dar Parameterform mit Ortsvektor und zwei Spannvektoren, Normalform mit Normalvektor und Koordinatenform als Gleichung. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalvektor.
Die Umwandlung zwischen den Formen folgt festen Regeln Kreuzprodukt für den Normalvektor, Ausmultiplizieren für die Koordinatenform, drei Punkte bestimmen für die Parameterform.
GTR-Tipp Nutze "crossp" für das Kreuzprodukt - spart Zeit und Rechenfehler!
Die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d gewinnst du durch Ausmultiplizieren der Normalform. Zurück zur Parameterform gehst du über drei Punkte Setze zwei Koordinaten null für die Achsenschnittpunkte.
Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene erkennst du am Linearen Gleichungssystem Keine Lösung bedeutet parallel, unendlich viele Lösungen identisch, eine Lösung einen Schnittpunkt.
Bei Ebene-Ebene-Beziehungen brauchst du eine Parameter- und eine Koordinatenform. Das LGS zeigt wieder keine Lösung = parallel, unendlich viele = identisch, sonst eine Schnittgerade.
Struktur LGS-Lösungen zeigen immer dasselbe Muster - lerne es einmal richtig!
Den Abstand Punkt-Ebene berechnest du mit dem Lotfußpunktverfahren Stelle eine Lotgerade durch den Punkt mit dem Normalvektor als Richtungsvektor auf, finde den Schnittpunkt mit der Ebene und berechne die Entfernung.
Für eine Lotgerade ohne vorgegebenen Punkt suchst du einen beliebigen Ebenenpunkt und gehst dann wie gewohnt vor. Der Abstand muss zur Vorgabe passen.
Punktproben funktionieren je nach Ebenenform unterschiedlich In der Parameterform löst du ein LGS, in Koordinaten- und Normalform setzt du die Koordinaten ein und prüfst die Aussage.
Systematisch arbeiten Lotfußpunktverfahren ist immer gleich - Routine entwickeln!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Johanna Marie
@johannamarie_uhtn
Analysis und vektorielle Geometrie bilden die Grundlagen für die Oberstufen-Mathematik. Hier lernst du, wie du Funktionen ableitest und integrierst, Extrempunkte bestimmst und im Raum mit Vektoren arbeitest.
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Ableiten funktioniert nach der einfachen Regel: f(x) = n·x^. Bei x³ wird daraus 3x². Integrieren ist das Gegenteil: F(x) = 1/·x^, also aus x² wird 1/3·x³.
Die Stammfunktion F(x), die ursprüngliche Funktion f(x) und ihre Ableitung f'(x) hängen eng zusammen. Die Steigung von f(x) an einem Punkt entspricht dem y-Wert von f'(x) an dieser Stelle.
Bei Integralen musst du aufpassen: Hat die Funktion eine Nullstelle im Intervall, rechnest du die Teilflächen getrennt und addierst ihre Beträge für den echten Flächeninhalt. Ohne getrennte Rechnung können sich positive und negative Bereiche aufheben.
Merktipp: Beim Integrieren fällt der y-Achsenabschnitt weg - deshalb brauchst du die Konstante C!
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Die Krümmung erkennst du an der zweiten Ableitung: Hochpunkte sind rechtsgekrümmt (konkav) mit f''(x) < 0, Tiefpunkte linksgekrümmt (konvex) mit f''(x) > 0.
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Die Exponentialfunktion mit der Basis e ≈ 2,72 hat besondere Eigenschaften: Sie ist immer positiv und berührt nie die x-Achse. Das nennt man asymptotisches Verhalten.
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion. Um Gleichungen wie 16 = e^ zu lösen, wendest du ln() auf beide Seiten an: ln(16) = x²+2x+3.
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Beim Integrieren bleibt die e-Funktion meist unverändert: ∫2e^x dx = 2e^x. Komplizierte Fälle erfordern partielle Integration oder Substitution.
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Das Skalarprodukt a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist null, wenn die Vektoren senkrecht stehen (a⃗ ⊥ b⃗). Das nutzt du für Rechtwinkligkeitsprüfungen.
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Das allgemeine Skalarprodukt cos(α) = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|) berechnet Winkel zwischen Vektoren. Ist das Skalarprodukt positiv, ist der Winkel spitz; ist es negativ, stumpf.
Ebenen stellst du in drei Formen dar: Parameterform mit Ortsvektor und zwei Spannvektoren, Normalform mit Normalvektor und Koordinatenform als Gleichung. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalvektor.
Die Umwandlung zwischen den Formen folgt festen Regeln: Kreuzprodukt für den Normalvektor, Ausmultiplizieren für die Koordinatenform, drei Punkte bestimmen für die Parameterform.
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Die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d gewinnst du durch Ausmultiplizieren der Normalform. Zurück zur Parameterform gehst du über drei Punkte: Setze zwei Koordinaten null für die Achsenschnittpunkte.
Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene erkennst du am Linearen Gleichungssystem: Keine Lösung bedeutet parallel, unendlich viele Lösungen identisch, eine Lösung einen Schnittpunkt.
Bei Ebene-Ebene-Beziehungen brauchst du eine Parameter- und eine Koordinatenform. Das LGS zeigt wieder: keine Lösung = parallel, unendlich viele = identisch, sonst eine Schnittgerade.
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Den Abstand Punkt-Ebene berechnest du mit dem Lotfußpunktverfahren: Stelle eine Lotgerade durch den Punkt mit dem Normalvektor als Richtungsvektor auf, finde den Schnittpunkt mit der Ebene und berechne die Entfernung.
Für eine Lotgerade ohne vorgegebenen Punkt suchst du einen beliebigen Ebenenpunkt und gehst dann wie gewohnt vor. Der Abstand muss zur Vorgabe passen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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