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Mathe Abitur: Quadratische Funktionen und ihre Geheimnisse

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Mathe Abitur: Quadratische Funktionen und ihre Geheimnisse
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Luisa

@luisaebchm

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Eine umfassende Übersicht der Funktion als mathematisches Modell für Mathe Abitur mit Fokus auf Analysis und ganzrationale Funktionen.

• Die Grundlagen der Polynomfunktionen und deren Eigenschaften bilden das Fundament für die Kurvendiskussion und Differenzierbarkeit im Polynom
• Besondere Beachtung gilt der Symmetrie und Monotonie bei quadratischen Funktionen sowie deren Verschiebungen
• Differenzial- und Integralrechnung werden ausführlich behandelt, einschließlich Grenzwertberechnungen und charakteristischer Punkte
• Funktionsscharen und Polynomsdivision runden die mathematische Analyse ab

15.5.2023

2525

Funktion als mathematisches Modell Mathe Abitur - Analysic GANZRATINALE FUNKTION/POLYNOM FUNKTION n-1 f(x) = an x + an-₁ X² + ... + ax + a,

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Kurvendiskussion und Transformation

Die zweite Seite behandelt die Verschiebung und Transformation von Funktionen sowie deren Monotonie- und Symmetrieeigenschaften.

Definition: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂).

Highlight: Bei Verschiebungen bleibt die grundlegende Form der Funktion erhalten, nur die Position ändert sich.

Example: Verschiebung in y-Richtung: h(x) = f(x) + s verschiebt den Graphen um s Einheiten nach oben.

Vocabulary:

  • Definitionsbereich: Menge aller zulässigen x-Werte
  • Wertebereich: Menge aller möglichen y-Werte
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Charakteristische Punkte

Die dritte Seite fokussiert sich auf die Analyse charakteristischer Punkte und deren Bestimmung.

Definition: Ein Wendepunkt ist der Übergang von einer Rechts- zu einer Linkskrümmung oder umgekehrt.

Highlight: Die Bestimmung von Extrempunkten erfolgt durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Vorzeichenwechselkontrolle.

Example: Bei der Funktion f(x) = 0,5(x-2)(x-1)(x+1)(x+2) können die Nullstellen direkt abgelesen werden.

Vocabulary:

  • Lokales Maximum: Größter Funktionswert in einer Umgebung
  • Sattelpunkt: Wendepunkt mit horizontaler Tangente
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Grenzwerte und charakteristische Punkte

Dieser Abschnitt behandelt die Berechnung von Grenzwerten und die Bestimmung charakteristischer Punkte.

Definition: Extrempunkte können lokal (in der Umgebung) oder global (im gesamten Definitionsbereich) auftreten.

Highlight: Die Bestimmung von Extrempunkten erfolgt durch:

  1. Nullstellen der ersten Ableitung finden
  2. Vorzeichenwechsel untersuchen
  3. Funktionswerte berechnen
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Graphische Darstellung und Ableitungen

Die Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen werden graphisch dargestellt.

Highlight: Die erste Ableitung f'(x) beschreibt die Steigung der Ursprungsfunktion.

Definition: Wendepunkte markieren den Übergang zwischen Links- und Rechtskrümmung.

Funktion als mathematisches Modell Mathe Abitur - Analysic GANZRATINALE FUNKTION/POLYNOM FUNKTION n-1 f(x) = an x + an-₁ X² + ... + ax + a,

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Differentialrechnung

Ausführliche Erklärung der Ableitungsregeln und deren Anwendung.

Definition: Die Ableitung f'(x) beschreibt die Steigung in jedem Punkt der Funktion.

Example: Bei der Quotientenregel gilt: (u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/v(x)²

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Integralrechnung

Grundlegendes Verständnis der Integration und ihrer Anwendungen.

Definition: Das Integral stellt die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse dar.

Highlight: Unterscheidung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral ist wesentlich.

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Funktionsscharen

Erläuterung von Funktionen mit Parametern und deren Eigenschaften.

Definition: Eine Funktionsschar beschreibt eine Familie von Funktionen, die durch einen Parameter t bestimmt wird.

Highlight: Bei der Analyse von Funktionsscharen muss die Parameterabhängigkeit berücksichtigt werden.

Funktion als mathematisches Modell Mathe Abitur - Analysic GANZRATINALE FUNKTION/POLYNOM FUNKTION n-1 f(x) = an x + an-₁ X² + ... + ax + a,

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Grundlagen der Funktionen

Die erste Seite führt in die fundamentalen Konzepte der ganzrationalen Funktionen ein. Diese werden als mathematische Modelle mit präzisen Eigenschaften vorgestellt.

Definition: Eine ganzrationale Funktion ist ein Polynom mit dem Grad n, wobei die Koeffizienten reelle Zahlen sind.

Highlight: Ganzrationale Funktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig und beliebig oft differenzierbar.

Example: Die quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c als wichtiger Spezialfall mit ihrer Normal- und Scheitelform.

Vocabulary:

  • Leitkoeffizient: Der Koeffizient der höchsten Potenz
  • Ordinate: y-Achse
  • Abszisse: x-Achse

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• Die Grundlagen der Polynomfunktionen und deren Eigenschaften bilden das Fundament für die Kurvendiskussion und Differenzierbarkeit im Polynom
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Definition: Ein Wendepunkt ist der Übergang von einer Rechts- zu einer Linkskrümmung oder umgekehrt.

Highlight: Die Bestimmung von Extrempunkten erfolgt durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Vorzeichenwechselkontrolle.

Example: Bei der Funktion f(x) = 0,5(x-2)(x-1)(x+1)(x+2) können die Nullstellen direkt abgelesen werden.

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  • Lokales Maximum: Größter Funktionswert in einer Umgebung
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Definition: Extrempunkte können lokal (in der Umgebung) oder global (im gesamten Definitionsbereich) auftreten.

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Definition: Eine Funktionsschar beschreibt eine Familie von Funktionen, die durch einen Parameter t bestimmt wird.

Highlight: Bei der Analyse von Funktionsscharen muss die Parameterabhängigkeit berücksichtigt werden.

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Grundlagen der Funktionen

Die erste Seite führt in die fundamentalen Konzepte der ganzrationalen Funktionen ein. Diese werden als mathematische Modelle mit präzisen Eigenschaften vorgestellt.

Definition: Eine ganzrationale Funktion ist ein Polynom mit dem Grad n, wobei die Koeffizienten reelle Zahlen sind.

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