Mathe ZK 2023 + Lösungen 📘

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Punkte) 1. Aufgabe a) F'(x)=x²-2x-8 f(-41=16✓ b) f(x1= 0 ✓ 2 X-2x-8:01P9-Formel X₁/2=2+ Mathe-ZK M. Teil B 1±71 +8 479 1±3 X=-2✓ X₂=4✓ cial Die Funktion & hat bei x=-2 und x = 4 eine lokale Extremstelle. ✓ lokaler (2) Bei x = -2 handelt es sich um einen HP. + 20- gibt ✓ bei f'(x) da esteinen VZW van Aufgabe 21 HOT (2) PIFT: 44 = 34 14 3 lokalen Bei x = 4 handelt es sich um einen P bei f'(x) da es einen Vow von - 20 + gibt. ✓ WE (3) P(F) = MAY 11 34 31052023 (3) RIH) - PCGHT: 14 PATY DL DL Name Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung 1 0.5 f(x)=x²-3x²+2x-1, XER. −1, xe Der Graph von f ist in der folgenden Abbildung 1 dargestellt. ↑f(x) 0 -0.5 -1 Mathematik Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln 0.5 1 1.5 9 2 25 Sonase 3 3,5 4 X Abbildung 1 a) Die Funktion f besitzt neben der in der Abbildung 1 ablesbaren Nullstelle x = 2 zwei weitere Nullstellen. Berechnen Sie diese und geben Sie die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen gerundet an. ✔ (2 Punkte) Name: Selle & - b) Geben Sie f'(x) an und bestimmen Sie rechnerisch - ohne dabei an Funktionsgraphen ab- gelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden - die Koordinaten der lokalen Extrem- punkte des Graphen von f. (7 Punkte) c) Für die gegebene Funktion f gilt die folgende Aussage: Die Anzahl der lokalen Extremstellen ist um eins geringer als die Anzahl der Nullstellen. Entscheiden Sie, ob diese Aussage für alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (2) Die Gerade g schneidet den Graphen von f in einem weiteren Punkt R. ✓ Bestimmen Sie die Koordinaten von R. (3 Punkte) d) (1) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P(1|f(1)) und Q(3|f (3)) verläuft. [Zur Kontrolle: g: y=-x+2.] ✓ (3) Es gibt Stellen, an denen der Graph von f Tangenten hat, die parallel zur Geraden g verlaufen. Berechnen Sie diese Stellen und geben Sie die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen gerundet an. (3+2+2 Punkte) Name: e) In den folgenden Abbildungen 2.1 bis 2.3 sind für verschiedene Werte von h (h>0) die f(3+h)-f(3) zugehörigen Differenzenquotienten veranschaulicht. h 25 35 Abbildung 2.1 fl 4 X -0.5 35 25 2.5 3 AU -0.5 Abbildung 2.3 Abbildung 2.2 4 1 X 35 (1) Entscheiden Sie, welche der Abbildungen 2.1 oder 2.3 zu dem Wert h=0,25 gehört. (2) Geben Sie an, welcher Wert von h zu der Abbildung 2.2 gehört. (3) Wenn h immer kleiner wird, dann nähert sich der Wert des Differenzenquotienten f(3+h)-f(3) einer bestimmten Zahl an. h Geben Sie diese Zahl an und begründen Sie Ihre Angabe. (1 + 1 + 3 Punkte) 4653 Name: Aufgabe 4: Der Ederstausee in Hessen ist einer der größten Stauseen in Deutschland. Wenn er bis zum Überlauf gefüllt ist (Vollstau), dann enthält er eine Wassermenge von 200 Millionen m³. Im Sommer 2022 herrschte in Deutschland eine extreme Trockenheit. Dadurch nahm die Was- sermenge im Ederstausee immer weiter ab. Die Füllmenge des Ederstausees in Millionen m³ von Anfang Januar 2022 bis Mitte September 2022 kann für 0 st≤ 8,5 näherungsweise mithilfe der Funktion f mit beschrieben werden, wobeit die Zeit in Monaten angibt. (t=0 entspricht dem 01. Januar 2022, t=1 entspricht dem 01. Februar, t=2 entspricht dem 01. März usw.) Der Graph von f ist in der Abbildung 1 für 0≤t≤ 8,5 dargestellt. 200 180 160 [f(t) 140 120 100 80 60 40 20 f(t)=0,17 -3,49 +25,2 -83,4-t²+136,8-t+93, t€ IR, 0.85t-13,96+75.61² - 166,8t + 136.8 0 Januar 1 Februar 2 März 3 April 4 Mai Abbildung 1 Juni 6 Juli a) Berechnen Sie die Füllmenge des Ederstausees am 01. April 2022. August t 8 September (2 Punkte) 4653 Name: b) Bei der Entstehung des Ederstausees vor mehr als 100 Jahren wurden Bauwerke überflutet. Einige davon werden bei Niedrigwasser wieder sichtbar, das „Edersee-Atlantis". Das am besten erhaltene Bauwerk ist die Aseler Brücke. Abbildung 2: Aseler Brücke bei Niedrigwasser des Ederstausees¹ Die Aseler Brücke ist begehbar, wenn der Ederstausee nur noch 43% der Füllmenge enthält, die bei Vollstau vorliegt. Bestimmen Sie, ab wann die Aseler Brücke im Jahr 2022 begehbar war. [Hinweis: Die Angabe eines exakten Datums ist nicht erforderlich.] c) Berechnen Sie f(7)-f(5) 7-5 und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (4 Punkte) (4 Punkte) d) Geben Sie f'(t) an und bestimmen Sie rechnerisch - ohne dabei an Funktionsgraphen ab- gelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden - die geringste Füllmenge des Eder- stausees im Zeitraum von Anfang Januar 2022 bis Mitte September 2022. ¹ Ausschnitt eines Fotos von Hubert Berberich, CC BY-SA 3.0. Nur für den Dienstgebrauch! (8 Punkte) 4653 Name: In der Abbildung 3 ist neben dem Graphen von f noch der Graph einer Funktion g dargestellt. Mit der Funktion g wird die aus den Daten der letzten dreißig Jahre ermittelte mittlere Füll menge des Ederstausees von Anfang Januar bis Mitte September modelliert. durchschnittliche [f(t),g(t) 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Januar 1 2 Februar Mara 3 April 4 Mal 5 Juni Jull August Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 9 t Abbildung 3 e) (1) Geben Sie für Ost≤8,5 näherungsweise die Bereiche an, in denen f(t)<g(t) gilt, und interpretieren Sie die Bedeutung dieser Bereiche im Sachzusammenhang. 8 September (2) Fürt 8,0 liegt der größte vertikale Abstand (Abstand in y-Richtung) der Graphen von fund g im Bereich 0≤t≤8,5 vor. Zugelassene Hilfsmittel: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) Ermitteln Sie näherungsweise diesen Abstand und interpretieren Sie den ermittelten Wert im Sachzusammenhang. (3+3 Punkte) Aufgabe 31 a f(x=0✓ 61 Mathe-ZK 2. Teil 34052023 GTR: x 0.27 x₂= 2 x₁₂²3,73 ²(X) = 2/2 × ² - 6x + 2 ✓ 1. Notwendige Bedingung: F(x)=0- F(x) = 0 GIR: x₁=1 x₂ = 3 2. Hinreichende Bedingung: f(x)=0 + UZW- Kriterium. F(0=4,5 F²(1) = 0 ➜ F'(2) = -1,5 ✓ Bei x = 1 handelt es sich um einen* HP, da es beifleinen NZW VON + Zu- gibt ✓ F(2)=-11,5 f(3) = 0 F (4) = 4,5/✓ Bei x₂ = 3 handelt es sich um einen *TP, da es beif' einen vow von - zu + gibt ✓ 3. Einsetzen in Flxl FORTE 1 HP 11 ✓ lokalen FBB-1 IP (31-1). c) Die Aussage ist wahrf da die Ableitungs- Isa funktion einer Funktion dritten Graden immer ein Exponent kleiner ist und for de drenation Nollstellen der Ableitungsfunktion die Extrema angeton.it: die Aussage (~) isa Aber eine Put. 3. Grades vann Z.B. 3 Nullstellen & 2 Extrema halben, muss sie aber nicht... Af f'(X)=-1 al (1) ges: g(x)=mx+b im Punkt P(1/1) und Q(31-11 m=£(3) - F(4): -1-1--1 ✓ 1 = (11·1+b = 1 = -1 + 6 + 1 2 b✓ 9(x) = -x + 2√der (2) f(x) = g(x) ✓ GTR: x₁=1 X₂= 2 x=3 ✓ f(2)= 0 ✓ R210), die Gerade 9 schneidet den Graph von Fauch im Punkt R (210)✓ (3) F²(x) = -X ₂ GTR: X~1,42 (1) X₂ x 2.58 (~) el (1) Abbildung 2.3 ✓ (2) In Abbildung 2.2 ist der h Wert = 0.5✓ (3) Die Zahl ist O, da man mit dem. ✓ Differenzenquotienten versucht näherungs- weise die momentane Anderung an der Stelle x = 3 zu ermitteln. Aufgrund der 1. Ableitung weiß man, dass die Steigung bei x = 30 ist. ✓ Aufgabe 4) a $(3)=191.82 ✓ Die follmenge des Ederstausees beträgt. am 01. April 2022 191,82 Millionen m²✓ bl Vollstau= 200 Millionen m² 200.43- 700 86 die Brücke ist bei einer Füllmenge von 86 Millionern² begehbar. f(t)=867 GIR: ₁3-0,05 +₁36.99, $39.04~ to und to liegen außerhalb des DF-1 Ab Ende Juli und Anfang August war die Aseler Brücke begehbar./ cf( 71-F(S)- 7-5 -53,35/ die Füllmenge des Eder- stausees ist von Juni bis August & durchschnittlich um 53.35 Millionen m² gesunken. di f(t) = 0,85ť" - 13,96+³ + 75,6 €²-166,8t + 136.87 1. Notwendige Bedingung: F(t) = 0 F²(t) = 0 ✓ + GTR: ₁8,21 +42✓ 2. Hinreichende Bedingung; F²(E) = 0 + V2W-Verfahren. F(8)= -25,12 F(8,24)=0F(8,5) = 12,25 ✓ Bei t₁ = 8.21 handelt es sich um einen TP, da es einen VäW von - zu + gibt. ✓ F741= 3,36² $²74,2)=0 $²14/3) +1,916 Bei t₂=4₁2 handelt es sich um einen *FTP, da es einen NOW von + ZU 4 - Isa Ende Juli 3. Cinsetzen in f(t) F14121 = 19959 HP 4,21199,592 F(8.21124.93✓ TP (8,24 124.93 ✓ Anfang August IEF pro Monat lokalen & im Intervall Ost 20,25 DR Rechnung 4. Randwerte FCOV=93 7 24.93 F(8,5) = 3 1 0 7 7 24.93 ✓ Die geringste Füllmenge des Ederstausees beträgt ca. 24.93 Millionen m² und war an Anfang September Aufgabe 31 al f(x1=0✓ GTR: to September el (18. Im Intervallts [G. ; 8,5] ist f(t) < grt), Was bedeutet, dass von Juli bis mitte August die Fallmenge des Ederstausees im Jahr 2012 geringer war als durchschnittlich in den letzten 30 Jahren. (✓) 100 (2) bei t = 8 hat get ca. den Wert go Millionen f m² und F(+) 27.72 Millionen m² ( Der Abstand dieser Werte beträgt 62.28 die Millionen m² und bedeutet, dass in den Cletzten 30 Jahren durchschnittliche Füllmenge über 60 Millionen m² am 1. September waren als am 1. September 2012. 61 C 2x-6 1. Notwendige F(x=0 GIR:X₁=1 / 2. Hinreichend F0=45/1 Bei x = 1 h beifleinen NZW F'(21= -11.5 Bei K₂=3 beillemen 3. Einset fl8 B funkti ein Walle Langs