Mathematik mündliches Abitur

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die x-Achse schneidet. Um sie zu bestimmen, setzt du die Funktion gleich 0. f(x) = 0 Abitur Mathe Seite 3 5- 4- JE f(x)=2x-3 3- 2- 1+ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x=1,5 Beispiel: 1.3 Extremstellen -1+ f(x)=2x-3 2x - 301 +3 2x = 3 1:2 x = 1,5 Extremstellen erkennt man an der 1. Ableitungen der Funktion, da sie eine Steigung von 0 haben. Deshalb gilt: Bei einer Extremstelle x ist die Ableitung immer gleich Null: f'(x)=0. Es gibt zwei verschiedene Arten von Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte. Hochpunkte: Bei einem Hochpunkt steigt der Graph zuerst und fällt dann wieder. Wichtig ist, dass du hier zwei Sachen überprüfst: f'(x) = 0 f"(x) < 0 Abitur Mathe Seite 4 lokaler Hochpunkt > höchster Punkt in seiner näheren Umgebung absoluter Hochpunkt YA n Tiefpunkte: Bei einem Tiefpunkt ist genau das Gegenteil der Fall! Hier fällt der Graph zuerst und steigt dann wieder. Du prüfst dann: f'(x) = 0 f"(x) > 0 lokaler Tiefpunkt 1.4 Wendepunkte УА H X absoluter Tiefpunkt X Abitur Mathe Seite 5 Wendepunkte können durch die 2. Ableitung bestimmt werden, da der diese das Krümmungsverhalten von Graphen einer Funktion beschreibt. Das heißt, der Wendepunkt ist der Moment, in dem der Funktionsgraph von einer Links- in eine Rechtskrümmung wechselt oder umgekehrt. Die Krümmung ist hier 0, d.h. die zweite Ableitung von f(x) ist ebenfalls 0. f"(x) f"(x)=0-> Wendepunkt Wendepunkt Außerdem gilt für die dritte Ableitung: -5 -4 Für einen Wendepunkt an der Stelle a gilt stets: f'(x) = 0 • Ist f''(x) > 0 dann wechselt der Graph seine Krümmung von rechts nach links 1.6 Ableitungen Ist f'(x) < 0 dann wechselt der Graph seine Krümmung von links nach rechts. 1.5 Sattelpunkt Es kann passieren, dass deine Ableitung an einer Stelle Null ist, es sich aber um keine Extremstelle handelt! Das ist dann ein Sattelpunkt. Dort verändert der Graph sein Monotonieverhalten nicht. Damit ist er dann weder der höchste noch der niedrigste Punkt im Graphen. Zum Beispiel steigt hier dein Graph bis er kurz stagniert und wieder weiter steigt. -4 -3 -2 2- 3 2 1- 0 -1- -2- 2 4 6 -3- i 2 3 4 Abitur Mathe Seite 6 5 6 Das liegt genau dann vor, wenn gilt: f'(x) = 0 f"(x) = 0 Merke: Ein Sattelpunkt ist kein Extrempunkt. Die Ableitung einer Funktion ff an einer Stelle x gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an. Bezeichnet wird sie zumeist mit f'(x). positive Steigung Ableitungsregeln Für Zahlen mit x 2. Potenzregel 1. Konstantenregel Für jede Zahl oline x ist die Ableitung 0. 2.B. negative Steigung f(x) = 1 3. Summenregel = O gilt. 1(x) = 2x f'(x) = 2 t Steigung gleich Null 2(x) = 2x + 3x² 1(x) 2 + 6x 2 Für Funktionen mit Potenzfunktionen verwendet man die Potenzfunktion: die Zahl vorm bestehen f(x) = x" f'(x)=n·x"-1 ((x) - 2х4 L'(x) = 2.4x²³ - 8x³ x beeibl 1(x₂) > 0 f(x) <Q f(x) = g(x) +h(x) ► f'(x) = g'(x) + h'(x) Abitur Mathe Seite 7 i der Graph steigt Graph fällt 4. Produktregel f(x) = g(x) · h(x) = f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x) L(x) = 2x. x³ g(x) = 2x h (x) x³ C'(x) = 2x² + 2×· 3ײ 5. Kettenregel f(x) = g(h(x)) ► f'(x) = g′(h(x))• h'(x) f(x) = g'(x) = 2 h'(x) = 3x² 3x (5 x 4x²) g(x) = h (x) = 5x4xẻ f'(x) = 3 (5x. 4x²) · (40x3x) 1.7 Tangentengleichung 3x Berührt eine Gerade eine Funktion an einer Stelle, dann hat die Gerade an dieser Stelle x denselben Anstieg wie der Graph der Funktion. Diese Gerade heißt Tangente an der Graphen von f an der Stelle x. Tangentengleichung f(x)= =mx+n g'(x) = 3 h' (x) 5 8x - 46 x m: Steigung ny-Achsenabschnitt Tangente Punki x Abitur Mathe Seite 8 Vorgehensweise Tangente berechnen: 1. Den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen. 2. Die Funktion ableiten. 3. Den x-Wert in die Ableitung einsetzen und ausrechnen. Wir erhalten die Steigung. 4. Die Werte in die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion einsetzen und nach n auflösen. → Wir erhalten den y-Achsenabschnitt. 5. Die Tangentengleichung notieren. 1.8 Beziehungen von zwei Geraden A Geraden können im zweidimensionalem Raum drei Arten von Beziehungen zueinander haben g=h g S g|| h 1.9 Monotonie h 1. Identisch Identisch bedeutet, dass die beiden Geraden in derselben Richtung verlaufen und unendlich viele gemeinsame Punkte haben (g=h). 2. Parallel Parallele Geraden verlaufen auch in derselben Richtung, haben aber keinen gemeinsamen Punkt. 3. Schneidend Die Geraden verlaufen nicht in dieselbe Richtung und haben deswegen einen oder mehrere Schnittpunkte S. Abitur Mathe Seite 9 Merke Seien 1 und 2 zwei Stellen einer Funktion, wobei ₁ < x2. Dann unterscheidet man anhand der dazugehörigen Funktionswerte f(x) und f(x2) verschiedene Fälle der Monotonie. • Ist f(x) < f(x2), dann ist f streng monoton steigend, • ist f(x1) ≤ f(x2), dann ist f monoton steigend, • ist f(x₁) > f(x2), dann ist f streng monoton fallend, und • ist f(x₁) ≥ f(x₂), dann ist f monoton fallend. streng mono tan skigend 1.10 Symmetrie Für monoton steigend achsensymmetrisch zur y-Achse f(-x) = f(x) Für X → 00 f(x)=x²2 f(-x) = (-x)² = x² = f(x) 1.11 Asymptotisches Verhalten Y Symmetrien von Funktionen -00 streng monoton fallend mollow Callend punktsymmetrisch zum Ursprung > f(-x) = -f(x) |f(-x) = (−x)³ = −x³ = -f(x) strebt der Graph gegen 0 (x-Achse ist die Asymptote). strebt der Graph gegen 0 (y -Achse ist f(x) = x³ die Asymptote). Abitur Mathe Seite 10 Man sagh (x) verhält sich asymptotisch. 1.12 Integralrechnung Man unterscheidet Integrale nach unbestimmten und bestimmten Intergralen. Integralzeichen f(x) Integrationsgrenzen [a, b] Integralzeichen 3- Integrationsvariable 2- for 1- Differential b Integrationsvariable f(x) n Differential Mithilfe eines Integrals lassen sich Flächeninhalte, der ein Graph mit der x-Achse einschließt berechnen: f(x) a = O unbestimml 6.4 bestimmt fºfo Das Intergral wird dann mithilfe der Stammfunktion berechnet (Bsp.): f(x). 4x² + 4 Abitur Mathe Seite 11 f(x) dx Şarka » [300 4400) - 3448144 JARMAR dx [x³ + 4x 4* · 64 + 16 = 10 1,5 2. Exponentielles Wachstum Freitag, 20. Mai 2022 08:40 2.1 e-Funktion und ihre Ableitung Die e Funktion ist eine Exponentialfunktion zur Basis e* 2,7182. Sie ist in der Mathematik so wichtig, dass sie auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet wird. Ihre Funktionsgleichung lautet: -5 -4 f(x) = ex Ableitung 6+ Achsensymmetrie: f(-x) = f(x) Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x). 4+ 3+ 2+ 1 (0/1) 0 -1+ 1 f(x) = ex (1 e) ((x) = e* f'(x) = ex 2 Eigenschaften Der Graph der normalen Exponentialfunktion weist keinerlei Symmetrien auf, er ist weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch! Anders sieht die Sache wieder bei den komplizierteren Exponentialfunktionen aus. Im obigen Bild siehst du sofort, dass dieser Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft. In solchen Fällen musst du die Symmetrie explizit nachrechnen! 4 5 6 Da die natürliche Exponentialfunktion die einzige Funktion ist, deren Steigung immer gleich ihrem Funktionswert ist, ist ihre Ableitung immer wieder die Funktion selbst. Abitur Mathe Seite 12 Bei verketteten Funktionen müssen die Funktionen wieder einzeln abgeleitet werden. 2.2 natürlicher Algorithmus Der natürliche Logarithmus wird auch als Logarithmus naturalis bezeichnet. Damit kannst du alle Gleichungen lösen, bei denen du dich fragst, welche Zahl x du in den Exponenten von e nehmen musst, um eine andere Zahl y zu erhalten. 2.3 Basistransformation Bsp. Exponentialfunktionen lassen sich umformen indem man die Basistransformation mit In(x) verwendet. f (t) f(t) = für {(x) = f (x) = ↳ f(x) = Zunahme: f(x) = a* P(x) = 4 2.4 Exponentielle Ab- und Zunahme a . Exponentielles Wachstum bezeichnet sowohl die exponentielle Zu- als auch Abnahme. t K No e In (k) t e Prozent rechnung. a (₁+ a e In (a). X e² = y →x = ln(y) e In (4).x In (1+²). x 9 = Start wed k Wachstums faktor Bei exponentieller Zunahme ist der Wachstumsfaktor immer größer als 1. Man erhält also mehr als man vorher hatte. INIE) (1) IA -d +c Abitur Mathe Seite 13 ist isl + > 1 → Zunahme + zwischen 0 und 1 Abnahme Bei exponentieller Zunahme ist der Wachstumsfaktor immer größer als 1. Man erhält also mehr als man vorher hatte. IN(E) (1) JA -d 2 +c No +c Abnahme: No 0.5 0 -1 IN(E) ((1) 0 +C 0.5 2.5 Begrenztes Wachstum d +c 1.5 d Beschränktes Wachstum besitzt eine Besonderheit, nämlich die Existenz einer natürlichen Schranke. Diese Schranke kann die Population nach oben oder nach unten beschränken. Das heißt, dass die Population die Schranke niemals überschreiten (bei nach oben beschränktem Wachstum) beziehungsweise unterschreiten kann (bei nach unten beschränktem Wachstum). Abitur Mathe Seite 14 Formel: k Population ODER: 100- 80- 60- 40- 20- B(0) N = Grenzwert für SON & Stafwerk f(x) = s. e A Abkling Laktor 2.6 Halbwertszeit f(x) = 5 (1(o) -s).e K.X 2 Die Halbwertszeit ist ein bedeutsames Beispiel für exponentielle Abnahme und kommt in der Berechnung für z.B. Radioaktivität und Strahlung vor. Man kann sie folgendermaßen berechnen: 2(0) 2 = P (o) e = Die Halbwertszeit ist in der Kernphysik diejenige Zeitspanne, in der die Menge eines bestimmten radioaktiven Nuklids auf die Hälfte gesunken ist, das heißt sich in andere Atome umgewandelt hat. Für jedes Nuklid ist die Halbwertszeit eine Konstante. e + N -k.x ((x) Formel für die Halbwertszeit 6 8 10 In (y) .x m(y) .x In(y) L (0) e en (0,5) en(a)= Zeit Abitur Mathe Seite 15 3. Vektorrechnung Erditah to ₂b2 baha 3.1 3D-Koordinatensysteme Die Achsen eines 3D-Diagrammes haben einen gemeinsamen Nullpunkt 0, den Ursprung. Die Achsen spannen drei verschiedene Ebenen auf: Punkte in ein 3D- Diagramm einzeichnen: Für den Koordinatenzug geht man vom Ursprung aus. Beispiel für das Zahlentripel: H Hip 12,5) Zwei Einheiten diagonal nach vorne 2. Dret Einheiten nach links 3. Dreieinhalb Einheiten nach ober 3.2 Was sind Vektoren? a Dee Vektor 7 3 ^ oder allgemein 1931 Ein Vektor mit drei Koordinaten ist ein geordnetes Zahlentripel, welches wir als Spalte schreiben. Als Abkürzung bezeichnen wir Vektoren mit einem Kleinbuchstaben und einem kleinem Pfeil über diesem Buchstaben, z. B. o hei BL Null vektor 07 √ V₂ V₂ →X₁ V₂ Abitur Mathe Seite 16. Zusammenhang zwischen Vektoren und Pfeilen: Vektoren können zur Beschreibung von Verschiebungen verwendet werden. Der Pfeil PO veranschaulicht durch den Vektor v die Verschiebung von Punkt P zu Punkt Q: P( 6 14 15 Q 10 13 TES XX₂ X₁ X₂ Ebene Ebene Ebene b Q( 10 13 14) Länge von Vektoren Unter der Länge eines Vektors versteht man die Länge des zugehörigen Pfeils des Vektors im Koordinatensystems. Statt Länge sagt man auch Betrag v des Vektors V. Der Nullvektor hat die Länge |v₂| Für die Länge eines dreidimensionales Vektors 2 NI Not Bsp. 3.3 Rechnen mit Vektoren/Linearkombination & Skalarprodukt Вор. Sunne und D. (ferenz von Vektoren und b 10 16t Vektoren Summen vektor Different vektor werden word naten wase addiert und subtro Word Beispiel (2), 5(7) 0·0-EX-0000 --6-6-6--006-6) Ver an schaulichung/Dreiecksregel PO + QR = PR Man kommt wen P nach Rauch aut den Umweg über a Vervielfachen eines Vertors Ein Vektor V'. r= (-3,0) Es gilt also M.² V₂ (-3.5). Man nennt den Vektor r.²r. (3) S 3.4 Abstand von zwei Punkten ba auch shalare MuchipsAnton bow Shalar produzh genannt wird koordinaven weise mit einer rellen Bahr& vervielfach 3,5. Bedeutung des Vervielfachens Zwei Velloren heißen parallel sueinander, wenn sie Vielfache von einandes Man sagt sind kollinear zueinander, sind R Bilt F Der Abstand zweier Punkte A (ala, a) und B (b. bl bist gleich der Länge des Vektors AB 1512) B C2 v₂ das r-Loche des Vektors J AC ~ √ (b₁-an)²- 63-92) (b. (8) THEN ₂ Abitur Mathe Seite 17 Bsp. A (-3 LABI 1512) B (21-4 18) g 2 + 3 S 3.5 Geradengleichungen in der Vektorrechnung Parameterdarstellung einer Geraden Durch einen Punkt A und einen Vektor v kann eine Geradengleichung für die Gerade g bestimmt werden: OX QA + k Paramel S ਹਰੀ ਤਕਨਾਲ (-₁) 10² -206 14 35 Beispiel: Geraden gleichung aufstellen Orvektor JR ! A (-2131) -2 04:31 U ein seleen. g.dx = 3.6 Sourpunkte einer Gerade allgemeine Geraden gleichung SOK bA + k ·t' 3 1 H J's -5 S1: Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene S2: Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene $3: Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene (5) Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Je nach Koordinatenebene haben die Spurpunkte unterschiedliche Bezeichnungen: Abitur Mathe Seite 18. Betsplet für S₁ →k=4 Schritt 1: Setze die jeweilige Koordinate der Geraden gleich 0. für S1: erste Zeile = 0 für S2: zweite Zeile = 0 für S3: dritte Zeile = 0 m Schritt 2: Löse nach kauf. Schritt 3: Setze k in die Geradengleichung ein. Dein Ergebnis, ein Vektor, ist der Schnittpunkt mit einer Koordinatenebene, also dein Spurpunkt. T g:x: TE G G S₂ 1 2 3 10 20 9 Spurpunkte einer Geraden 3.7 Ebenengleichung 14 k= 4 +1 200 3 k •3 (-1) S -1 Geraden gleichung einsetzen 2 Stolz -1 कल vekho Ś 20 18 20 7 18 solve (), k € OXOA ST+ P Ebenen bezeich nung ** Die allgemeine Gleichung einer Ebene mit dem Stützvektor (auch Ortsvektor/Pin) DA und den Richtungsvektoren (auch Spannvektoren) und lautet Abitur Mathe Seite 19 3.8 Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene Die Schnittpunkte einer Ebene E mit den Koordinatenachsen bezeichnet man als Spurpunkte der Ebene Die Schnittgeraden einer Ebene E mit den Koordinatenebenen werden als Spurpunkte bezeichnet. X1 3.9 Beziehungen von Geraden identisch 15th gis 91 Orthogonalitat oder glih 2. Punktprobe liegt drauf WAN 3₁ "All pank! 1. Richtungsvektoren der Geraden vergleichen iegt nicht Vielfache gra parallel $2 X2- nicht vielfache X oder 9 kh 2. Gleichsetzen lösbar schneiden sich • and W haben schrill party 2 Abitur Mathe Seite 20 nicht lösbar nur in R³ windschief and h doen heiken seni ponty In der Elementa e nennt man zwei Geraden oder Ebenen orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel, also einen Winkel von 90°, einschließen.