Merkblatt: Quadratische Funktionen und deren Eigenschaften

Quadratische Funktionen - Grundlagen und Parameter

Eine quadratische Funktion hat immer die Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ (mit $a \neq 0$). Ihr Graph ist eine Parabel. Die einfachste Form ist die Normalparabel $f(x) = x^2$ mit dem Scheitelpunkt bei S(0|0).

Die Parameter einer quadratischen Funktion beeinflussen das Aussehen der Parabel:

• Parameter a: Bestimmt Öffnungsrichtung und Streckung
  • a > 0: Parabel öffnet nach oben
  • a < 0: Parabel öffnet nach unten
  • |a| > 1: Parabel wird gestreckt
  • 0 < |a| < 1: Parabel wird gestaucht

Parameter e in $f(x) = x^2 + e$ verschiebt die Parabel nach oben (e > 0) oder unten (e < 0). Der Parameter d in $f(x) = (x + d)^2$ verschiebt die Parabel nach links (d > 0) oder rechts (d < 0).

💡 Merke dir: Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel oder der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel. Er ist entscheidend für das Lösen quadratischer Gleichungen!

Für quadratische Funktionen in der allgemeinen Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ kannst du Nullstellen mit der pq-Formel berechnen: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Alternativ kannst du quadratische Gleichungen auch grafisch lösen, indem du die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmst.

Du kannst zwischen Normalform und Scheitelpunktform umwandeln:

• Von $f(x) = a(x + d)^2 + e$ zu $f(x) = ax^2 + bx + c$: Ausmultiplizieren
• Von $f(x) = ax^2 + bx + c$ zu $f(x) = a(x + d)^2 + e$: Quadratische Ergänzung