Die H-Methode zur Berechnung von Grenzwerten
Die H-Methode ist ein fundamentales Werkzeug in der Mathematik zur Berechnung von Grenzwerten, besonders bei Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten. Diese Methode ermöglicht es uns, scheinbar unlösbare Grenzwerte durch geschickte algebraische Umformungen zu bestimmen.
Definition: Die H-Methode basiert auf der Substitution h = x - a, wobei a der Annäherungspunkt ist. Diese Substitution verwandelt den ursprünglichen Grenzwert in eine Form, die leichter zu berechnen ist.
Bei der Anwendung der H-Methode auf den Grenzwert limx→2 x2−4/x−2 substituieren wir zunächst x = 2+h. Der Zähler wird zu 2+h²-4, der Nenner zu 2+h-2, also h. Nach dem Ausklammern von h im Zähler erhalten wir h4+h/h, was sich zu 4+h vereinfacht. Für h→0 ergibt sich der Grenzwert 4.
Ein weiteres Potenzfunktion Beispiel ist der Grenzwert limx→1 x3−2x+1/x−1. Hier setzen wir x = 1+h und erhalten nach mehreren Umformungsschritten den Ausdruck h2+3h+1. Für h→0 ergibt sich der Grenzwert 1.
Hinweis: Bei der Anwendung der H-Methode ist es wichtig, systematisch vorzugehen:
- Substituiere x = a+h
- Forme den Ausdruck um
- Kürze wenn möglich h
- Berechne den Grenzwert für h→0