Mittlere und momentane Änderungsrate
Stell dir vor, du fährst Auto und willst wissen, wie schnell du warst - das ist genau das, was Änderungsraten beschreiben! Die mittlere Änderungsrate zeigt dir die durchschnittliche Veränderung in einem bestimmten Zeitraum. Du berechnest sie mit der Formel ms=x2−x1f(x2)−f(x1).
Die momentane Änderungsrate ist viel präziser - sie zeigt die Veränderung in einem ganz bestimmten Moment. Dafür verwendest du den Grenzwert: f′(x0)=limh→0hf(x0+h)−f(x0). Das h wird dabei immer kleiner, bis es praktisch null ist.
Grafisch gesehen ist die mittlere Änderungsrate die Steigung einer Sekante (Linie durch zwei Punkte), während die momentane Änderungsrate die Steigung der Tangente (berührt den Graph nur in einem Punkt) ist. In der Praxis kannst du damit Geschwindigkeiten, Beschleunigungen oder sogar den Benzinverbrauch berechnen.
💡 Merktipp: Mittlere Änderungsrate = Durchschnitt über ein Intervall, momentane Änderungsrate = genau in einem Punkt!