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Parabel

Parabel verschieben und Strecken - Leicht erklärt

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Parabel verschieben und Strecken - Leicht erklärt

Ayla Engelhardt

@aylaengelhardt_0c32b6

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Die Normalparabel und ihre Transformationen durch Verschiebung, Streckung und Stauchung bilden fundamentale Konzepte der quadratischen Funktionen.

Die Grundform der Normalparabel wird durch f(x)=x² beschrieben
Verschiebung kann entlang der x-Achse (durch Addition/Subtraktion innerhalb der Klammer) oder y-Achse (durch Addition/Subtraktion außerhalb) erfolgen
Streckung und Stauchung werden durch den Streckfaktor a bestimmt
Die Scheitelpunktform ermöglicht das präzise Ablesen der Parabeleigenschaften
Parabel Eigenschaften wie Öffnungsrichtung und Form werden durch den Streckfaktor beeinflusst

20.9.2022

5399

-6
g
h
i
4
3
2
A
-5 verschieben, Stauchen und strecken 5
-1
1
Parabeln
-2
-3
k
X
6 Normalparabel
• Die Formel für die Normalparabel
2
ist f(

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Verschiebung entlang der y-Achse

Die Verschiebung einer Parabel entlang der y-Achse ist eine grundlegende Transformation, die das Verständnis von Funktionsgraphen erweitert.

Formel: g(x) = x² + e

Hierbei bestimmt die Konstante e den Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet.

Beispiel: Bei f(x) = x² + 3 wird die Parabel um 3 Einheiten nach oben verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(0|3).

Diese Verschiebung beeinflusst nur die vertikale Position der Parabel, ihre Form bleibt unverändert.

Highlight: Die Parabel verschieben y-Achse Transformation ist besonders nützlich, um den y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion anzupassen.

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Verschiebung nach unten

Die Verschiebung einer Parabel nach unten ist eine spezielle Form der y-Achsen-Verschiebung, die oft in praktischen Anwendungen vorkommt.

Formel: f(x) = x² - e

Wenn man von der Normalparabel eine Konstante e subtrahiert, verschiebt sich die gesamte Parabel nach unten.

Beispiel: Bei f(x) = x² - 2 wird die Parabel um 2 Einheiten nach unten verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(0|-2).

Diese Transformation ist besonders nützlich, um Parabeln an spezifische Datenpunkte oder Situationen anzupassen, bei denen der Scheitelpunkt unter der x-Achse liegen soll.

Highlight: Die Verschiebung nach unten ändert den y-Achsenabschnitt der Funktion, ohne ihre grundlegende Form zu beeinflussen.

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Verschiebung auf der x-Achse

Die Verschiebung einer Parabel entlang der x-Achse ist eine wichtige Transformation, die die horizontale Position des Scheitelpunkts verändert.

Formel: g(x) = (x - d)²

Die Konstante d bestimmt den Punkt auf der x-Achse, zu dem die Parabel verschoben wird.

Highlight: Bei der Parabel verschieben x-Achse Formel ist zu beachten, dass ein Minus-Zeichen vor d eine Verschiebung nach rechts bewirkt, während ein Plus-Zeichen eine Verschiebung nach links zur Folge hat.

Diese Transformation ist besonders nützlich, um den Scheitelpunkt einer Parabel horizontal zu verschieben, ohne ihre Öffnung oder vertikale Position zu verändern.

Beispiel: Bei g(x) = (x - 2)² wird die Parabel um 2 Einheiten nach rechts verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(2|0).

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Verschiebung nach links

Die Verschiebung einer Parabel nach links ist eine spezielle Form der x-Achsen-Verschiebung, die in vielen praktischen Anwendungen vorkommt.

Formel: g(x) = (x + d)²

Wenn man innerhalb der Klammer x addiert, verschiebt sich die gesamte Parabel nach links.

Beispiel: Bei g(x) = (x + 2)² wird die Parabel um 2 Einheiten nach links verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(-2|0).

Diese Transformation ist besonders nützlich, um Parabeln an spezifische Datenpunkte oder Situationen anzupassen, bei denen der Scheitelpunkt links von der y-Achse liegen soll.

Highlight: Die Parabel verschieben nach rechts Formel unterscheidet sich von der Verschiebung nach links durch das Vorzeichen vor der Konstante d.

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Streckung, Stauchung und Öffnung

Die Veränderung der Form einer Parabel durch Streckung, Stauchung und Änderung der Öffnungsrichtung ist eine wichtige Transformation, die das Verhalten der Funktion grundlegend beeinflusst.

Formel: g(x) = a·x²

Der Faktor a, auch Streckfaktor Parabel genannt, bestimmt die Form und Öffnungsrichtung der Parabel.

Highlight: Der Streckfaktor Parabel berechnen ist entscheidend für das Verständnis der Parabelform.

Ist a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben.
Ist a < 0, öffnet sich die Parabel nach unten.
|a| > 1 führt zu einer schmaleren Parabel (Streckung in y-Richtung).
0 < |a| < 1 führt zu einer breiteren Parabel (Stauchung in y-Richtung).

Diese Transformationen beeinflussen die Steilheit und Öffnungsrichtung der Parabel, während der Scheitelpunkt bei S(0|0) bleibt.

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Öffnung der Parabel

Die Öffnungsrichtung einer Parabel ist ein entscheidendes Merkmal, das ihr Verhalten und ihre graphische Darstellung bestimmt.

Definition: Die Öffnung einer Parabel gibt an, in welche Richtung die "Arme" der Parabel zeigen.

Bei a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, z.B. g(x) = 1·x²
Bei a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet, z.B. h(x) = -1·x²

Highlight: Die Eigenschaften Parabel Mathe wie die Öffnungsrichtung sind direkt aus dem Vorzeichen des Streckfaktors a ablesbar.

Diese Eigenschaft ist besonders wichtig für die Interpretation von quadratischen Funktionen in praktischen Anwendungen, wie z.B. bei der Modellierung von Wurfbahnen oder ökonomischen Prozessen.

Beispiel: Eine nach oben geöffnete Parabel könnte den Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit von der Produktionsmenge darstellen, während eine nach unten geöffnete Parabel die Kosten repräsentieren könnte.

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Form der Parabel

Die Form einer Parabel wird maßgeblich durch den Streckfaktor a beeinflusst und bestimmt ihre Breite oder Schmalheit im Vergleich zur Normalparabel.

Definition: Die Streckung und Stauchung von Funktionen bei Parabeln bezieht sich auf die Veränderung ihrer Form in y-Richtung.

Ist |a| > 1, ist die Parabel schmaler als die Normalparabel (Streckung in y-Richtung).
Ist 0 < |a| < 1, ist die Parabel breiter als die Normalparabel (Stauchung in y-Richtung).

Highlight: Die Streckung Parabel ablesen kann direkt aus dem Betrag des Streckfaktors a erfolgen.

Diese Formveränderungen sind besonders wichtig für die Modellierung von realen Situationen, bei denen die Steigung oder Krümmung einer quadratischen Funktion angepasst werden muss.

Beispiel: Eine gestauchte Parabel mit 0 < |a| < 1 könnte verwendet werden, um einen flacheren Verlauf einer quadratischen Kostenfunktion darzustellen.

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Stretching, Compression, and Opening Direction

Introduces the concepts of stretching, compression, and the direction of opening.

Formula: g(x)=a•x², where a is the stretch factor.

Highlight: The vertex point remains at S(0|0) during these transformations.

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Opening Direction

Explains how the stretch factor affects the opening direction of the parabola.

Definition: For a>0, the parabola opens upward; for a<0, it opens downward.

Example: g(x)=1x² opens upward, while h(x)=-1x² opens downward.

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Parabola Shape

Describes how the stretch factor affects the shape of the parabola.

Definition: For |a|>1, the parabola becomes narrower; for 0<|a|<1, it becomes wider.

Highlight: The shape changes are relative to the normal parabola.

Example: Different values of a demonstrate various degrees of stretching and compression in the y-direction.

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Ayla Engelhardt

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Die Normalparabel und ihre Transformationen durch Verschiebung, Streckung und Stauchung bilden fundamentale Konzepte der quadratischen Funktionen.

Die Grundform der Normalparabel wird durch f(x)=x² beschrieben
Verschiebung kann entlang der x-Achse (durch Addition/Subtraktion innerhalb der Klammer) oder y-Achse (durch Addition/Subtraktion außerhalb) erfolgen
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Die Scheitelpunktform ermöglicht das präzise Ablesen der Parabeleigenschaften
Parabel Eigenschaften wie Öffnungsrichtung und Form werden durch den Streckfaktor beeinflusst

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Verschiebung entlang der y-Achse

Die Verschiebung einer Parabel entlang der y-Achse ist eine grundlegende Transformation, die das Verständnis von Funktionsgraphen erweitert.

Formel: g(x) = x² + e

Hierbei bestimmt die Konstante e den Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet.

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Diese Verschiebung beeinflusst nur die vertikale Position der Parabel, ihre Form bleibt unverändert.

Highlight: Die Parabel verschieben y-Achse Transformation ist besonders nützlich, um den y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion anzupassen.

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Verschiebung nach unten

Die Verschiebung einer Parabel nach unten ist eine spezielle Form der y-Achsen-Verschiebung, die oft in praktischen Anwendungen vorkommt.

Formel: f(x) = x² - e

Wenn man von der Normalparabel eine Konstante e subtrahiert, verschiebt sich die gesamte Parabel nach unten.

Beispiel: Bei f(x) = x² - 2 wird die Parabel um 2 Einheiten nach unten verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(0|-2).

Diese Transformation ist besonders nützlich, um Parabeln an spezifische Datenpunkte oder Situationen anzupassen, bei denen der Scheitelpunkt unter der x-Achse liegen soll.

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Verschiebung auf der x-Achse

Die Verschiebung einer Parabel entlang der x-Achse ist eine wichtige Transformation, die die horizontale Position des Scheitelpunkts verändert.

Formel: g(x) = (x - d)²

Die Konstante d bestimmt den Punkt auf der x-Achse, zu dem die Parabel verschoben wird.

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Beispiel: Bei g(x) = (x - 2)² wird die Parabel um 2 Einheiten nach rechts verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(2|0).

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Verschiebung nach links

Die Verschiebung einer Parabel nach links ist eine spezielle Form der x-Achsen-Verschiebung, die in vielen praktischen Anwendungen vorkommt.

Formel: g(x) = (x + d)²

Wenn man innerhalb der Klammer x addiert, verschiebt sich die gesamte Parabel nach links.

Beispiel: Bei g(x) = (x + 2)² wird die Parabel um 2 Einheiten nach links verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(-2|0).

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Streckung, Stauchung und Öffnung

Die Veränderung der Form einer Parabel durch Streckung, Stauchung und Änderung der Öffnungsrichtung ist eine wichtige Transformation, die das Verhalten der Funktion grundlegend beeinflusst.

Formel: g(x) = a·x²

Der Faktor a, auch Streckfaktor Parabel genannt, bestimmt die Form und Öffnungsrichtung der Parabel.

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Ist a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben.
Ist a < 0, öffnet sich die Parabel nach unten.
|a| > 1 führt zu einer schmaleren Parabel (Streckung in y-Richtung).
0 < |a| < 1 führt zu einer breiteren Parabel (Stauchung in y-Richtung).

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Öffnung der Parabel

Die Öffnungsrichtung einer Parabel ist ein entscheidendes Merkmal, das ihr Verhalten und ihre graphische Darstellung bestimmt.

Definition: Die Öffnung einer Parabel gibt an, in welche Richtung die "Arme" der Parabel zeigen.

Bei a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, z.B. g(x) = 1·x²
Bei a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet, z.B. h(x) = -1·x²

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Beispiel: Eine nach oben geöffnete Parabel könnte den Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit von der Produktionsmenge darstellen, während eine nach unten geöffnete Parabel die Kosten repräsentieren könnte.

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Form der Parabel

Die Form einer Parabel wird maßgeblich durch den Streckfaktor a beeinflusst und bestimmt ihre Breite oder Schmalheit im Vergleich zur Normalparabel.

Definition: Die Streckung und Stauchung von Funktionen bei Parabeln bezieht sich auf die Veränderung ihrer Form in y-Richtung.

Ist |a| > 1, ist die Parabel schmaler als die Normalparabel (Streckung in y-Richtung).
Ist 0 < |a| < 1, ist die Parabel breiter als die Normalparabel (Stauchung in y-Richtung).

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Stretching, Compression, and Opening Direction

Introduces the concepts of stretching, compression, and the direction of opening.

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Opening Direction

Explains how the stretch factor affects the opening direction of the parabola.

Definition: For a>0, the parabola opens upward; for a<0, it opens downward.

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Parabola Shape

Describes how the stretch factor affects the shape of the parabola.

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