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Parabel verschieben und Strecken - Leicht erklärt

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Parabel verschieben und Strecken - Leicht erklärt

Ayla Engelhardt

@aylaengelhardt_0c32b6

18 Follower

Die Normalparabel und ihre Transformationen sind zentrale Konzepte in der Mathematik. Diese Zusammenfassung erklärt die Eigenschaften der Normalparabel, ihre Verschiebungen entlang der x- und y-Achse sowie Streckungen und Stauchungen. Besonders wichtig sind:

Die Formel der Normalparabel: f(x) = x²
Parabel verschieben y-Achse: f(x) = x² + e
Parabel verschieben x-Achse Formel: f(x) = (x - d)²
Streckung und Stauchung: f(x) = a·x²

Diese Transformationen beeinflussen den Scheitelpunkt und die Form der Parabel.

20.9.2022

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-6
g
h
i
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3
2
A
-5 verschieben, Stauchen und strecken 5
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1
Parabeln
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k
X
6 Normalparabel
• Die Formel für die Normalparabel
2
ist f(

Verschiebung entlang der y-Achse

Die Verschiebung einer Parabel entlang der y-Achse ist eine grundlegende Transformation, die das Verständnis von Funktionsgraphen erweitert.

Formel: g(x) = x² + e

Hierbei bestimmt die Konstante e den Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet.

Beispiel: Bei f(x) = x² + 3 wird die Parabel um 3 Einheiten nach oben verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(0|3).

Diese Verschiebung beeinflusst nur die vertikale Position der Parabel, ihre Form bleibt unverändert.

Highlight: Die Parabel verschieben y-Achse Transformation ist besonders nützlich, um den y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion anzupassen.

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Verschiebung auf der x-Achse

Die Verschiebung einer Parabel entlang der x-Achse ist eine wichtige Transformation, die die horizontale Position des Scheitelpunkts verändert.

Formel: g(x) = (x - d)²

Die Konstante d bestimmt den Punkt auf der x-Achse, zu dem die Parabel verschoben wird.

Highlight: Bei der Parabel verschieben x-Achse Formel ist zu beachten, dass ein Minus-Zeichen vor d eine Verschiebung nach rechts bewirkt, während ein Plus-Zeichen eine Verschiebung nach links zur Folge hat.

Diese Transformation ist besonders nützlich, um den Scheitelpunkt einer Parabel horizontal zu verschieben, ohne ihre Öffnung oder vertikale Position zu verändern.

Beispiel: Bei g(x) = (x - 2)² wird die Parabel um 2 Einheiten nach rechts verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(2|0).

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Die Normalparabel und ihre Eigenschaften

Die Normalparabel ist eine grundlegende quadratische Funktion in der Mathematik. Sie bildet die Basis für das Verständnis komplexerer Parabeln und deren Transformationen.

Definition: Die Normalparabel wird durch die Funktion f(x) = x² beschrieben.

Bei der Normalparabel liegt der Scheitelpunkt im Koordinatenursprung (0|0), und sie öffnet sich nach oben. Der Streckfaktor a ist bei der Normalparabel immer 1 und wird daher nicht explizit angegeben.

Highlight: Die Eigenschaften der Normalparabel sind leicht zu erkennen und dienen als Referenzpunkt für alle anderen Parabeln.

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Öffnung der Parabel

Die Öffnungsrichtung einer Parabel ist ein entscheidendes Merkmal, das ihr Verhalten und ihre graphische Darstellung bestimmt.

Definition: Die Öffnung einer Parabel gibt an, in welche Richtung die "Arme" der Parabel zeigen.

Bei a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, z.B. g(x) = 1·x²
Bei a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet, z.B. h(x) = -1·x²

Highlight: Die Eigenschaften Parabel Mathe wie die Öffnungsrichtung sind direkt aus dem Vorzeichen des Streckfaktors a ablesbar.

Diese Eigenschaft ist besonders wichtig für die Interpretation von quadratischen Funktionen in praktischen Anwendungen, wie z.B. bei der Modellierung von Wurfbahnen oder ökonomischen Prozessen.

Beispiel: Eine nach oben geöffnete Parabel könnte den Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit von der Produktionsmenge darstellen, während eine nach unten geöffnete Parabel die Kosten repräsentieren könnte.

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Streckung, Stauchung und Öffnung

Die Veränderung der Form einer Parabel durch Streckung, Stauchung und Änderung der Öffnungsrichtung ist eine wichtige Transformation, die das Verhalten der Funktion grundlegend beeinflusst.

Formel: g(x) = a·x²

Der Faktor a, auch Streckfaktor Parabel genannt, bestimmt die Form und Öffnungsrichtung der Parabel.

Highlight: Der Streckfaktor Parabel berechnen ist entscheidend für das Verständnis der Parabelform.

Ist a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben.
Ist a < 0, öffnet sich die Parabel nach unten.
|a| > 1 führt zu einer schmaleren Parabel (Streckung in y-Richtung).
0 < |a| < 1 führt zu einer breiteren Parabel (Stauchung in y-Richtung).

Diese Transformationen beeinflussen die Steilheit und Öffnungsrichtung der Parabel, während der Scheitelpunkt bei S(0|0) bleibt.

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Verschiebung nach links

Die Verschiebung einer Parabel nach links ist eine spezielle Form der x-Achsen-Verschiebung, die in vielen praktischen Anwendungen vorkommt.

Formel: g(x) = (x + d)²

Wenn man innerhalb der Klammer x addiert, verschiebt sich die gesamte Parabel nach links.

Beispiel: Bei g(x) = (x + 2)² wird die Parabel um 2 Einheiten nach links verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(-2|0).

Diese Transformation ist besonders nützlich, um Parabeln an spezifische Datenpunkte oder Situationen anzupassen, bei denen der Scheitelpunkt links von der y-Achse liegen soll.

Highlight: Die Parabel verschieben nach rechts Formel unterscheidet sich von der Verschiebung nach links durch das Vorzeichen vor der Konstante d.

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Form der Parabel

Die Form einer Parabel wird maßgeblich durch den Streckfaktor a beeinflusst und bestimmt ihre Breite oder Schmalheit im Vergleich zur Normalparabel.

Definition: Die Streckung und Stauchung von Funktionen bei Parabeln bezieht sich auf die Veränderung ihrer Form in y-Richtung.

Ist |a| > 1, ist die Parabel schmaler als die Normalparabel (Streckung in y-Richtung).
Ist 0 < |a| < 1, ist die Parabel breiter als die Normalparabel (Stauchung in y-Richtung).

Highlight: Die Streckung Parabel ablesen kann direkt aus dem Betrag des Streckfaktors a erfolgen.

Diese Formveränderungen sind besonders wichtig für die Modellierung von realen Situationen, bei denen die Steigung oder Krümmung einer quadratischen Funktion angepasst werden muss.

Beispiel: Eine gestauchte Parabel mit 0 < |a| < 1 könnte verwendet werden, um einen flacheren Verlauf einer quadratischen Kostenfunktion darzustellen.

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Verschiebung nach unten

Die Verschiebung einer Parabel nach unten ist eine spezielle Form der y-Achsen-Verschiebung, die oft in praktischen Anwendungen vorkommt.

Formel: f(x) = x² - e

Wenn man von der Normalparabel eine Konstante e subtrahiert, verschiebt sich die gesamte Parabel nach unten.

Beispiel: Bei f(x) = x² - 2 wird die Parabel um 2 Einheiten nach unten verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(0|-2).

Diese Transformation ist besonders nützlich, um Parabeln an spezifische Datenpunkte oder Situationen anzupassen, bei denen der Scheitelpunkt unter der x-Achse liegen soll.

Highlight: Die Verschiebung nach unten ändert den y-Achsenabschnitt der Funktion, ohne ihre grundlegende Form zu beeinflussen.

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Verschiebung entlang der y-Achse

Die Verschiebung einer Parabel entlang der y-Achse ist eine grundlegende Transformation, die das Verständnis von Funktionsgraphen erweitert.

Formel: g(x) = x² + e

Hierbei bestimmt die Konstante e den Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet.

Beispiel: Bei f(x) = x² + 3 wird die Parabel um 3 Einheiten nach oben verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(0|3).

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Verschiebung auf der x-Achse

Die Verschiebung einer Parabel entlang der x-Achse ist eine wichtige Transformation, die die horizontale Position des Scheitelpunkts verändert.

Formel: g(x) = (x - d)²

Die Konstante d bestimmt den Punkt auf der x-Achse, zu dem die Parabel verschoben wird.

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Die Normalparabel und ihre Eigenschaften

Die Normalparabel ist eine grundlegende quadratische Funktion in der Mathematik. Sie bildet die Basis für das Verständnis komplexerer Parabeln und deren Transformationen.

Definition: Die Normalparabel wird durch die Funktion f(x) = x² beschrieben.

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Öffnung der Parabel

Die Öffnungsrichtung einer Parabel ist ein entscheidendes Merkmal, das ihr Verhalten und ihre graphische Darstellung bestimmt.

Definition: Die Öffnung einer Parabel gibt an, in welche Richtung die "Arme" der Parabel zeigen.

Bei a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, z.B. g(x) = 1·x²
Bei a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet, z.B. h(x) = -1·x²

Highlight: Die Eigenschaften Parabel Mathe wie die Öffnungsrichtung sind direkt aus dem Vorzeichen des Streckfaktors a ablesbar.

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Beispiel: Eine nach oben geöffnete Parabel könnte den Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit von der Produktionsmenge darstellen, während eine nach unten geöffnete Parabel die Kosten repräsentieren könnte.

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Streckung, Stauchung und Öffnung

Die Veränderung der Form einer Parabel durch Streckung, Stauchung und Änderung der Öffnungsrichtung ist eine wichtige Transformation, die das Verhalten der Funktion grundlegend beeinflusst.

Formel: g(x) = a·x²

Der Faktor a, auch Streckfaktor Parabel genannt, bestimmt die Form und Öffnungsrichtung der Parabel.

Highlight: Der Streckfaktor Parabel berechnen ist entscheidend für das Verständnis der Parabelform.

Ist a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben.
Ist a < 0, öffnet sich die Parabel nach unten.
|a| > 1 führt zu einer schmaleren Parabel (Streckung in y-Richtung).
0 < |a| < 1 führt zu einer breiteren Parabel (Stauchung in y-Richtung).

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Verschiebung nach links

Die Verschiebung einer Parabel nach links ist eine spezielle Form der x-Achsen-Verschiebung, die in vielen praktischen Anwendungen vorkommt.

Formel: g(x) = (x + d)²

Wenn man innerhalb der Klammer x addiert, verschiebt sich die gesamte Parabel nach links.

Beispiel: Bei g(x) = (x + 2)² wird die Parabel um 2 Einheiten nach links verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(-2|0).

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Form der Parabel

Die Form einer Parabel wird maßgeblich durch den Streckfaktor a beeinflusst und bestimmt ihre Breite oder Schmalheit im Vergleich zur Normalparabel.

Definition: Die Streckung und Stauchung von Funktionen bei Parabeln bezieht sich auf die Veränderung ihrer Form in y-Richtung.

Ist |a| > 1, ist die Parabel schmaler als die Normalparabel (Streckung in y-Richtung).
Ist 0 < |a| < 1, ist die Parabel breiter als die Normalparabel (Stauchung in y-Richtung).

Highlight: Die Streckung Parabel ablesen kann direkt aus dem Betrag des Streckfaktors a erfolgen.

Diese Formveränderungen sind besonders wichtig für die Modellierung von realen Situationen, bei denen die Steigung oder Krümmung einer quadratischen Funktion angepasst werden muss.

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Verschiebung nach unten

Die Verschiebung einer Parabel nach unten ist eine spezielle Form der y-Achsen-Verschiebung, die oft in praktischen Anwendungen vorkommt.

Formel: f(x) = x² - e

Wenn man von der Normalparabel eine Konstante e subtrahiert, verschiebt sich die gesamte Parabel nach unten.

Beispiel: Bei f(x) = x² - 2 wird die Parabel um 2 Einheiten nach unten verschoben, der Scheitelpunkt liegt bei S(0|-2).

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