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Polynomdivision einfach erklärt: Rechner, Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

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Vincent Alagna

30.3.2021

Mathe

Polynomdivision

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Polynomdivision einfach erklärt

Polynomdivision einfach erklärt: Rechner, Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

Die Polynomdivision ist eine wichtige mathematische Operation zur Berechnung von Nullstellen und Vereinfachung von Polynomen höheren Grades. Sie findet Anwendung bei Funktionen ab dem 3. Grad und ermöglicht die Senkung des Funktionsgrades um 1.

  • Ein Polynom besteht aus mindestens zwei Gliedern (Monomen), die durch Plus- oder Minuszeichen verbunden sind.
  • Jedes Monom setzt sich aus einem Koeffizienten und einer Variablen mit natürlicher Potenz zusammen.
  • Die Polynomdivision teilt zwei Polynome und wird zur Berechnung von Nullstellen verwendet.
  • Der Prozess umfasst die Schritte Dividieren, Multiplizieren und Subtrahieren.
  • Praktische Anwendungen finden sich in der Lösung komplexer Gleichungen und der Analyse von Funktionen höheren Grades.
...

30.3.2021

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Polynomdivision Inhaltsangabe 1 Polynom 4 Beispiel 2 Anwendung 5 Aufgaben 3 6 Erarbeitung Quellen 1 Was ist ein Polynom? Ein Polynom besteht

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Inhaltsangabe

Die Inhaltsangabe gibt einen Überblick über die Struktur des Dokuments zur Polynomdivision. Sie umfasst sechs Hauptpunkte:

  1. Polynom
  2. Anwendung
  3. Erarbeitung
  4. Beispiel
  5. Aufgaben
  6. Quellen

Diese Gliederung ermöglicht es dem Leser, sich schnell einen Überblick über die behandelten Themen zu verschaffen und gezielt auf bestimmte Abschnitte zuzugreifen.

Highlight: Die strukturierte Inhaltsangabe erleichtert das Navigieren durch das Dokument und das Auffinden spezifischer Informationen zur Polynomdivision.

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Was ist ein Polynom?

Diese Seite erklärt den Begriff des Polynoms und seine Bestandteile. Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus mehreren Teilen besteht:

  • Ein Polynom besteht aus mindestens zwei Gliedern, die durch Plus- oder Minuszeichen verbunden sind.
  • Jedes Glied eines Polynoms wird als Monom bezeichnet.
  • Ein Monom setzt sich aus einem Koeffizienten und einer Variablen mit einer Potenz zusammen.
  • Die Potenzen in einem Monom sind immer natürliche Zahlen.

Beispiel: Ein typisches Polynom könnte so aussehen: 3x² - 6x + x²

Vocabulary:

  • Polynom: Ein mathematischer Ausdruck aus mehreren Termen
  • Monom: Ein einzelner Term eines Polynoms
  • Koeffizient: Die Zahl, die vor der Variablen steht
  • Variable: Der Buchstabe, der für eine unbekannte Zahl steht
  • Potenz: Der Exponent der Variablen

Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis der Polynomdivision und ihrer Anwendungen.

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Polynomdivision - Anwendungsfälle

Diese Seite erläutert die Anwendungsfälle der Polynomdivision:

Die Polynomdivision ist eine Operation, bei der zwei Polynome miteinander dividiert werden. Ein Beispiel für eine Polynomdivision wäre: x3−6x2+11x−6x³ - 6x² + 11x - 6 : x+2x + 2

Die Polynomdivision findet hauptsächlich Anwendung bei Funktionen ab dem 3. Grad. Durch die Division wird der Grad der Gleichung um 1 gesenkt, was die Berechnung vereinfacht.

Highlight: Ein Hauptanwendungsgebiet der Polynomdivision ist die Berechnung von Nullstellen von Polynomen.

Diese Technik ist besonders nützlich bei der Analyse komplexer Funktionen und der Lösung von Gleichungen höheren Grades.

Polynomdivision Inhaltsangabe 1 Polynom 4 Beispiel 2 Anwendung 5 Aufgaben 3 6 Erarbeitung Quellen 1 Was ist ein Polynom? Ein Polynom besteht

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Erarbeitung

Diese Seite demonstriert den Prozess der Polynomdivision anhand eines konkreten Beispiels:

6x2+11x−66x² + 11x - 6 : x−2x - 2

Der Prozess der Polynomdivision erfolgt in drei Hauptschritten:

  1. Dividieren: Der erste Term des Zählers wird durch den ersten Term des Nenners dividiert.
  2. Multiplizieren: Das Ergebnis wird mit dem gesamten Nenner multipliziert.
  3. Subtrahieren: Das Produkt wird vom Zähler subtrahiert.

Diese Schritte werden wiederholt, bis der Rest einen niedrigeren Grad als der Nenner hat.

Example: In diesem Fall führt die Polynomdivision zu dem Ergebnis: x² + 4x + 3 mit einem Rest von 0.

Die Polynomdivision ist ein wichtiges Werkzeug zur Vereinfachung von Polynomen und zur Bestimmung von Nullstellen.

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Beispiel

Diese Seite zeigt ein praktisches Beispiel für die Anwendung der Polynomdivision zur Bestimmung von Nullstellen:

Aufgabe: Bestimme die Nullstelle der Funktion Fxx = x³ + 2x² - 5x - 6

Der Prozess umfasst folgende Schritte:

  1. Eine Nullstelle wird geraten: In diesem Fall x = -1
  2. Die geratene Nullstelle wird überprüft: −1-1³ + 2*−1-1² - 5*−1-1 - 6 = 0
  3. Die Polynomdivision wird durchgeführt: x3+2x2−5x−6x³ + 2x² - 5x - 6 : x+1x + 1

Example: Die Polynomdivision ergibt: x² + x - 6

Highlight: Die gefundene Nullstelle ist X₁ = -1

Dieser Prozess demonstriert, wie die Polynomdivision zur Vereinfachung von Polynomen und zur Bestimmung von Nullstellen eingesetzt wird.

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Aufgaben

Diese Seite enthält Übungsaufgaben zur Polynomdivision:

  1. Bestimme die Nullstellen: a) x3+2x2−17x+6x³ + 2x² -17x +6 : x−3x-3 b) x3+10x2+7x−18x³ + 10x² + 7x - 18 : x−1x-1
  2. Bestimme die weiteren Nullstellen von f: a) Fxx = x³ + 5x² - 22x - 56 ; x₁ = 4 b) Fxx = 20x³ + 48x² + 15x - 2 ; x₁ = -2
  3. Bestimme zunächst durch Probieren, welche Zahl im Intervall −2;2-2;2 eine Nullstelle ist. Berechne anschließend die weiteren Nullstellen: a) Fxx = x³ + x² - 4x - 4 b) Fxx = 4x³ - 13x + 6

Highlight: Diese Aufgaben bieten praktische Übungsmöglichkeiten zur Anwendung der Polynomdivision und zur Berechnung von Nullstellen.

Die Lösung dieser Aufgaben festigt das Verständnis für die Polynomdivision und ihre Anwendungen bei komplexen Polynomen.

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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

Diese Seite markiert das Ende der Präsentation über Polynomdivision. Sie dient als Abschluss und Dankesbekundung an das Publikum für ihre Aufmerksamkeit.

Highlight: Die Präsentation hat einen umfassenden Überblick über die Polynomdivision, ihre Anwendungen und praktische Beispiele gegeben.

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Quellen

Diese Seite listet die verwendeten Quellen für die Präsentation über Polynomdivision auf. Die Quellen umfassen verschiedene Online-Ressourcen und Videos, die zwischen dem 22.12.18 und 08.01.19 konsultiert wurden. Zusätzlich wird das Lehrbuch "Lambacher Schweizer Klasse 10, 1. Auflage 2016" als Referenz angegeben.

Highlight: Die Vielfalt der Quellen, einschließlich Online-Tutorials, Videos und Lehrbücher, gewährleistet eine umfassende und fundierte Darstellung des Themas Polynomdivision.

Diese Quellenangabe unterstreicht die Seriosität und wissenschaftliche Grundlage der präsentierten Informationen zur Polynomdivision.

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Polynomdivision einfach erklärt

 

Mathe

•

3.430

•

30. März 2021

•

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Polynomdivision einfach erklärt: Rechner, Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

V

Vincent Alagna

@vincentalagna_vhmt

Die Polynomdivision ist eine wichtige mathematische Operation zur Berechnung von Nullstellen und Vereinfachung von Polynomen höheren Grades. Sie findet Anwendung bei Funktionen ab dem 3. Grad und ermöglicht die Senkung des Funktionsgrades um 1.

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Inhaltsangabe

Die Inhaltsangabe gibt einen Überblick über die Struktur des Dokuments zur Polynomdivision. Sie umfasst sechs Hauptpunkte:

  1. Polynom
  2. Anwendung
  3. Erarbeitung
  4. Beispiel
  5. Aufgaben
  6. Quellen

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Was ist ein Polynom?

Diese Seite erklärt den Begriff des Polynoms und seine Bestandteile. Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus mehreren Teilen besteht:

  • Ein Polynom besteht aus mindestens zwei Gliedern, die durch Plus- oder Minuszeichen verbunden sind.
  • Jedes Glied eines Polynoms wird als Monom bezeichnet.
  • Ein Monom setzt sich aus einem Koeffizienten und einer Variablen mit einer Potenz zusammen.
  • Die Potenzen in einem Monom sind immer natürliche Zahlen.

Beispiel: Ein typisches Polynom könnte so aussehen: 3x² - 6x + x²

Vocabulary:

  • Polynom: Ein mathematischer Ausdruck aus mehreren Termen
  • Monom: Ein einzelner Term eines Polynoms
  • Koeffizient: Die Zahl, die vor der Variablen steht
  • Variable: Der Buchstabe, der für eine unbekannte Zahl steht
  • Potenz: Der Exponent der Variablen

Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis der Polynomdivision und ihrer Anwendungen.

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Polynomdivision - Anwendungsfälle

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Die Polynomdivision ist eine Operation, bei der zwei Polynome miteinander dividiert werden. Ein Beispiel für eine Polynomdivision wäre: x3−6x2+11x−6x³ - 6x² + 11x - 6 : x+2x + 2

Die Polynomdivision findet hauptsächlich Anwendung bei Funktionen ab dem 3. Grad. Durch die Division wird der Grad der Gleichung um 1 gesenkt, was die Berechnung vereinfacht.

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Erarbeitung

Diese Seite demonstriert den Prozess der Polynomdivision anhand eines konkreten Beispiels:

6x2+11x−66x² + 11x - 6 : x−2x - 2

Der Prozess der Polynomdivision erfolgt in drei Hauptschritten:

  1. Dividieren: Der erste Term des Zählers wird durch den ersten Term des Nenners dividiert.
  2. Multiplizieren: Das Ergebnis wird mit dem gesamten Nenner multipliziert.
  3. Subtrahieren: Das Produkt wird vom Zähler subtrahiert.

Diese Schritte werden wiederholt, bis der Rest einen niedrigeren Grad als der Nenner hat.

Example: In diesem Fall führt die Polynomdivision zu dem Ergebnis: x² + 4x + 3 mit einem Rest von 0.

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Beispiel

Diese Seite zeigt ein praktisches Beispiel für die Anwendung der Polynomdivision zur Bestimmung von Nullstellen:

Aufgabe: Bestimme die Nullstelle der Funktion Fxx = x³ + 2x² - 5x - 6

Der Prozess umfasst folgende Schritte:

  1. Eine Nullstelle wird geraten: In diesem Fall x = -1
  2. Die geratene Nullstelle wird überprüft: −1-1³ + 2*−1-1² - 5*−1-1 - 6 = 0
  3. Die Polynomdivision wird durchgeführt: x3+2x2−5x−6x³ + 2x² - 5x - 6 : x+1x + 1

Example: Die Polynomdivision ergibt: x² + x - 6

Highlight: Die gefundene Nullstelle ist X₁ = -1

Dieser Prozess demonstriert, wie die Polynomdivision zur Vereinfachung von Polynomen und zur Bestimmung von Nullstellen eingesetzt wird.

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Aufgaben

Diese Seite enthält Übungsaufgaben zur Polynomdivision:

  1. Bestimme die Nullstellen: a) x3+2x2−17x+6x³ + 2x² -17x +6 : x−3x-3 b) x3+10x2+7x−18x³ + 10x² + 7x - 18 : x−1x-1
  2. Bestimme die weiteren Nullstellen von f: a) Fxx = x³ + 5x² - 22x - 56 ; x₁ = 4 b) Fxx = 20x³ + 48x² + 15x - 2 ; x₁ = -2
  3. Bestimme zunächst durch Probieren, welche Zahl im Intervall −2;2-2;2 eine Nullstelle ist. Berechne anschließend die weiteren Nullstellen: a) Fxx = x³ + x² - 4x - 4 b) Fxx = 4x³ - 13x + 6

Highlight: Diese Aufgaben bieten praktische Übungsmöglichkeiten zur Anwendung der Polynomdivision und zur Berechnung von Nullstellen.

Die Lösung dieser Aufgaben festigt das Verständnis für die Polynomdivision und ihre Anwendungen bei komplexen Polynomen.

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Diese Quellenangabe unterstreicht die Seriosität und wissenschaftliche Grundlage der präsentierten Informationen zur Polynomdivision.

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Polynomdivision

Diese Seite dient als Titelblatt und führt das Thema Polynomdivision ein. Die Polynomdivision ist eine grundlegende mathematische Operation, die in der Algebra und Analysis verwendet wird.

Definition: Polynomdivision ist ein Verfahren zur Division eines Polynoms durch ein anderes Polynom.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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