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Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

negative Exponenten

Mathe

12. Dez. 2020

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5 Seiten

Was sind Potenzen in Mathe? Regeln, Übungen und Negative Potenzen!

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Liineeee @liineeee1912

Potenzen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, das die wiederholte Multiplikation einer Zahl mit sich selbst beschreibt.... Mehr anzeigen

•Potenzen kennlernen = Anderes Beispiel: Papier vier gleiche Faktoren 4 Exponent oder Hochzahl Basis oder Grundzahl Einmal falten: 2 Schicht

Erweiterte Konzepte der Potenzen

Potenzen mit negativem Exponenten können in Potenzen mit positivem Exponenten umgewandelt werden, indem man den Kehrwert der Basis verwendet und das Vorzeichen des Exponenten ändert.

Formel a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Potenzen mit Brüchen im Exponenten können als Wurzeln dargestellt werden.

Beispiel x^1/n1/n ist gleichbedeutend mit der n-ten Wurzel aus x.

Zehnerpotenzen sind besonders nützlich für die Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen.

Definition Zehnerpotenzen haben die Basis 10 und einen ganzzahligen Exponenten.

Beispiel 10³ = 1000, 10⁻³ = 0,001

Einheitspräfixe entsprechen bestimmten Zehnerpotenzen und werden verwendet, um Maßeinheiten zu modifizieren.

Vocabulary

  • Micro (μ) 10⁻⁶
  • Milli (m) 10⁻³
  • Kilo (k) 10³
  • Mega (M) 10⁶

Diese Präfixe helfen, sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlicher darzustellen und zu vergleichen.

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•Potenzen kennlernen = Anderes Beispiel: Papier vier gleiche Faktoren 4 Exponent oder Hochzahl Basis oder Grundzahl Einmal falten: 2 Schicht

Anwendungen und Schreibweisen von Potenzen

Potenzen finden in verschiedenen Bereichen Anwendung, insbesondere bei der Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen.

Beispiel Die Anzahl der roten Blutkörperchen pro Liter Blut beträgt etwa 5,12 * 10¹².

Es gibt zwei Hauptschreibweisen für Zahlen mit Zehnerpotenzen

  1. Wissenschaftliche Schreibweise Die Dezimalzahl hat eine Stelle vor dem Komma, die nicht Null sein darf.
  2. Technische Schreibweise Der Exponent der Zehnerpotenz ist immer ein Vielfaches von drei.

Beispiel

  • Wissenschaftlich 4,35 * 10⁷ m
  • Technisch 43,5 * 10⁶ m

Diese Schreibweisen erleichtern den Umgang mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen in verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Kontexten.

Highlight Zehnerpotenzen sind besonders nützlich, um Größenordnungen zu vergleichen und komplexe Berechnungen zu vereinfachen.

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•Potenzen kennlernen = Anderes Beispiel: Papier vier gleiche Faktoren 4 Exponent oder Hochzahl Basis oder Grundzahl Einmal falten: 2 Schicht

Potenzgesetze und Rechenregeln

Potenzregeln sind grundlegende Gesetze, die das Rechnen mit Potenzen vereinfachen. Sie sind essentiell für effizientes Potenzen rechnen.

  1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

    Regel aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

  2. Division von Potenzen mit gleicher Basis

    Regel aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

  3. Potenz einer Potenz

    Regel amaᵐⁿ = aᵐⁿ

  4. Potenz mit Exponent 0

    Regel a⁰ = 1 (für a ≠ 0)

  5. Negative Exponenten

    Regel a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Highlight Diese Regeln gelten für alle reellen Zahlen als Basis, einschließlich negativer Potenzen und Potenzen mit Brüchen.

Besondere Aufmerksamkeit sollte man Potenzen mit negativer Basis widmen

  • Bei geraden Exponenten ist das Ergebnis immer positiv.
  • Bei ungeraden Exponenten behält das Ergebnis das Vorzeichen der Basis.

Beispiel −3-3² = 9, aber −3-3³ = -27

Diese Regeln sind fundamental für das Verständnis und die Anwendung von Potenzen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften. Sie ermöglichen es, komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und effizient mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen zu arbeiten.

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•Potenzen kennlernen = Anderes Beispiel: Papier vier gleiche Faktoren 4 Exponent oder Hochzahl Basis oder Grundzahl Einmal falten: 2 Schicht

Übungen und praktische Anwendungen von Potenzen

Um das Verständnis von Potenzen zu vertiefen, ist es wichtig, Potenzen Übungen durchzuführen. Hier sind einige Beispiele und Anwendungen

  1. Berechnung von Potenzen

    Beispiel Berechne 2⁵, −3-3⁴, (1/2)³

  2. Anwendung der Potenzgesetze

    Beispiel Vereinfache 3² * 3³ * 3⁴

  3. Umgang mit negativen Exponenten

    Beispiel Schreibe 5⁻³ als Bruch

  4. Zehnerpotenzen in der Praxis

    Beispiel Drücke 4.500.000 m in km aus, unter Verwendung von Zehnerpotenzen

  5. Einheitspräfixe und Potenzen

    Beispiel Wandle 2 Megabyte in Byte um, unter Verwendung von Zehnerpotenzen

Highlight Regelmäßiges Üben hilft, die Konzepte zu festigen und die Anwendung von Potenzen in verschiedenen Kontexten zu verstehen.

Praktische Anwendungen von Potenzen finden sich in vielen Bereichen

  • In der Physik zur Beschreibung sehr großer oder sehr kleiner Größen
  • In der Informatik bei der Darstellung von Datenmengen
  • In der Biologie zur Beschreibung von Zellvermehrung
  • In der Finanzwelt bei Zinseszinsberechnungen

Beispiel Die Anzahl der Atome im Universum wird auf etwa 10⁸⁰ geschätzt.

Durch diese Übungen und praktischen Beispiele wird deutlich, wie vielseitig und nützlich das Konzept der Potenzen in der Mathematik und im Alltag ist.

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•Potenzen kennlernen = Anderes Beispiel: Papier vier gleiche Faktoren 4 Exponent oder Hochzahl Basis oder Grundzahl Einmal falten: 2 Schicht

Grundlagen der Potenzen

Potenzen sind eine mathematische Schreibweise, um wiederholte Multiplikationen kompakt darzustellen. Sie bestehen aus einer Basis und einem Exponenten.

Definition Eine Potenz ist das Produkt mehrerer gleicher Faktoren. Die Basis ist der wiederholte Faktor, und der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.

Beispiel Bei der Potenz 2⁴ ist 2 die Basis und 4 der Exponent. Dies bedeutet 2 * 2 * 2 * 2 = 16.

Ein anschauliches Beispiel für Potenzen ist das Falten von Papier

  • Einmal falten ergibt 2 Schichten (2¹)
  • Zweimal falten ergibt 4 Schichten (2²)
  • Dreimal falten ergibt 8 Schichten (2³)
  • Viermal falten ergibt 16 Schichten (2⁴)

Highlight Die Anzahl der Faltungen entspricht dem Exponenten, während die Verdoppelung der Schichten die Basis 2 repräsentiert.

Potenzen mit negativer Basis folgen speziellen Regeln

  • Bei geraden Exponenten ist das Ergebnis positiv
  • Bei ungeraden Exponenten ist das Ergebnis negativ

Beispiel −3-3² = 9, aber −3-3³ = -27

Potenzen mit Brüchen als Basis werden berechnet, indem Zähler und Nenner separat potenziert werden.

Beispiel 2/32/3² = 2²/3² = 4/9

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

negative Exponenten

Mathe

12. Dez. 2020

8.491

5 Seiten

Was sind Potenzen in Mathe? Regeln, Übungen und Negative Potenzen!

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Liineeee @liineeee1912

Potenzen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, das die wiederholte Multiplikation einer Zahl mit sich selbst beschreibt. Diese Zusammenfassung erklärt die Grundlagen von Potenzen, ihre Eigenschaften und Anwendungen,... Mehr anzeigen

•Potenzen kennlernen = Anderes Beispiel: Papier vier gleiche Faktoren 4 Exponent oder Hochzahl Basis oder Grundzahl Einmal falten: 2 Schicht

Erweiterte Konzepte der Potenzen

Potenzen mit negativem Exponenten können in Potenzen mit positivem Exponenten umgewandelt werden, indem man den Kehrwert der Basis verwendet und das Vorzeichen des Exponenten ändert.

Formel a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Potenzen mit Brüchen im Exponenten können als Wurzeln dargestellt werden.

Beispiel x^1/n1/n ist gleichbedeutend mit der n-ten Wurzel aus x.

Zehnerpotenzen sind besonders nützlich für die Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen.

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Beispiel 10³ = 1000, 10⁻³ = 0,001

Einheitspräfixe entsprechen bestimmten Zehnerpotenzen und werden verwendet, um Maßeinheiten zu modifizieren.

Vocabulary

  • Micro (μ) 10⁻⁶
  • Milli (m) 10⁻³
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Diese Präfixe helfen, sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlicher darzustellen und zu vergleichen.

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•Potenzen kennlernen = Anderes Beispiel: Papier vier gleiche Faktoren 4 Exponent oder Hochzahl Basis oder Grundzahl Einmal falten: 2 Schicht

Anwendungen und Schreibweisen von Potenzen

Potenzen finden in verschiedenen Bereichen Anwendung, insbesondere bei der Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen.

Beispiel Die Anzahl der roten Blutkörperchen pro Liter Blut beträgt etwa 5,12 * 10¹².

Es gibt zwei Hauptschreibweisen für Zahlen mit Zehnerpotenzen

  1. Wissenschaftliche Schreibweise Die Dezimalzahl hat eine Stelle vor dem Komma, die nicht Null sein darf.
  2. Technische Schreibweise Der Exponent der Zehnerpotenz ist immer ein Vielfaches von drei.

Beispiel

  • Wissenschaftlich 4,35 * 10⁷ m
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Highlight Zehnerpotenzen sind besonders nützlich, um Größenordnungen zu vergleichen und komplexe Berechnungen zu vereinfachen.

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Potenzregeln sind grundlegende Gesetze, die das Rechnen mit Potenzen vereinfachen. Sie sind essentiell für effizientes Potenzen rechnen.

  1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

    Regel aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

  2. Division von Potenzen mit gleicher Basis

    Regel aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

  3. Potenz einer Potenz

    Regel amaᵐⁿ = aᵐⁿ

  4. Potenz mit Exponent 0

    Regel a⁰ = 1 (für a ≠ 0)

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Highlight Diese Regeln gelten für alle reellen Zahlen als Basis, einschließlich negativer Potenzen und Potenzen mit Brüchen.

Besondere Aufmerksamkeit sollte man Potenzen mit negativer Basis widmen

  • Bei geraden Exponenten ist das Ergebnis immer positiv.
  • Bei ungeraden Exponenten behält das Ergebnis das Vorzeichen der Basis.

Beispiel −3-3² = 9, aber −3-3³ = -27

Diese Regeln sind fundamental für das Verständnis und die Anwendung von Potenzen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften. Sie ermöglichen es, komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und effizient mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen zu arbeiten.

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Um das Verständnis von Potenzen zu vertiefen, ist es wichtig, Potenzen Übungen durchzuführen. Hier sind einige Beispiele und Anwendungen

  1. Berechnung von Potenzen

    Beispiel Berechne 2⁵, −3-3⁴, (1/2)³

  2. Anwendung der Potenzgesetze

    Beispiel Vereinfache 3² * 3³ * 3⁴

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Praktische Anwendungen von Potenzen finden sich in vielen Bereichen

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  • In der Informatik bei der Darstellung von Datenmengen
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Potenzen sind eine mathematische Schreibweise, um wiederholte Multiplikationen kompakt darzustellen. Sie bestehen aus einer Basis und einem Exponenten.

Definition Eine Potenz ist das Produkt mehrerer gleicher Faktoren. Die Basis ist der wiederholte Faktor, und der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.

Beispiel Bei der Potenz 2⁴ ist 2 die Basis und 4 der Exponent. Dies bedeutet 2 * 2 * 2 * 2 = 16.

Ein anschauliches Beispiel für Potenzen ist das Falten von Papier

  • Einmal falten ergibt 2 Schichten (2¹)
  • Zweimal falten ergibt 4 Schichten (2²)
  • Dreimal falten ergibt 8 Schichten (2³)
  • Viermal falten ergibt 16 Schichten (2⁴)

Highlight Die Anzahl der Faltungen entspricht dem Exponenten, während die Verdoppelung der Schichten die Basis 2 repräsentiert.

Potenzen mit negativer Basis folgen speziellen Regeln

  • Bei geraden Exponenten ist das Ergebnis positiv
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Beispiel −3-3² = 9, aber −3-3³ = -27

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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