Die pq-Formel und ihre Anwendung

Die pq-Formel ist ein wichtiges Werkzeug in der Algebra, das zur Lösung quadratischer Gleichungen verwendet wird. Sie ermöglicht es, die Nullstellen einer quadratischen Funktion direkt zu berechnen, ohne umständliche Umformungen vornehmen zu müssen.

Definition: Die pq-Formel lautet: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Um die pq-Formel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in der Normalform x²+px+q=0 vorliegen. Falls die Gleichung in der allgemeinen Form ax²+bx+c=0 gegeben ist, muss sie zunächst umgeformt werden.

Beispiel: Umformung von 2x² + 8x + 8 = 0 in die Normalform:

1. Durch 2 teilen: x² + 4x + 4 = 0
2. Jetzt liegt die Gleichung in der Form x²+px+q=0 vor, mit p=4 und q=4

Die Anwendung der pq-Formel erfolgt dann in mehreren Schritten:

1. p und q identifizieren (Vorzeichen beachten)
2. Werte in die Formel einsetzen
3. Berechnen

Highlight: Die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) bestimmt die Anzahl der Lösungen:

• D > 0: zwei Lösungen
• D = 0: eine Lösung
• D < 0: keine reelle Lösung

Für das gegebene Beispiel ergibt sich:

x₁,₂ = -4/2 ± √((4/2)² - 4) = -2 ± √(4 - 4) = -2 ± 0

Ergebnis: Die Lösung der Gleichung 2x² + 8x + 8 = 0 ist x = -2.

Die pq-Formel ist somit ein mächtiges Werkzeug zur effizienten Lösung quadratischer Gleichungen und findet in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen Verwendung.