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Quadratische Gleichung: Die 2 häufigsten Fehlerquellen in der Anwendung der pq Formel, deren Erkennen und Beseitigen sowie Lösungskontrolle über den Satz von VIETA
Quadratische Gleichung: Die 2 häufigsten Fehlerquellen in der Anwendung der pq Formel, deren Erkennen und Beseitigen sowie Lösungskontrolle über den Satz von VIETA
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gwgrefrath
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12/13/10
Ausarbeitung
Die Lösung quadtratischer Gleichungen erfolgt i.d.R. über die "pq- Formel". Die beiden häufigsten Fehler werden aufgezeigt. Die Lösungen werden mit dem Satz von VIETA kontrolliert, ganz einfach.
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Quadratische Gleichungen: Fehlerquelle pq und Kontrolle der Lösungen mit VIETA Die bekannte „pq- Formel“ kennen alle Schüler. Aber kaum einer kontrolliert, ob die damit gefundene Lösung tatsächlich richtig ist. Das ist aber ganz einfach mit dem Satz von VIETA Vorbemerkung: Wenn man die Lösungen der quadratischen Gleichung [qG] gefunden hat, z.B. mit der bekannten „pq“ – Formel X 1/2 sollte man diese kontrollieren, denn bei der Anwendung der „pq“ - Formel werden häufig dieselben 2 Fehler gemacht, das zeigen mir meine 10 Jahre Erfahrung als Nachhilfelehrer. 1. Die pq - Formel wird auch unmittelbar auf alle qG angewandt und das ist nicht zulässig. Am konkreten Beispiel gezeigt: Beispiel: - ²/² ± √ √ √(-²) ² + 2 2x²- 4x - 6 (-2)²³ — q pq - Formel darf nicht für die Allgemeinform [AF] angewandt werden, also nicht für ax²+ bx +c = 0, also z.B. nicht für 4x²+ 5x +2 = 0 2. Die Vorzeichen der beiden Variablen „p“ und „q“ in der pq- Formeln werden aus der qG x²+ px +q = 0 mit falschem Vorzeichen in die pq- Formel übernommen. Fazit: Die m.H. der pq- Formel gefundenen Lösungen sollten kontrolliert werden: Dafür gibt es 2 Möglichkeiten: pq - Formel darf nur für die Normalform [NF] angewandt werden, also nur für x²+ bx+c = 0, also z.B. für 1x²+ 5x +2 = 0....
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Beachte: Nur 1x² 1. Eine komplizierte und umständliche Möglichkeit = Lösungen einsetzen in qG 2. Eine einfache und schnelle Möglichkeit Satz von VIETA anwenden Satz von VIETA: Wenn L₁ und L2 die Lösungen der quadratischen Gleichungen sein sollen, dann muß gelten: Summe L₁ und L₂ = L1 + L2 Produkt L₁ mit L₂ = = 0 2 [x²- 2x - 3] = 0 Die beiden Lösungen L₁ = -1 und L₂ = 3 L₁ x L2 = -P = q umwandeln in Normalform, d.h. „,2“ ausklammern p = -2 -p/2 = +1,0; q=-3 -9=3 VIETA L₁ + L₂ = -1 +3 = 2 L₁ x L2 = -1 x 3 = -3 = -P = q Weitere Beispiele zur Vertiefung a. x² - 10x + 21 = 0 hat die Lösungen L₁ = 3 und L2 = 7 Summe L₁ und L₂ = L₁ + L2 Produkt L₁ mit L₂ = L₁ x L2 b. x²-0,5x7,5 Summe L₁ und L2 = L₁ + L2 c. x²-3x+1,25 = 0 d. 3x²9x + 3,75 Produkt L₁ mit L2 = L₁ x L2 = 0 Summe L₁ und L2 = L₁ + L2 Produkt L₁ mit L2 = L₁ x L2 e. 8 x² - 4x-60 = 0 3 [1x²-3x + 1,25] = 0 Summe L₁ und L₂ = L₁ + L2 Produkt L₁ mit L₂ = L₁ x L2 hat die Lösungen L₁ = -2,5 und L₂ = 3 = 0,5 = 3+7 = 0 = 0 = 10 8 [1x² - 0,5x-7,5] Summe L₁ und L₂ = L₁ + L₂ Produkt L₁ mit L2 = L₁ x L2 = 3 x 7 = 21 -7,5 = q hat die Lösungen L₁ = 0,5 und L2 = 2,5 = 3 = -2,5 +3 = -2,5 x 3 = 0,5 + 2,5 = -P = 0,5 x 2,5 = q = -2,5 +3 = -2,5 x 3 = = 0,5 x 2,5 muss zuerst in die Normalform umgewandelt werden hat die Lösungen L₁ = 0,5 und L₂ = 2,5 = 0,5 + 2,5 = 3 = -P = 1,25 = = -P muss zuerst in die Normalform umgewandelt werden hat die Lösungen L₁ = -2,5 und L₂ = 3 = 0,5 = = -P 1,25 = q -7,5 = q = -P = q
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