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Quadratische Gleichung: Die 2 häufigsten Fehlerquellen in der Anwendung der pq Formel, deren Erkennen und Beseitigen sowie Lösungskontrolle über den Satz von VIETA
10.1.2021
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Quadratische Gleichungen: Fehlerquelle pq und Kontrolle der Lösungen mit VIETA Die bekannte ,,pq- Formel" kennen alle Schüler. Aber kaum einer kontrolliert, ob die damit gefundene Lösung tatsächlich richtig ist. Das ist aber ganz einfach mit dem Satz von VIETA Vorbemerkung: Wenn man die Lösungen der quadratischen Gleichung [qG] gefunden hat, z.B. mit der bekannten ,,pq" - Formel sollte man diese kontrollieren, denn bei der Anwendung der „pq" - Formel werden häufig dieselben 2 Fehler gemacht, das zeigen mir meine 10 Jahre Erfahrung als Nachhilfelehrer. Beispiel: X 1/2 = - 1. Die pq - Formel wird auch unmittelbar auf alle qG angewandt und das ist nicht zulässig. Am konkreten Beispiel gezeigt: ■ 2x²-4x - 6 · ²/² ± √(-²2) ³² - + pq - Formel darf nicht für die Allgemeinform [AF] angewandt werden, also nicht für ax²+bx+c = 0, also z.B. nicht für 4x²+ 5x +2 = 0 2. Die Vorzeichen der beiden Variablen „p" und „q" in der pq- Formeln werden aus der qG x²+ px +q = 0 mit falschem Vorzeichen in die pq- Formel übernommen. Fazit: Die m.H. der pq- Formel gefundenen Lösungen sollten kontrolliert werden: Dafür gibt es 2 Möglichkeiten: 1. Eine komplizierte und umständliche Möglichkeit = Lösungen einsetzen in qG 2. Eine einfache und schnelle Möglichkeit = Satz von VIETA anwenden Satz von VIETA: Wenn L₁ und L2 die Lösungen der quadratischen Gleichungen...
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sein sollen, dann muß gelten: Summe L₁ und L2 = L1 + L2 = -P Produkt L₁ mit L2 = L₁ x L2 = 0 - q pq - Formel darf nur für die Normalform [NF] angewandt werden, also nur für x²+bx+c = 0, also z.B. für 1x²+ 5x +2 = 0. Beachte: Nur 1x² 2 [x²- 2x - 3] = 0 Die beiden Lösungen L₁-1 und L₂ = 3 VIETA = q umwandeln in Normalform, d.h. ,,2" ausklammern P = -2 -p/2 = +1,0; q=-3 -q=3 L₁ L2 = -1 +3 = 2 L₁ x L2 = -1 x 3 = = -p = Weitere Beispiele zur Vertiefung a. x² - 10x + Summe L₁ und L₂ = L₁ + L₂ Produkt L₁ mit L2 = L₁ x L2 b. x²-0,5x = 0 hat die Lösungen L₁ = 3 und L2 = 7 = 0 Summe L₁ und L₂ = L₁ + L2 Produkt L₁ mit L2 = L1 x L2 c. x²-3x+1,25 = 0 d. 3x²9x + 3,75 Summe L₁ und L2 = L1 + L2 Produkt L₁ mit L₂ = L₁ x L₂ e. 8 x² - 4x-60 = 0 3 [1x²-3x+1,25] = 0 Summe L₁ und L₂ = L₁ + L₂ Produkt L₁ mit L2 = L₁ x L2 = 0 = 0 hat die Lösungen L₁ = -2,5 und L₂ = 3 = 0,5 = -7,5 = q hat die Lösungen L₁ = 0,5 und L2 = 2,5 = 0,5 + 2,5 = 0,5 x 2,5 8 [1x² - 0,5x-7,5] Summe L₁ und L2 = L1 + L2 = 3+7 = 10 Produkt L₁ mit L2 = L₁ x L2 = 3 x 7 = 21 = -2,5 +3 = -2,5 x 3 = -P = -2,5 +3 = q = -2,5 x 3 = 3 muss zuerst in die Normalform umgewandelt werden hat die Lösungen L₁ = 0,5 und L₂ = 2,5 = 0,5 + 2,5 = 3 =-P = 0,5 x 2,5 = 1,25 = q muss zuerst in die Normalform umgewandelt werden hat die Lösungen L₁ = -2,5 und L₂ = 3 = -P = 1,25 = q = 0,5 = -P = -7,5 =-P = q