Quadratische Gleichungen und der Satz von Vieta

Die pq-Formel ist eine bekannte Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen, aber ihre Anwendung kann zu Fehlern führen. Dieser Abschnitt erklärt häufige Fehlerquellen und stellt den Satz von Vieta als einfache Kontrollmöglichkeit vor.

Highlight: Die pq-Formel sollte nur auf die Normalform x²+px+q=0 angewendet werden, nicht auf die Allgemeinform ax²+bx+c=0.

Zwei häufige Fehler bei der Anwendung der pq-Formel sind:

1. Die Anwendung auf die Allgemeinform statt der Normalform.
2. Falsche Übernahme der Vorzeichen von p und q aus der Gleichung.

Example: Für die Gleichung 2x²-4x-6=0 muss zuerst die Normalform [x²-2x-3]=0 durch Ausklammern von 2 gebildet werden.

Der Satz von Vieta bietet eine einfache Möglichkeit, die gefundenen Lösungen zu überprüfen:

Definition: Für die Lösungen L₁ und L₂ einer quadratischen Gleichung in Normalform gilt: L₁ + L₂ = -p und L₁ × L₂ = q

Diese Beziehungen ermöglichen eine schnelle Kontrolle der Lösungen ohne kompliziertes Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

Anwendung des Satzes von Vieta

Dieser Abschnitt zeigt anhand mehrerer Beispiele, wie der Satz von Vieta zur Überprüfung von Lösungen quadratischer Gleichungen angewendet wird.

Example: Für die Gleichung x²-10x+21=0 mit den Lösungen L₁=3 und L₂=7 gilt: L₁ + L₂ = 3 + 7 = 10 = -(-10) = -p L₁ × L₂ = 3 × 7 = 21 = q

Weitere Beispiele demonstrieren die Anwendung des Satzes auf verschiedene Formen quadratischer Gleichungen, einschließlich solcher mit Dezimalzahlen und Koeffizienten ungleich 1 vor x².

Highlight: Bei Gleichungen, die nicht in Normalform vorliegen, muss zuerst eine Umformung erfolgen, bevor der Satz von Vieta angewendet werden kann.

Vocabulary: Normalform einer quadratischen Gleichung: Die Form x²+px+q=0, bei der der Koeffizient vor x² gleich 1 ist.

Die Beispiele zeigen, dass der Satz von Vieta eine schnelle und zuverlässige Methode zur Überprüfung von Lösungen quadratischer Gleichungen ist, unabhängig von ihrer ursprünglichen Form.