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Die Produktregel ist eine grundlegende Methode in der Differentialrechnung, die es ermöglicht, das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen abzuleiten. Diese Regel ist besonders nützlich für komplexe Ableitungen und bildet die Basis für fortgeschrittene mathematische Konzepte.

  • Die Produktregel wird angewendet, wenn eine Funktion das Produkt zweier differenzierbarer Faktoren ist.
  • Die Formel lautet: (u·v)' = u'·v + u·v', wobei u und v die beiden Faktoren sind.
  • Bei drei Faktoren erweitert sich die Regel zu: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'.
  • Die Regel kann mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel kombiniert werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.

5.2.2021

250

PRODUKTREGEL
Die Funktion f sei das Produkt der beiden differenzier-
baren Faktoren u und v.
f(x) = u(x) · V(X)
- Dann ist auch die Funktion

Produktregel: Eine Grundlage der Differentialrechnung

Die Produktregel ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung, das die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen ermöglicht. Sie wird angewendet, wenn eine Funktion f(x) als Produkt zweier Faktoren u(x) und v(x) dargestellt wird: f(x) = u(x) · v(x).

Definition: Die Produktregel besagt, dass für eine Funktion f(x) = u(x) · v(x), wobei u und v differenzierbar sind, die Ableitung f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) ist.

Diese Regel lässt sich merken als: "Erster Faktor abgeleitet mal zweiter Faktor unverändert plus erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor abgeleitet."

Example: Für f(x) = x² · x³ = x⁵ ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴, was der direkten Ableitung von x⁵ entspricht.

Die Produktregel kann auch auf Funktionen mit drei Faktoren erweitert werden:

Highlight: Bei drei Faktoren lautet die Produktregel: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'

Example: Für f(x) = (2x²) · (3x⁴) ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 4x · 3x⁴ + 2x² · 12x³ = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵

Die Produktregel kann auch in Kombination mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel oder der Quotientenregel angewendet werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.

Example: Für f(x) = (x³ + x²) · (x² + x) ergibt die Anwendung der Produktregel und anschließende Vereinfachung: f'(x) = 5x⁴ + 8x³ + 3x²

Die Beherrschung der Produktregel ist essentiell für fortgeschrittene mathematische Analysen und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften.

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  • Die Produktregel wird angewendet, wenn eine Funktion das Produkt zweier differenzierbarer Faktoren ist.
  • Die Formel lautet: (u·v)' = u'·v + u·v', wobei u und v die beiden Faktoren sind.
  • Bei drei Faktoren erweitert sich die Regel zu: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'.
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Produktregel: Eine Grundlage der Differentialrechnung

Die Produktregel ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung, das die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen ermöglicht. Sie wird angewendet, wenn eine Funktion f(x) als Produkt zweier Faktoren u(x) und v(x) dargestellt wird: f(x) = u(x) · v(x).

Definition: Die Produktregel besagt, dass für eine Funktion f(x) = u(x) · v(x), wobei u und v differenzierbar sind, die Ableitung f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) ist.

Diese Regel lässt sich merken als: "Erster Faktor abgeleitet mal zweiter Faktor unverändert plus erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor abgeleitet."

Example: Für f(x) = x² · x³ = x⁵ ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴, was der direkten Ableitung von x⁵ entspricht.

Die Produktregel kann auch auf Funktionen mit drei Faktoren erweitert werden:

Highlight: Bei drei Faktoren lautet die Produktregel: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'

Example: Für f(x) = (2x²) · (3x⁴) ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 4x · 3x⁴ + 2x² · 12x³ = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵

Die Produktregel kann auch in Kombination mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel oder der Quotientenregel angewendet werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.

Example: Für f(x) = (x³ + x²) · (x² + x) ergibt die Anwendung der Produktregel und anschließende Vereinfachung: f'(x) = 5x⁴ + 8x³ + 3x²

Die Beherrschung der Produktregel ist essentiell für fortgeschrittene mathematische Analysen und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften.

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