Produktregel: Eine Grundlage der Differentialrechnung
Die Produktregel ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung, das die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen ermöglicht. Sie wird angewendet, wenn eine Funktion fx als Produkt zweier Faktoren ux und vx dargestellt wird: fx = ux · vx.
Definition: Die Produktregel besagt, dass für eine Funktion fx = ux · vx, wobei u und v differenzierbar sind, die Ableitung f'x = u'x · vx + ux · v'x ist.
Diese Regel lässt sich merken als: "Erster Faktor abgeleitet mal zweiter Faktor unverändert plus erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor abgeleitet."
Example: Für fx = x² · x³ = x⁵ ergibt die Anwendung der Produktregel: f'x = 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴, was der direkten Ableitung von x⁵ entspricht.
Die Produktregel kann auch auf Funktionen mit drei Faktoren erweitert werden:
Highlight: Bei drei Faktoren lautet die Produktregel: u⋅v⋅w' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'
Example: Für fx = 2x2 · 3x4 ergibt die Anwendung der Produktregel: f'x = 4x · 3x⁴ + 2x² · 12x³ = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵
Die Produktregel kann auch in Kombination mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel oder der Quotientenregel angewendet werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.
Example: Für fx = x3+x2 · x2+x ergibt die Anwendung der Produktregel und anschließende Vereinfachung: f'x = 5x⁴ + 8x³ + 3x²
Die Beherrschung der Produktregel ist essentiell für fortgeschrittene mathematische Analysen und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften.
