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Punkte & Figuren im Raum📘
13.2.2021
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III Schlüsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum Selbsterarbeitung: Punkte und Figuren im Raum Voraussetzung: Zweidimensionales Koordinatensystem Ziel: Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem angeben, einzeichnen und Längen im Raum berechnen. 1 Mittels eines 3D-Druckers soll folgen- des Werkstück ausgearbeitet werden, hier im Schrägbild (Fig. 1, alle Angaben in cm). Um dem Drucker geeignete Befehle geben zu können, erweitern wir das Koordinaten- system um eine Achse zu einem 3D- Koordinatensystem (Fig. 2). Der Drucker fährt dabei stets vom Ursprung O zu den einzelnen Eckpunkten. Der Befehl (0|7|3) bedeutet verbalisiert: Vom Ursprung 0 Schritte in X₁-Richtung, 7 Schritte in X₂-Richtung, P 3 Schritte in X3-Richtung. Fig. 1 Schritte in X₁-Richtung, p₁ pa Schritte in X₂ -Richtung, P3 Schritte in X3 -Richtung. 4 ⒸErnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 | www.klett.de | Alle Rechte Klett vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. -1 2 Fig. 2 -4 +3 Autor: Florian Pfister Bildquelle: serafius 2 S Orden Sie den Befehl (0|7|3) einer der Ecken P, Q, R, S, T, U zu. Geben Sie dem Drucker auch die Befehle für die anderen Ecken: P(01713) Q (21710) R(21212) S(01014) T(21712) U[1|2|3) O 2 Ri u 2 3 5 5 4 5 Q 2 In einem räumlichen Koordinatensystem ist jeder Punkt P durch seine drei Koordinaten P₁ P2, P3 eindeutig bestimmt und wird in der Form P(P₁ P2 P3) angegeben. Dabei bedeutet diese Schreibweise: Vom Ursprung 12 P 7 S92 III Schlüsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum Selbsterarbeitung: Punkte und Figuren im Raum 2 Gestalten Sie nun selbst ein quaderförmiges Werkstück ABCDEFGH,...
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Alternativer Bildtext:
indem Sie die folgenden Punkte in das unten stehende Koordinatensystem eintragen. Ergänzen Sie weitere Eckpunkte und verbinden Sie sie zu einem Quader: A (3|1|0), B(3|6|0), C(0|6|0), H (0|1|2) D(01110), E(31112), F(31611), G(016/1) 3 Für die Verwendung ist es wichtig, die Raumdiagonale d des linken quader- förmigen Teils des Werkstücks zu kennen. Verwenden Sie hierzu folgende Darstel- lungen: (1) Berechnen Sie in der rechten Darstel- lung die Diagonale e der Grundfläche. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras und markieren Sie ein entsprechendes rechtwinkliges Dreieck. (2) Berechnen Sie nun in der linken Dar- stellung mithilfe der Ergebnisse aus (1) die Raumdiagonale d. Verwenden Sie dazu wieder den Satz des Pythagoras und mar- kieren Sie ein entsprechendes rechtwinkli- ges Dreieck. Versuchen Sie nun mithilfe Ihrer Überle- gungen oben und des folgenden Schaubil- des eine allgemeine Formel für den Ab- stand d der Punkte A(a₁ |a₂|a3) und B(b₁ b₂b3) zu finden. X14 ⒸErnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 | www.klett.de | Alle Rechte Klett vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. 4 3 Autor: Florian Pfister A E 2 X3 O 3- -2 TA X3- H O 10 b₂-a₂ 2 2 B' b3-a3 4 'В b₁-a₁ 3 F 4 2 Got B 5 Grundfläche G X2 6C Gegeben sind zwei Punkte A (a₁ |a₂|a3) und B (b₁|b₂|b3) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Für den Abstand d der Punkte A und B gilt d=√(b₂-0₂)² + (b₁-a₁)² + (b3-α3) ² (1) e²= 2² +22 = 4+4 = 8 e = √8 (2) d² = √8² +42 = 8 + 16 (~2,83) S 93 = 24 d= √24 e= -√ (b₂-0₂)² + (b₁-0₁)²/2 2²2² = -√√(b₂-a2)² + (b₁-9₁)² + (63-93) ² (b₂-9₂)2 + (b₁-a₂)2 + (b3-9₂)² (4,9) = X2 +²2² d = √√√ (b₂-a₂²)² + (b₁-a₁)² + (b₂-α₂)²² 5