Punkte & Figuren im Raum📘

jerome

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Klett AB [Lösung]

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III Schlüsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum Selbsterarbeitung: Punkte und Figuren im Raum Voraussetzung: Zweidimensionales Koordinatensystem Ziel: Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem angeben, einzeichnen und Längen im Raum berechnen. 7 Klett 1 Mittels eines 3D-Druckers soll folgen- des Werkstück ausgearbeitet werden, hier im Schrägbild (Fig. 1, alle Angaben in cm). Um dem Drucker geeignete Befehle geben zu können, erweitern wir das Koordinaten- system um eine Achse zu einem 3D- Koordinatensystem (Fig. 2). Der Drucker fährt dabei stets vom Ursprung O zu den einzelnen Eckpunkten. Der Befehl (0|7|3) bedeutet verbalisiert: Vom Ursprung - ₁ Schritte in X₁-Richtung, Schritte in X₂ -Richtung, pa _P3__ Schritte in X-Richtung. 4 Fig. 1 © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. X₁ 4 2 ---- Fig. 2 0 Schritte in X₁-Richtung, 7 Schritte in X2-Richtung, P 3 Schritte in X3-Richtung. Orden Sie den Befehl (0|7|3) einer der Ecken P, Q, R, S, T, U zu. Geben Sie dem Drucker auch die Befehle für die anderen Ecken: P(01713) Q (2/710) R(21212) S(01014) T(21712) U(1|2|3) -4 Autor: Florian Pfister Bildquelle: serafius 3 -2- 1 2 X3- O R 2 -1 u 2 3 5 5 4 5 斤 65 1 1 2 2 In einem räumlichen Koordinatensystem ist jeder Punkt P durch seine drei Koordinaten P₁ P2, P3 eindeutig bestimmt und wird in der Form P(P₁ P2 P3) angegeben. Dabei bedeutet diese Schreibweise: Vom Ursprung 1 1 P 7 X2 S92 Klett III Schlüsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum Selbsterarbeitung: Punkte und Figuren im Raum 2 Gestalten Sie nun selbst ein quaderförmiges Werkstück...

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ABCDEFGH, indem Sie die folgenden Punkte in das unten stehende Koordinatensystem eintragen. Ergänzen Sie weitere Eckpunkte und verbinden Sie sie zu einem Quader: A (3|1|0), B(3|6|0), C(0|6|0), H(0|1|2) D(01110), E(31112), F(31611), G(016/1) 3 Für die Verwendung ist es wichtig, die Raumdiagonale d des linken quader- förmigen Teils des Werkstücks zu kennen. Verwenden Sie hierzu folgende Darstel- lungen: (1) Berechnen Sie in der rechten Darstel- lung die Diagonale e der Grundfläche. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras und markieren Sie ein entsprechendes rechtwinkliges Dreieck. (2) Berechnen Sie nun in der linken Dar- stellung mithilfe der Ergebnisse aus (1) die Raumdiagonale d. Verwenden Sie dazu wieder den Satz des Pythagoras und mar- kieren Sie ein entsprechendes rechtwinkli- ges Dreieck. Versuchen Sie nun mithilfe Ihrer Überle- gungen oben und des folgenden Schaubil- des eine allgemeine Formel für den Ab- stand d der Punkte A(a₁|a₂|a3) und B(b₁|b₂|b3) zu finden. X14 © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. X1 4 3 3 2 Autor: Florian Pfister A E 2 2: d e 2 -3- -2- -1- TA X3 b₂ X3. O d -a2 H 2 2 10 A' -+-- 2 34 B 3 b₁-a₁ F 4 B 2 5 Summary Grundfläche G 6C X2 Gegeben sind zwei Punkte A (a₁|a₂|a3) und B(b₁|b₂|b3) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Für den Abstand d der Punkte A und B gilt d = √ (b₂-0₂)² + (b₁-a₁)² + (63-93) ² (1) e²= 2² +2² - 4+4 = 8 e=√8 (2) d² = √8² +42 8+16 (≈2,83) = 24 d = √₂4 b3-a3 X2 + + d = -√√√ (b₂-a₂)²+(b₁-a₁)² + (b₂-a₂/²¹ 5 S 93 e=√√√(b₂-a₂)² + (b₁-anja 2 572 d²2²= -√√b₂-a₂)²+(b₁-an)² + (b₂-a3)² (b₂-9₂)2 + (b₁-a₂)2 + (b3-9₂) ² (24,9)

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