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Punkte & Figuren im Raumđ
jerome
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Klett AB [Lösung]
III SchlĂŒsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum Selbsterarbeitung: Punkte und Figuren im Raum Voraussetzung: Zweidimensionales Koordinatensystem Ziel: Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem angeben, einzeichnen und LĂ€ngen im Raum berechnen. 7 Klett 1 Mittels eines 3D-Druckers soll folgen- des WerkstĂŒck ausgearbeitet werden, hier im SchrĂ€gbild (Fig. 1, alle Angaben in cm). Um dem Drucker geeignete Befehle geben zu können, erweitern wir das Koordinaten- system um eine Achse zu einem 3D- Koordinatensystem (Fig. 2). Der Drucker fĂ€hrt dabei stets vom Ursprung O zu den einzelnen Eckpunkten. Der Befehl (0|7|3) bedeutet verbalisiert: Vom Ursprung - â Schritte in Xâ-Richtung, Schritte in Xâ -Richtung, pa _P3__ Schritte in X-Richtung. 4 Fig. 1 © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die VervielfĂ€ltigung fĂŒr den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die KopiergebĂŒhren sind abgegolten. Xâ 4 2 ---- Fig. 2 0 Schritte in Xâ-Richtung, 7 Schritte in X2-Richtung, P 3 Schritte in X3-Richtung. Orden Sie den Befehl (0|7|3) einer der Ecken P, Q, R, S, T, U zu. Geben Sie dem Drucker auch die Befehle fĂŒr die anderen Ecken: P(01713) Q (2/710) R(21212) S(01014) T(21712) U(1|2|3) -4 Autor: Florian Pfister Bildquelle: serafius 3 -2- 1 2 X3- O R 2 -1 u 2 3 5 5 4 5 æ€ 65 1 1 2 2 In einem rĂ€umlichen Koordinatensystem ist jeder Punkt P durch seine drei Koordinaten Pâ P2, P3 eindeutig bestimmt und wird in der Form P(Pâ P2 P3) angegeben. Dabei bedeutet diese Schreibweise: Vom Ursprung 1 1 P 7 X2 S92 Klett III SchlĂŒsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum Selbsterarbeitung: Punkte und Figuren im Raum 2 Gestalten Sie nun selbst ein quaderförmiges WerkstĂŒck...
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ABCDEFGH, indem Sie die folgenden Punkte in das unten stehende Koordinatensystem eintragen. ErgĂ€nzen Sie weitere Eckpunkte und verbinden Sie sie zu einem Quader: A (3|1|0), B(3|6|0), C(0|6|0), H(0|1|2) D(01110), E(31112), F(31611), G(016/1) 3 FĂŒr die Verwendung ist es wichtig, die Raumdiagonale d des linken quader- förmigen Teils des WerkstĂŒcks zu kennen. Verwenden Sie hierzu folgende Darstel- lungen: (1) Berechnen Sie in der rechten Darstel- lung die Diagonale e der GrundflĂ€che. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras und markieren Sie ein entsprechendes rechtwinkliges Dreieck. (2) Berechnen Sie nun in der linken Dar- stellung mithilfe der Ergebnisse aus (1) die Raumdiagonale d. Verwenden Sie dazu wieder den Satz des Pythagoras und mar- kieren Sie ein entsprechendes rechtwinkli- ges Dreieck. Versuchen Sie nun mithilfe Ihrer Ăberle- gungen oben und des folgenden Schaubil- des eine allgemeine Formel fĂŒr den Ab- stand d der Punkte A(aâ|aâ|a3) und B(bâ|bâ|b3) zu finden. X14 © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die VervielfĂ€ltigung fĂŒr den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die KopiergebĂŒhren sind abgegolten. X1 4 3 3 2 Autor: Florian Pfister A E 2 2: d e 2 -3- -2- -1- TA X3 bâ X3. O d -a2 H 2 2 10 A' -+-- 2 34 B 3 bâ-aâ F 4 B 2 5 Summary GrundflĂ€che G 6C X2 Gegeben sind zwei Punkte A (aâ|aâ|a3) und B(bâ|bâ|b3) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. FĂŒr den Abstand d der Punkte A und B gilt d = â (bâ-0â)ÂČ + (bâ-aâ)ÂČ + (63-93) ÂČ (1) eÂČ= 2ÂČ +2ÂČ - 4+4 = 8 e=â8 (2) dÂČ = â8ÂČ +42 8+16 (â2,83) = 24 d = ââ4 b3-a3 X2 + + d = -âââ (bâ-aâ)ÂČ+(bâ-aâ)ÂČ + (bâ-aâ/ÂČÂč 5 S 93 e=âââ(bâ-aâ)ÂČ + (bâ-anja 2 572 dÂČ2ÂČ= -ââbâ-aâ)ÂČ+(bâ-an)ÂČ + (bâ-a3)ÂČ (bâ-9â)2 + (bâ-aâ)2 + (b3-9â) ÂČ (24,9)
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III SchlĂŒsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum Selbsterarbeitung: Punkte und Figuren im Raum Voraussetzung: Zweidimensionales Koordinatensystem Ziel: Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem angeben, einzeichnen und LĂ€ngen im Raum berechnen. 7 Klett 1 Mittels eines 3D-Druckers soll folgen- des WerkstĂŒck ausgearbeitet werden, hier im SchrĂ€gbild (Fig. 1, alle Angaben in cm). Um dem Drucker geeignete Befehle geben zu können, erweitern wir das Koordinaten- system um eine Achse zu einem 3D- Koordinatensystem (Fig. 2). Der Drucker fĂ€hrt dabei stets vom Ursprung O zu den einzelnen Eckpunkten. Der Befehl (0|7|3) bedeutet verbalisiert: Vom Ursprung - â Schritte in Xâ-Richtung, Schritte in Xâ -Richtung, pa _P3__ Schritte in X-Richtung. 4 Fig. 1 © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die VervielfĂ€ltigung fĂŒr den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die KopiergebĂŒhren sind abgegolten. Xâ 4 2 ---- Fig. 2 0 Schritte in Xâ-Richtung, 7 Schritte in X2-Richtung, P 3 Schritte in X3-Richtung. Orden Sie den Befehl (0|7|3) einer der Ecken P, Q, R, S, T, U zu. Geben Sie dem Drucker auch die Befehle fĂŒr die anderen Ecken: P(01713) Q (2/710) R(21212) S(01014) T(21712) U(1|2|3) -4 Autor: Florian Pfister Bildquelle: serafius 3 -2- 1 2 X3- O R 2 -1 u 2 3 5 5 4 5 æ€ 65 1 1 2 2 In einem rĂ€umlichen Koordinatensystem ist jeder Punkt P durch seine drei Koordinaten Pâ P2, P3 eindeutig bestimmt und wird in der Form P(Pâ P2 P3) angegeben. Dabei bedeutet diese Schreibweise: Vom Ursprung 1 1 P 7 X2 S92 Klett III SchlĂŒsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum Selbsterarbeitung: Punkte und Figuren im Raum 2 Gestalten Sie nun selbst ein quaderförmiges WerkstĂŒck...
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ABCDEFGH, indem Sie die folgenden Punkte in das unten stehende Koordinatensystem eintragen. ErgĂ€nzen Sie weitere Eckpunkte und verbinden Sie sie zu einem Quader: A (3|1|0), B(3|6|0), C(0|6|0), H(0|1|2) D(01110), E(31112), F(31611), G(016/1) 3 FĂŒr die Verwendung ist es wichtig, die Raumdiagonale d des linken quader- förmigen Teils des WerkstĂŒcks zu kennen. Verwenden Sie hierzu folgende Darstel- lungen: (1) Berechnen Sie in der rechten Darstel- lung die Diagonale e der GrundflĂ€che. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras und markieren Sie ein entsprechendes rechtwinkliges Dreieck. (2) Berechnen Sie nun in der linken Dar- stellung mithilfe der Ergebnisse aus (1) die Raumdiagonale d. Verwenden Sie dazu wieder den Satz des Pythagoras und mar- kieren Sie ein entsprechendes rechtwinkli- ges Dreieck. Versuchen Sie nun mithilfe Ihrer Ăberle- gungen oben und des folgenden Schaubil- des eine allgemeine Formel fĂŒr den Ab- stand d der Punkte A(aâ|aâ|a3) und B(bâ|bâ|b3) zu finden. X14 © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die VervielfĂ€ltigung fĂŒr den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die KopiergebĂŒhren sind abgegolten. X1 4 3 3 2 Autor: Florian Pfister A E 2 2: d e 2 -3- -2- -1- TA X3 bâ X3. O d -a2 H 2 2 10 A' -+-- 2 34 B 3 bâ-aâ F 4 B 2 5 Summary GrundflĂ€che G 6C X2 Gegeben sind zwei Punkte A (aâ|aâ|a3) und B(bâ|bâ|b3) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. FĂŒr den Abstand d der Punkte A und B gilt d = â (bâ-0â)ÂČ + (bâ-aâ)ÂČ + (63-93) ÂČ (1) eÂČ= 2ÂČ +2ÂČ - 4+4 = 8 e=â8 (2) dÂČ = â8ÂČ +42 8+16 (â2,83) = 24 d = ââ4 b3-a3 X2 + + d = -âââ (bâ-aâ)ÂČ+(bâ-aâ)ÂČ + (bâ-aâ/ÂČÂč 5 S 93 e=âââ(bâ-aâ)ÂČ + (bâ-anja 2 572 dÂČ2ÂČ= -ââbâ-aâ)ÂČ+(bâ-an)ÂČ + (bâ-a3)ÂČ (bâ-9â)2 + (bâ-aâ)2 + (b3-9â) ÂČ (24,9)