Stauchung, Streckung und Spiegelung von Parabeln

Der Parameter a in f(x) = ax² beeinflusst die Form der Parabel auf drei wesentliche Arten:

Streckung und Stauchung:

• |a| > 1: Die Parabel wird gestaucht (schmaler)
  • Beispiel: f(x) = 2x² ist schmaler als f(x) = x²
• 0 < |a| < 1: Die Parabel wird gestreckt (breiter)
  • Beispiel: f(x) = 0,5x² ist breiter als f(x) = x²

Spiegelung an der x-Achse:

• a < 0: Die Parabel wird an der x-Achse gespiegelt
  • Beispiel: f(x) = -x² öffnet sich nach unten statt nach oben
  • Beispiel: f(x) = -2x² ist nach unten geöffnet und gestaucht

Streckungsfaktor:

• Der Faktor a bestimmt, wie stark die Parabel gestreckt oder gestaucht wird
• Je größer |a|, desto steiler verläuft die Parabel

Schlüsselkonzept: Der Parameter a wird als Streckungsfaktor bezeichnet. Ein negativer Streckungsfaktor bewirkt eine Spiegelung der Parabel an der x-Achse. Der Betrag von a bestimmt die Stärke der Streckung oder Stauchung.

Anwendungen und Zusammenfassungen

Quadratische Funktionen können in vielen Bereichen angewendet werden:

Anwendungsbeispiele:

• Physik: Wurfbahnen, Fallbewegungen
• Wirtschaft: Gewinnoptimierung, Kostenfunktionen
• Geometrie: Flächenberechnung, Parabolische Formen

Wichtige Konzepte im Überblick:

1. Parabelverschiebung:

   • Nach rechts/links: Änderung des Parameters d in f(x) = a(x - d)² + e
   • Nach oben/unten: Änderung des Parameters e in f(x) = a(x - d)² + e

2. Streckung und Stauchung:

   • Kontrolliert durch den Parameter a
   • |a| > 1: Stauchung (schmaler)
   • 0 < |a| < 1: Streckung (breiter)

3. Nullstellenberechnung:

   • pq-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
   • abc-Formel: x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)

4. Scheitelpunktbestimmung:

   • Aus Scheitelpunktform: S(d|e) bei f(x) = a(x - d)² + e
   • Aus allgemeiner Form: S(-b/(2a)|f(-b/(2a)))

Zusammenfassung: Quadratische Funktionen mit ihrer charakteristischen Parabelform bilden ein fundamentales Konzept in der Mathematik. Sie ermöglichen die Modellierung von Situationen, in denen eine Größe ein Maximum oder Minimum erreicht. Das Verständnis der Parameter a, b und c (bzw. a, d und e) ist entscheidend, um die Form und Position der Parabel sowie ihre Nullstellen zu bestimmen.