Rechenoperationen und ihre Anwendungen
Vektoraddition
Definition und Rechengesetze
Rechenbeispiel
Grafische Darstellung/Bedeutung
Vektorsubtraktion
Definition
Rechenbeispiel
Grafische Darstellung/Bedeutung
Anwendung von Vektoraddition und -subtraktion (Linearkombination)
Skalare Multiplikation
Definition
Rechenbeispiel
Grafische Darstellung/Bedeutung
Rechengesetze für skalare Multiplikation
Anwendung der skalaren Multiplikation (Lineare Abhängigkeit, Berechnung der Schwerpunktskoordinaten eines Dreiecks)
Skalarprodukt
Definition
Rechenbeispiel
Rechengesetze für das Skalarprodukt
Anwendung des Skalarprodukts (Winkel zwischen Vektoren, Berechnung der Innenwinkel eines Dreiecks)
Vektorprodukt
Definition
Rechenbeispiel
Rechengesetze für das Vektorprodukt
Anwendung des Vektorprodukts (Spatprodukt)
In diesem Text geht es um das Rechnen mit Vektoren.
Das Skalarprodukt von Vektoren a (a₁, a₂) und b (b₁, b₂) wird wie folgt berechnet: a₁ * b₁ + a₂ * b₂. Die Formel für den Betrag eines Vektors a = (a₁, a₂) lautet: |a| = √(a₁² + a₂²).
Für die skalare Multiplikation gelten folgende Rechengesetze: a * (r + s) = r * a + s * a (Distributivgesetz), (r * s) * a = r * (s * a) (Assoziativgesetz).
Das Vektorprodukt von zwei Vektoren a = (a₁, a₂) und b = (b₁, b₂) im Raum heißt a × b = (a₂ * b₃ - a₃ * b₂, a₃ * b₁ - a₁ * b₃, a₁ * b₂ - a₂ * b₁).
Der Vektor a × b ist senkrecht zu den beiden Vektoren a und b und bildet ein Rechtssystem. Die grafische Bedeutung des Vektorprodukts ist, dass der Vektor a × b als Normalenvektor der Ebene, in das von a und b aufgespannte Raum liegt.
Die Vektoren a, b und a × b bilden ein Rechtssystem, und es gilt die "Rechte-Hand-Regel" für das Vektorprodukt.
Der Ortsvektor des Endpunktes - (minus) der Ortsvektor des Anfangspunktes ergibt den Vektor, der die Differenz der beiden Punkte darstellt.
Das Skalarprodukt von a und b (reelle Zahl) wird durch a * b = ax * bx + ay * by + az * bz berechnet.
Kartesische Koordinatensysteme in der Ebene haben die Koordinatenachsen X und Y, und es gibt vier Quadranten, in denen Punkte liegen können.
Die Länge einer Strecke wird durch den Betrag ihres Vektors berechnet, und der Mittelpunkt einer Strecke kann mit Hilfe von Vektoren gefunden werden.
Alle Vektoren lassen sich als Linearkombination von anderen Vektoren darstellen.
Das waren die Grundlagen der Vektorrechnung, die Rechenoperationen und ihre Anwendungen, sowie die Kartesischen Koordinatensysteme und ihre Berechnungen.
Das Rechnen mit Vektoren ist eine wichtige Fähigkeit in der Mathematik und Physik, die in vielen Anwendungsgebieten verwendet wird.
