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= 1 1. (x₂-x₁) x1-x2 U C P → Ebene: M $ M (4.513) M N/J 2 C= 1. (x₂-x₁) 1+x₁ 2 P₂ 6 Is X₂ X grin analog: X2=*1+x1 C = X₂-X₁ + 2x₁ 2 2 M (*₁+*² | Y₁+ y2) 2 Y₁+Y2 d=2 X2+X7 2 Raum: M (*₁ +*₂ | Y₁* Y₂ | 2₁ +22) Lineare Algebra Verschiebung (Translation) R R P i verschiebungspfeil: RRIT PP; QQ'; RR¹ : • gleiche Länge $ Nullvektor: der zu a PP pp Ebene Y 2+ RPT Q Einheitsvektor: Tou 52² Tal: als Betrag von Vektor OP est 1+ Linien auf zueinander. gleichlang, parallelen Geraden. gleich gerichtel. haben gleichen Richtungssinn parallel IN IM a bezeichnet den Zahlenwert der Länge eines Vektors (oft ē) o' (101 = 0) = Punkt entgegengesetzte Vektor: -a Pfeilspitze in die andere Richtung P'P Vektorrechnung 2 Verschiebungsrichtung und Verschiebungsweite Koordinaten und Komponenten von Vektoren OP X gehören zu einer Klasse parallelgleicher Pfeile Vektor (Festlegung genau einer Verschiebung) P(211) Tal 1α²1 = 1 2 man (lal = 1-ảl) (a +1-a) (वे 2) op = (²) Ortsvektor des Punktes Ein P OP² = 2 · 2²₁ + 1 e ₂ 2 Koordinaten des velitors Komponenten. Spaltenschreibweise. Ortsvektor und ein Punkt haben die selben Koordinate z. B. P = OP Skalare Multiplikation von Vektoren d.ax 1 d∙ay α.az/ ↓↓ Skalar (αER) Bsp.: a = (3) = 3 ⋅ α² = 3 C (1) . 12²1=√1+4 + 9⁰ a √14 Rechnung Berrag To C 10x1 = α ay lazl !! . 32 T 11 + To (3)-(3) 131 (a + b ) = r.a+ (= Distributivgesetz) 10 . (III) (r.s) a =r (5.2) (Assoziativgesetz) Für die skalare Multiplikation gelten folgende Rechengesetze: r (r+s) (= Distributivgesetz) =√126² 1 - und s seien reelle Zahlen, & und b Vektoren. Dann gelten folgende Regeln : 9 + 36+81 19 才 3·014 3 lai . to 14 = ra+sa 7 Nachweis Chinsichtlich grafische Bed.) SE Vektoren oren (1) d₁ (2) वह d₂ (3) b 1 geg: = Der Vektor kombination darstellen als gegebener Vektoren € さ tu i a+b+c 6 (4)= ges: Gibt es Linear kombinationch Lsg.: a = r · a² + b + c² H + aus + d₁ di lässt sich als Linear- den d₁-a है aus den Vektoren lässt? a² + d₂ - 2 b lässt sich nicht als Linear kombination aus den a, 2 darstellen Vektoren A Vektoren Lineare Abhängigkeit von (LAS, + LUS) H 121 12 2 a = (²) b = (³) 2=(²), 7-6) 2 1 ANH F B 5. d s 101 NNM S. (3) (3) + G ein LK so, dass sich a (5) a und d darstellen -2a² +d₁ = − 2 a² + 0·∙B + 0·2² + №₁₂ di Vektoren a b c 1 + - LK der Vektoren a u und di LK der Vektoren a,b,c und da I I Prifen, ob a linear ab- hängig von 2 und a ist 6 = 2r + 2s 4: 1= r = r +25 +35 HEB r b= 2 r +2s 4= 1= Sin II: 4 b (3.) 5 = 1 = 1 = 2 = r + 25 ↓ + +35 5s $ s in I6 = 4 + 2 w.A. Sir in I r+2 1-2 r (3₁₂) + I 2=2r + 25 I 3 = 1² + 25 √ + I 4 = - c+s d II¹ 7 = 5 s sin II 3 = 2= 1:5 + 1/4 1-14 5 a + 14 S S 2·8² +d² ↓ {व {a, a, a} LAS (Linear Abhängiges System) To 11 2 = f. A. → LUS paration now to gigabade rosni Vektor blässt sich nicht als LK aus a und ² darstellen SPY Linear unab- hängiges System Kriterium zur linearen Abhängigkeit: a b c Sind Vektoren Drei genau dann linear abhängig, wenn es drei reelle Zahlen rist gibt, die nicht alle Null sind, sodass gilt! ++·2=0²² Kriterium zur linearen Unabhängigkeit: Drei Vektoren a, b, & sind genau dann. zueinander unabhängig, wenn die Gleichung ra + s. b + +· C² = 8 nur die triviale Lösung = + = 0₂ hat. (8) - ( ³ ) + s (³1) + + (³) S I I 3r+ 5 + 2 + III 47 S +3+ I IT I IL I' 2r + 2S + 2+ = 0 5 5 + 2 + + 3r ·S + 3 + + 4r 25+ 2+ + 2r S + 2 + + 3 r 5t +75 -4r . A to 1 - - oo DOO + 0 S O + → Bilden 2 vektoren ein LAS sie kollineare Vektoren. a = r. b → a || b I r = 0 +² 5 =0-> → nur die triviale Lösung → {b, c, d] Lus a} LUS + Die Vektoren beschreiben die selbe Gerade. Gerade a=r.b + s.c c Die Vektoren liegen in Prüfen, ob b, & und d ein LAS bilden →Bilden 3 loder mehrere) Vektoren ein LAS so heißen sie komplanare Vektoren Ta so heißen. r·a+s⋅ b²+ + · c = 0 (r,s und & nicht sämtlich gleich Null) 1 einer Ebene F Berechnung der Innenwinkel eines Dreiecks mit Hilfe von Vektoren BC A AC je : je AB cos je " (E]! 2 ODER BC BA IBC1. IBAI 7 AC AB AC IABI IACI BC AC BC AĆI IBCI B: Innenwinkelsumme B B cos a AB CB IABI ICBI (317 (1 cos B Kosinussate! Die Vektoren müssen immer entweder zueinander oder voneinander weg reigen ! Anwendung von Linearkombinationen v. Vektoren Herleitung der Schwerpunkts koordinaten eines beliebigen Dreiecks Schwerpunkt = Schnittpunkt der Seitenhalbierenden C A S 1 (1) OS = 3 = OM. T S Mc OMO + MbŚ (3) M₁₂B = OB - OMB M. ов २ (5) 3 = 1 2 + 1 2 + 2a+ 11 21 geg Ma 1 + M₂ $ = OM²₁₂ + ³² M ₂ ₂ B b CA OB OC 1 (2) OM₂ = OA + ²² AC = DÃ + ² · (OČ -OÀ) 2 2 à + ² d - 1 a B 2/2² + ²/² 2 + 1/ / 60 6 3 b 2²/²2 a² + ²/² b ² + ²/² 2 2 ² ² P OS = P = 2a + 1/ 0 20 6²-22²-22² (4) 3 = 3 + 1 2 + 1 -(B-12-12) 2 3 totoro to 1 B-62²-4 2 3 b 05 = 3 = (a + b + c) 3 3333+1/3 3a + 3b + 3 c off Das Skalarprodukt Ebene: 16 Tu von Vektoren 2 2' lal = √a ₁² + a₂²³² a ( 27 ) az b ( 6₂ ) 2 = b - a² = laut Umkehrung gilt: a 1 b Ebene: genau dann, wenn 0= a₁b₁ + a₂b₂ 2 2 161=√√b₂ ² + b₂² 0= -2a₁b₁-2a₂b₂ 0= -2(a₂b₁ + a₂b₂) Raum: ab by 62 EH 12²1²2² +161² = 16-21² a₁²³² + a²² + b₁²³² + b₂²² 2 2 a₂₁² + a₂²² + b₂ ²³² + b ²₂ 2 1 des Satzes des Pythagoras 2 2 12 1² + 161² = 1² 6₁² - 2016₁ F a 1 a2 [0₁ az Rechen regel für das, Skalarprodukt zweier a= a² (9²) und B 101 101) = 92 bz 19363 B 6² = (b₁-9₁) ³² + (b₂-0₂) ² 2 2 b₁²²-2a₁b₁ + a₁ + b₂²-2a₂b₂ + a₂² 121= √ (b₁-2₁)²-(b₂-a₂) ²¹ 2 1-a ₁²-a₂² -b₁² -b₂² :(-2) a l b bz b₂/ a + b 4 (reelle Zah!) az bz 53 = aby + az b₂ + az 3 1913/ 103/L LL Definition des Skalarproduktes: 6 = 121.161 ortogonal aufeinander. Bsp.: fo B (²) (-1) (13) (= 10) = a² (9) (1) 2 2 (3) 2 b = 12 to JL 10 to the FIRS sem HE cos e +2=0 120 + 16 ·1+3 = 2 -48-32 8 + 20-1 de the Rechengesetze für das Skalarprodukt -50 27 2) (ra). b = r (2.6) für r ER 3) (a + b) 2 = 2 · c + b⋅ 2 4) a2 5) 2. a > 0 für a +3 á a Lb.S. 450 al b PENA (Kommutativgesetz) 0 für a = 3 104 (Skolare Multi- plikation) (Distributivgesetz) 20 Das Vektorprodukt 1011 Für zwei Vektoren a = 9₂ und b = 62 93) no Raumes heißt a × b = 9₂b3-a3 b2 x азы-атьз 9162-9261/ Der Vektor a x b beiden Ban (gelesen: ,, a kreuz b") das Vektorprodukt von senkrecht zum Vektoren Man auch der Dreieck By Eigenschaften des vektorprodukts : für linear unabhängige vektoren a und To gilt: Raum ist orthogonal zu à und zu to axb bilden. ^ >> ist orthogonal zu den Vektoren a und B. Er liegt daber bezeichnet den () Ổx b (2) Die vektoren a, b und Rechtssystem". ein ON axb daher als Normalenvektor der Ebene, in von a und To aufgespannte. liegt. das Vektorprodukt Rechtssystem 10 fr 14 Dreieck, das von den a und To aufgespannt wird. vektor " YOU ẩxbản ↓ t Daumen zeige- (6₁) bz des .63/ тоте TO N bxa = n ↓ ↓ (Rechte- Hand- Regel) Mittels finger 26 Bsp: Berechnung geg: a² = (3²); b = (³) سخه a) a x b c) abschreibe mesker. 10 نام بی ال به 2 NR: 2 bxa= FN3-20 بن دن دل 2.5 3.3 (1)ã xổ 32-15 3 2.2 -3 1 (2) α² × b = ( 1 ) NR: 4 2. 7 ISJ 5 b) 6 x = -(3) × (3) (-1)--(0) = x F WNJWNA 3 MO a 1. 2 (3) TR: MODE 8 11 → Eingabe Koordinaten (=) → AC 4 3 43-WN- 2. 2 6 HE 3. 3 (ả xổ) Antikommutativgesetz c) a xa - ( 1 ) × ( 1 ) - (8) = NR: 10 A ― MMG N3 L 10-9 5 4 3 2 2 2 3 axb: SHIFT 53 × SHIFT 5 →→= - = 1 SHIFT 5 →1-2-1 → Eingabe d. Koordin. →AC lax b| = Flächeninhalt des von à und b erzeugten Parallelogramms Rechengesetze (2) (r.a) × b = r. (axb) x für r ER (3) axb = -(bxd) NR: Achtung! (2) aber ax(6×2) + (a × b ) x c c) 6-(3); ² - (2) - (8) a (19) × (41)-(1) bx I ax (b + c) = axb + axc Distributivge- Berechnung eines fehlenden vektors a × b = 2 I b C a b 2a 2-~~-2 -1 1 ¡ M Anti- 10 -2b-c 2c + 2a a -2b Kommutativgesetz Assoziativgesetz -2 b c = 1 1. (-1) +20=2 a-2b = 2 ges: a setz -2b-c = 1 2c +2a = 2 a-2b=2 Addition von Vektoren und Subtraktion. Bsp.: Ebene. P(-213) OP= P F ↑x TH O -4+ 15 312 7 = a + (-P³²) 1 Berechnung der Subtraktion. T IE 7 cau #1 VI Subtraktion Addition Koordinaten Q (512) q Addition 7 9² + (- p³² ) = ( ² ) + ( ²³ ) =(5₁) - -7 + -P (Pfeilspitze zeigt zum Minuenden). 文 von 7 → S(7-1) Ortsvektor des Endpunktes - (minus) des Ortsvektor FAnfangspunktes Analytische Geometrie: Rechenoperationen mit Vektoren 1. Wiederholung und Grundlagen 1.1. Kartesische Koordinatensysteme in Raum und Ebene 1.2. Berechnungen mit kartesischen Koordinaten 1.2.1. Länge einer Strecke 1.2.2. Mittelpunkt einer Strecke 1.3. Lineare Algebra/Vektoren 1.3.1. Definition und Eigenschaften 1.3.2. Betrag, Einheitsvektor, Nullvektor, Gegenvektor 1.3.3. Koordinaten und Komponenten von Vektoren 1.3.4. Betrag eines Vektors 2. Vektoraddition 2.1. Definition und Rechengesetze 2.2. Rechenbeispiel 2.3. Grafische Darstellung/Bedeutung 3. Vektorsubtraktion 3.1. Definition 3.2. Rechenbeispiel 3.3. Grafische Darstellung/Bedeutung 3.4. Anwendung von Vektoraddition und -subtraktion (Linearkombination) 4. Skalare Multiplikation 4.1. Definition 4.2. Rechenbeispiel 4.3. Grafische Darstellung/Bedeutung 4.4. Rechengesetze für skalare Multiplikation 4.5. Anwendung der skalaren Multiplikation (Lineare Abhängigkeit, Berechnung der Schwerpunktskoordinaten eines Dreiecks) 5. Skalarprodukt 5.1. Definition 5.2. Rechenbeispiel 5.3. Rechengesetze für das Skalarprodukt 5.4. Anwendung des Skalarprodukts (Winkel zwischen Vektoren, Berechnung der Innenwinkel eines Dreiecks) 6. Vektorprodukt 6.1. Definition 6.2. Rechenbeispiel 6.3. Rechengesetze für das Vektorprodukt 6.4. Anwendung des Vektorprodukts (Spatprodukt)