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Vektoren, Geradengleichung, Skalarprodukt und Winkel – Mathe leicht gemacht!

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helloo

7.10.2025

Mathe

Vektoren, Parameter, Skalarprodukt, Winkel,...

Mathematik

Vektorraumoperationen

parallele Vektoren

1.673

•

7. Okt. 2025

•

2 Seiten

Vektoren, Geradengleichung, Skalarprodukt und Winkel – Mathe leicht gemacht!

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helloo

@letsstudytogether

Dieser Leitfaden bietet eine umfassende Einführung in die Vektorgeometrie, einschließlich ... Mehr anzeigen

Vektoren Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch einen Pfeil repräsentiert, dessen Lange & Richtung

Lagebeziehungen und Skalarprodukt

Dieser Abschnitt behandelt die Lagebeziehung zweier Geraden Vektoren und führt das Konzept des Skalarprodukts ein, das für die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren verwendet wird.

Um die Lagebeziehung zweier Geraden zu bestimmen, werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
  2. Wenn ja, sind die Geraden entweder identisch oder parallel.
  3. Wenn nein, wird ein lineares Gleichungssystem aufgestellt und gelöst.

Vocabulary: Windschief: Zwei Geraden, die sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.

Das Ergebnis des linearen Gleichungssystems gibt Aufschluss über die Lagebeziehung:

  • Eine eindeutige Lösung bedeutet, dass sich die Geraden schneiden.
  • Keine Lösung bedeutet, dass die Geraden windschief zueinander sind.
  • Unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die Geraden identisch sind.

Der Leitfaden führt auch das Konzept des Skalarprodukts ein:

Definition: Das Skalarprodukt ist eine Operation, bei der zwei Vektoren multipliziert werden und das Ergebnis eine reelle Zahl ist.

Das Skalarprodukt wird verwendet, um:

  • Zu überprüfen, ob Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander sind.
  • Den Winkel zwischen Vektoren zu berechnen.

Example: Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren lautet: cosαα = (a · b) / (|a| · |b|)

Der Leitfaden bietet eine schrittweise Anleitung zur Berechnung des Winkels zwischen Vektoren:

  1. Berechnung des Skalarprodukts
  2. Berechnung der Beträge der Vektoren
  3. Anwendung der Winkelformel und Berechnung des Arkuskosinus

Diese detaillierte Erklärung ermöglicht es Schülern, komplexe Probleme in der Vektorgeometrie zu lösen und ein tieferes Verständnis für die Beziehungen zwischen Geraden und Vektoren im Raum zu entwickeln.

Vektoren Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch einen Pfeil repräsentiert, dessen Lange & Richtung

Grundlagen der Vektorgeometrie

Dieser Abschnitt führt in die grundlegenden Konzepte der Vektorgeometrie ein und erläutert verschiedene Arten von Vektoren sowie deren Eigenschaften und Anwendungen.

Definition: Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch einen Pfeil repräsentiert, dessen Länge und Richtung genau die Länge und Richtung der Verschiebung ist.

Der Leitfaden unterscheidet zwischen verschiedenen Vektortypen:

  1. Ortsvektor: Verbindet den Ursprung mit einem Punkt P und hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt.
  2. Gegenvektor: Hat die Pfeilspitze auf der gegenüberliegenden Seite des Originalvektors.
  3. Verbindungsvektor: Beschreibt den Weg von einem Punkt zu einem anderen.

Highlight: Die Berechnung mit Vektoren umfasst Addition, Subtraktion und die Bestimmung der Länge (Betrag) eines Vektors.

Die Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen wird ausführlich erklärt:

  1. Zunächst wird ein Stützvektor (Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden) festgelegt.
  2. Dann wird ein Richtungsvektor bestimmt, der die Richtung der Geraden angibt.
  3. Die Parameterdarstellung wird als Summe des Stützvektors und des mit einem Parameter multiplizierten Richtungsvektors aufgestellt.

Example: Für eine Gerade durch die Punkte P2/−1/82/-1/8 und Q(9/1/4) lautet die Parameterdarstellung: h: x = 2/−1/82/-1/8 + r · 7/2/−47/2/-4

Der Leitfaden erklärt auch, wie man überprüft, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, indem man eine Punktprobe durchführt und das resultierende lineare Gleichungssystem löst.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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parallele Vektoren

 

Mathe

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Dieser Leitfaden bietet eine umfassende Einführung in die Vektorgeometrie, einschließlich Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen, Lagebeziehung zweier Geraden Vektoren und Winkel zwischen Vektoren berechnen. Er erklärt grundlegende Konzepte wie Ortsvektoren, Verbindungsvektoren und Richtungsvektoren sowie fortgeschrittene Themen wie die Parameterdarstellung... Mehr anzeigen

Vektoren Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch einen Pfeil repräsentiert, dessen Lange & Richtung

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Lagebeziehungen und Skalarprodukt

Dieser Abschnitt behandelt die Lagebeziehung zweier Geraden Vektoren und führt das Konzept des Skalarprodukts ein, das für die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren verwendet wird.

Um die Lagebeziehung zweier Geraden zu bestimmen, werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Überprüfung, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
  2. Wenn ja, sind die Geraden entweder identisch oder parallel.
  3. Wenn nein, wird ein lineares Gleichungssystem aufgestellt und gelöst.

Vocabulary: Windschief: Zwei Geraden, die sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.

Das Ergebnis des linearen Gleichungssystems gibt Aufschluss über die Lagebeziehung:

  • Eine eindeutige Lösung bedeutet, dass sich die Geraden schneiden.
  • Keine Lösung bedeutet, dass die Geraden windschief zueinander sind.
  • Unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die Geraden identisch sind.

Der Leitfaden führt auch das Konzept des Skalarprodukts ein:

Definition: Das Skalarprodukt ist eine Operation, bei der zwei Vektoren multipliziert werden und das Ergebnis eine reelle Zahl ist.

Das Skalarprodukt wird verwendet, um:

  • Zu überprüfen, ob Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander sind.
  • Den Winkel zwischen Vektoren zu berechnen.

Example: Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren lautet: cosαα = (a · b) / (|a| · |b|)

Der Leitfaden bietet eine schrittweise Anleitung zur Berechnung des Winkels zwischen Vektoren:

  1. Berechnung des Skalarprodukts
  2. Berechnung der Beträge der Vektoren
  3. Anwendung der Winkelformel und Berechnung des Arkuskosinus

Diese detaillierte Erklärung ermöglicht es Schülern, komplexe Probleme in der Vektorgeometrie zu lösen und ein tieferes Verständnis für die Beziehungen zwischen Geraden und Vektoren im Raum zu entwickeln.

Vektoren Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch einen Pfeil repräsentiert, dessen Lange & Richtung

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Grundlagen der Vektorgeometrie

Dieser Abschnitt führt in die grundlegenden Konzepte der Vektorgeometrie ein und erläutert verschiedene Arten von Vektoren sowie deren Eigenschaften und Anwendungen.

Definition: Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch einen Pfeil repräsentiert, dessen Länge und Richtung genau die Länge und Richtung der Verschiebung ist.

Der Leitfaden unterscheidet zwischen verschiedenen Vektortypen:

  1. Ortsvektor: Verbindet den Ursprung mit einem Punkt P und hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt.
  2. Gegenvektor: Hat die Pfeilspitze auf der gegenüberliegenden Seite des Originalvektors.
  3. Verbindungsvektor: Beschreibt den Weg von einem Punkt zu einem anderen.

Highlight: Die Berechnung mit Vektoren umfasst Addition, Subtraktion und die Bestimmung der Länge (Betrag) eines Vektors.

Die Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen wird ausführlich erklärt:

  1. Zunächst wird ein Stützvektor (Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden) festgelegt.
  2. Dann wird ein Richtungsvektor bestimmt, der die Richtung der Geraden angibt.
  3. Die Parameterdarstellung wird als Summe des Stützvektors und des mit einem Parameter multiplizierten Richtungsvektors aufgestellt.

Example: Für eine Gerade durch die Punkte P2/−1/82/-1/8 und Q(9/1/4) lautet die Parameterdarstellung: h: x = 2/−1/82/-1/8 + r · 7/2/−47/2/-4

Der Leitfaden erklärt auch, wie man überprüft, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, indem man eine Punktprobe durchführt und das resultierende lineare Gleichungssystem löst.

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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